2.4 等比数列(一)课件(人教A版必修5)
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高中数学人教A版必修5《2.4.1等比数列》课件
等比数列
an q an1
q叫公比 an=a1qn-1 an=amqn-m
例1.一个等比数列的第3项与第4项分 别是12与18，求它的第1项与第2项
a q 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
消
a1q 2
a1q
3
12 18
a1
16 3
q
3 2
a2
a1q
16 3
3 2
8
元
答：这个数列的第1项与第2项分别为 16 与 8
其定义式为：
或
注意：
1. 公比是等比数列从第2项起，每一项 与前一项的比，不能颠倒。
2.对于一个给定的等比数列，它的公比 是同一个常数。
思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？ (3) 既是等差数列又是等比数列的数列
存在吗？ (4) 常数列都是等比数列吗？
判定下列数列是否可能是等比数列？
如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… 2 4 8 16
一种计算机病毒可以查找计算机中的地 址本,通过邮件进行传播。如果把病毒制造 者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送 病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮 每一台计算机都感染20台计算机，那么在 不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的 计算机数构成的数列是：
1， 20，202 ， 203， …
比一比
(1) 1, 2, 22 , 23 , ……
, 263
(2)
……
以上4个数列有
(3） 1,20,20 2 ,203 什么共同特点？
（4） 9，92，93，94，95，96， 97
人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．
人教版数学必修五：2.4《等比数列 》ppt课件
－1
.
第二章 2.4 第1课时
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
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1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
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an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
.
第二章 2.4 第1课时
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注意：(1)等比数列通项公式的推导方法，体现了从特殊到 一般的思想． (2)已知等比数列的首项和公比，可以求得该数列中的任意 一项． (3)在等比数列中，若已知 a1，q，n，an 四个量中的三个， 就可以求出另一个量． a1 n (4)等比数列的通项公式可以变形为 an＝( q )q ， 因此等比数 列{an}中各项所表示的点(n，an)孤立地分布在第一象限或第四 a1 x 象限，即这些点在曲线 y＝( q )q 上，因此可以利用函数思想求 解等比数列的通项公式．
第二章
2.4
第1课时
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1.等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常 an 数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示(q≠0)． 即： an－1 ＝q(n≥2，q≠0，n∈N*)．
第二章
2.4
第1课时
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an＋1 注意： (1) 等比数列的定义可简述为 a ＝ q(q 为常数， n q≠0)． ①由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能 为 0，因此 q 也不能为 0. an＋1 ② a 均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意 n 义，同时还应注意公比是从第 2 项起每一项与其前一项高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
观察下面几个数列，其中一定是等比数列的有哪些？ (1)数列 1,2,6,18,54，…； a2 a3 (2)数列{an}中，已知a ＝2，a ＝2； 1 2 (3)常数列 a，a，…，a，…； an＋1 (4)数列{an}中， a ＝q，其中 n∈N*. n
高中数学人教版必修5课件：2.4.2等比数列的性质(共13张PPT)
等比数列
学习目标
1、进一步巩固等比数列的定义和通项公式。 2、掌握等比数列的性质，会用性质灵活解决
问题。
• 重、难点：等比数列性质的灵活运用。
抛 砖 在等比数列{an}中： 引 玉 an=a1qn-1
猜想an=amq ? ,你能证明这个结论
吗？
1、等比数列性质一：
• 设数列{an}是公比为q的等比数列，则：
2.4.2 等比数列的性质
Yesterday once more
等差数列
等比数列
定义
an+1-an=d
公差（比）
d
q
递推公式
通项公式 等差(比)
中项
an=an-1+d an= a1+(n-1)d
an=an-1 q an=a1qn-1
性质一 性质二
等差数列
an=am+(n-m)d 若 m+n=p+q ， 则 am+an=ap+aq 。
2、等比数列性质二：
• 在等比数列{an}中，若m+n=p+q，m、n、p、
q∈N*，则 am·an=ap·aq 。 • 特别地，若m+n=2k，则am·an=＿ak＿·a＿k=＿(a＿k)2 。
• 由1+5=6，则a1·a5=a6吗？
