河北唐山一中14-15学年度高二下学期开学调研考试——

河北唐山一中
2014—2015学年度下学期开学调研考试
高二数学文试题
说明：1．考试时间120分钟，满分150分。

2．将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上，卷Ⅱ用黑色钢笔或签字笔答在试卷上。

3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分.）
1.抛物线的焦点坐标为（）
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数的图象如图
所示，那么函数的图象最有可能的是（）
A B C D
3.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）
A．B．C．D．
4.给出下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是（）
A.②和④B．②和③C．③和④D．①和②
5.已知抛物线的焦点F恰为双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的右焦点,且两曲线交点的连线过点F,
则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
6.已知：命题P：，总有|x|≥0；命题q：x=1是方程x2+x+1=0的根，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q
7.已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M是圆C : x2+y2－4x=0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为（）A．4 B．5 C．10 D．15
8.设A、B、C、D是球面上的四点，AB、AC、A D两两互相垂直，且，
，，则球的表面积为()
A. B. C. D.
9. 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，
2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最大值为
( )
A.5
B. C ．22+1 D.2－1
10. 设a ∈R ，若函数有大于零的极值点，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设p ：在内单调递增，，则是的（
） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12.已知椭圆C :(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则C 的离心率为 ( )
A.-1
B.
C.-1
D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.命题p ：“”的否定是_________．
14．曲线在点处的切线的一般式方程为__________．
15.已知双曲线左、右焦点分别为，过点作与轴垂直的直线与双曲线一个交点为，且，则双曲线的渐近线方程为_______.
16.已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；②对于任意的，圆与圆始终相切；③分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4． 其中正确命题的序号为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17（10分）直线:y =x -1与抛物线C :y 2=2px (p >0)相交于A ,B 两点,且直线过C 的焦点.(Ⅰ)求抛物线C 的方程.(Ⅱ)若以AB 为直径作圆Q ,求圆Q 的方程.
18（12分）已知直线的方程为，，点的坐标为．
（Ⅰ）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）设点在直线上的射影为点，点的坐标为，求||的取值范围．
19（12分）如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E 、F 分别为A 1C 1和BC 的中点.
（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；
（Ⅱ）求证：C 1F //平面ABE .
20.（12分)如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，
平面ABE ，AE =EB =BC =2，F 为CE 上的点， 且平面ACE ，
（Ⅰ）求证：平面BCE ；
（Ⅱ）G 为矩形ABCD 对角线的交点，求三棱锥
C —BGF 的体积。

A B
C D F
G
21.（12分）已知椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的长轴长为，离心率为，分别为其左右焦点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ） 在抛物线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，直线的斜率为（≠0）求四边形面积（用表示）.
22（12分）已知函数
（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求的值；
（Ⅱ）讨论方程解的个数，并说明理由。

参考答案
一、选择题1B;2A;3B;4A;5D;6A;7B;8B;9A;10A;11B;12C.
二、填空题13.；14. ；15. ；16.②③。

三、解答题
17(Ⅰ)∵直线l :y=x-1过C 的焦点F(,0),∴0=-1,解得p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x.
(Ⅱ)联立解方程组消去y 得x 2-6x+1=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=6,x 1x 2=1,
y 1+y 2=(x 1-1)+(x 2-1)=(x 1+x 2)-2=6-2=4,∴圆Q 的圆心Q(,),即Q(3,2),
半径r=+=+=4,∴圆Q 的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
18解：（1）由得，所以直线恒过直线与直线交点，解方程组得，所以直线恒过定点，且定点为． （Ⅱ）因为直线绕着点旋转，所以点在以线段为直径的圆上，其圆心为点，半径为，因为的坐标为，所以，从而．
19证明：（Ⅰ）∵BB 1⊥平面ABC ， AB 平面ABC ∴AB ⊥BB 1
又AB ⊥BC ，BB 1∩BC=B ∴AB ⊥平面B 1BCC 1
而AB 平面ABE ∴平面ABE ⊥平面B 1BCC 1
（Ⅱ）取AC 的中点G ，连结C 1G 、FG
∵F 为BC 的中点 ∴FG//AB
又E 为A 1C 1的中点 ∴C 1E//AG ，且C 1E=AG
∴四边形AEC 1G 为平行四边形 ∴AE//C 1G
∴平面C 1GF//平面EAB
而C 1F 平面C 1GF ∴C 1F//平面EAB.
20解：（Ⅰ）证明：平面ABE ，AD//BC 。

平面ABE ，则
又平面ACE ，则
又
平面BCE 。

（Ⅱ）由题意，得G 是AC 的中点，
.,BF CE ACE BF ⊥⊥则平面
而BC=BE ，F 是EC 的中点
AE//FG ，且
而平面BCE,∴平面B ＣＦ。

.22
1,===∆∴CF CE BF BCE Rt 中
.12221=⨯⨯=
∴∆CFB S .3
131=⋅⋅==∴∆--FG S V V CFB BCF G BGF C 21（Ⅰ）由已知可得3122142222=-=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧===c a b c a a c e a ， 则所求椭圆方程.
（Ⅱ）直线的斜率为，,设直线的方程为：
直线PQ 的方程为，
设11223344(,),(,),(,),(,)M x y N x y P x y Q x y
由，消去可得0)42(2222=++-k x k x k
由抛物线定义可知：
2
2221224424211||||||k k k x x NF MF MN +=++=+++=+= 由221(1)14
3y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去得222(34)84120k x x k +-+-=，
从而234212(1)|||34
k PQ x x k +=-=+， ∴222224211412(1)(1)||||(4)24223434PMQN k k S MN PQ k k k k ++=⋅=+=++ 22（Ⅰ）因为： ，又在处的切线方程为
所以 ⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=-12222ln 2a b a 解得： （Ⅱ）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；
当时，在上恒成立，
所以在定义域上为增函数。

，，所以方程有惟一解。

当时，x
a x a x x a x x a x x f ))(()(2-+=-=-=' 因为当时，，在内为减函数；
当时，在内为增函数。

所以当时，有极小值即为最小值)ln 1(2
1ln 21)(a a a a a a f -=-=
当时，0)ln 1(2
1)(>-=
a a a f ，此方程无解； 当时，.0)ln 1(2
1)(=-=a a a f 此方程有惟一解。

当时，0)ln 1(21)(<-=a a a f 因为且，所以方程在区间上有惟一解， 因为当时，，所以
所以 ax x x a x x f x x ->-=
>2221ln 21)(,ln 因为 ，所以 02)2(2
1)(22=->a a x f 所以 方程在区间上有惟一解。

所以方程在区间上有惟两解。

综上所述：当时，方程无解；
当时，方程有惟一解；
当时方程有两解。