【注】等式两边相乘的项数必须一样多！
Hale Waihona Puke 追 踪利用等比数列的性质填空：
练 在等比数列{an}中： 习 (1)若a5=2，a10=10，则a15=＿＿，
a6·a9=＿＿。
(2)若a13·a22=14，a10=4 ，则a25=＿＿＿。
(3)若a2·a4=4，则a3=＿＿＿。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.4.1等比数列的概念及通项公式课件 新人教A版必修5
2．用函数的观点看等比数列的通项公式 ． － 等比数列{a 的通项公式 等比数列 n}的通项公式 an＝a1qn 1， 还可以改写 a1 n 当 ＞ ， ≠ ＝ 为 an＝ q q .当 q＞0，且 q≠1 时，y＝qx 是一个指 a1 n 数函数， 数函数，而 y＝ q ·q 是一个不为 0 的常数与指数 ＝ 函数的积．因此等比数列{a 的图象是函数 ＝ 函数的积．因此等比数列 n}的图象是函数 y＝ a1 x ·q 图象上的一些孤立的点． 图象上的一些孤立的点． q
例3
已知数列{a 满足 满足a 已知数列 n}满足 1＝1，an＋1＝2an＋1. ， ＋
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列； 求证：数列 是等比数列； 求证 是等比数列 (2)求数列 n}的通项公式． 求数列{a 的通项公式 的通项公式． 求数列 【思路点拨】 思路点拨】 将递推公式变形， 将递推公式变形，然后利用等比 数列的定义判定． 数列的定义判定． 证明： 【解】 (1)证明：因为 an＋1＝2an＋1， 证明 ， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)． ＝ ． ， ≠ ， ≠ 由 a1＝1，知 a1＋1≠0，可得 an＋1≠0. an＋1＋1 * 所以 ＝2(n∈N )． ∈ ． an＋1 所以数列{a 是等比数列． 所以数列 n＋1}是等比数列． 是等比数列
2. 4.1 等 比 数 列 的 概 念 及 通 项 公 式
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1．如果一个数列从__________起，每一项与它 ．如果一个数列从 第二项 起 的前一项的差都等于__________， 的前一项的差都等于 同一常数 ，那么这个数列 叫做等差数列． 叫做等差数列． a1＋(n－1)d 是关 － 2．等差数列的通项公式：an＝___________是关 ．等差数列的通项公式： 的一次函数式(或常函数 于n的一次函数式 或常函数 ． 的一次函数式 或常函数)．
2021_2022学年高中数学第二章数列第4节等比数列第1课时等比数列课件新人教A版必修5
练一练
3．(1)若等比数列的前三项分别为 5，－15，45，则第
5 项是( )
A．405
B．－405
C．135
D．－135
解析：选 A ∴a5＝405.
∵a5＝a1q4，而 a1＝5，q＝aa21＝－3，
(2) 已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，则数列{an} 的通项公式为________________． 解析：设等比数列的公比为 q，则 q≠0，a2＝aq3＝2q，a4＝a3q ＝2q.∴2q＋2q＝230，解得 q＝13或 q＝3. 当 q＝13时，a1＝18，∴an＝18×13n－1＝2×33－n； 当 q＝3 时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.
于 同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的 公比，公比通常用字母 q 表示(q≠0)．
(2)等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 等比数列，
那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G＝± ab. (3)等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则通项公式
第1课时 等比数列
[核心必知]
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P48～P49，回答下列问题： (1)观察下面的各组数据 ①由细胞分裂问题，得到数列：1，2，4，8，…； ②由“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，得到数列：1，12，14，18，…； ③由计算机病毒的传播，得到数列：1，20，202，203，…； ④由银行的一种计息方式“复利”，得到数列：10 000×1.019 8， 10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000× 1.019 85.这些数列有什么共同特点？ 提示：从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于一个常数．
2.4等比数列 课件 (人教A版必修5)
A．等差数列 B．等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．不能确定是什么数列
解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项， 后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．
答案：D
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中
项是( )
A．±4
B．4
C．±14
[例2]
已知a，－
3 2
，b，－
243 32
，c五பைடு நூலகம்数成等比数
列，试求a，b，c的值．
[解] ∵b2＝(－32)×(－23423)＝(32)6， ∴b＝±287. 当b＝287时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23. 由bc＝(－23423)2＝(32)10及b＝287，得c＝2112887＝(32)7.
2.4 等比数列
第1课时 等比数列
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数的关系．
2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解 决问题.
课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
D．①②③④
解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与 其前一项的比是否为同一个常数．
①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比 数列，公比q＝－ 2；③中数列当x＝0时，不是等比数列； ④中数列是等比数列，公比q＝1a.
答案：C
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数 列{an}是( )
解析：∵a1＝1，a2＝2，a3＝4，仅给出了数列前3项， 后边各项不知有何规律，给出不同的值会得出不同结论．
答案：D
3．等比数列{an}中，a1＝
1 8
，q＝2，则a4与a8的等比中
项是( )
A．±4
B．4
C．±14
[例2]
已知a，－
3 2
，b，－
243 32
，c五பைடு நூலகம்数成等比数
列，试求a，b，c的值．
[解] ∵b2＝(－32)×(－23423)＝(32)6， ∴b＝±287. 当b＝287时，∵ab＝(－32)2，∴a＝23. 由bc＝(－23423)2＝(32)10及b＝287，得c＝2112887＝(32)7.
2.4 等比数列
第1课时 等比数列
课前自主预习
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课时作业
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式
与指数函数的关系．
2．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解 决问题.
课前 自 主 预 习
课 前 预 习 ········································· 明 确 目 标
D．①②③④
解析：根据等比数列的定义，从第2项起检查每一项与 其前一项的比是否为同一个常数．
①中数列是等比数列，公比q＝－2；②中数列是等比 数列，公比q＝－ 2；③中数列当x＝0时，不是等比数列； ④中数列是等比数列，公比q＝1a.
答案：C
2．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，…，那么数 列{an}是( )
高中数学必修五第二章数列2.4.1
(2)设等比数列{bn}的公比为q,则b2=8,b3=16,
所以q= b3
b2
=2,b1=4,bn=2n+1,
b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后 再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最 后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
则
a
2 3
=-1×(-9)=9,解得a3=±3,
设数列的公比为q,
因为a3=-1×q2<0,故a3=-3. 答案:-3
=
1 3
(an-1)-
1 3
(an-1-1),
得
an a n1
1，又a1=-
2
1 2
,
所以{an}是首项为- 1 ,公比为- 1 的等比数列.
2
2
【延伸探究】
1.将本例的条件改为“a1=
7 8
,且an+1=
1 2
a
n＋
1 3
”,求证
数列
{a n
2} 3
是等比数列.
【证明】因为an+1=
(1)已知an=128,a1=4,q=2,求n.
(2)已知an=625,n=4,q=5,求a1.
(3)a3=2,a2+a4=
20 3
,求通项公式an.
【解析】(1)因为an=a1qn-1, 所以4·2n-1=128,
所以2n-1=32,所以n-1=5,n=6.
(2)a1=
高中数学人教A版必修五教学课件：第二章 《数列》 2.4 第2课时 等比数列的性质
－6 解析：a4a7＝a1· a10＝ ＝－2. 3
答案：B
3． 等比数列{an}中， 若 a9＝－2， 则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项 与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我 们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
高中数学 2.4.2 等比数列的性质课件 新人教A版必修5
∴
6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
第二十一页，共30页。
问题
(wèntí)导
学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
第 2 课时
等比数列的性质
第一页，共30页。
目标(mùbiāo)
导航
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KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
引导
学习目
记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
重点难
重点:等比数列的性质及应用;
点
难点:对等比数列性质的理解.
已知条件进行推理,从而得出结论.
第十八页，共30页。
问题(wèntí)
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6-2log 8 = 0,
= 2,
∴
= 11.
2 + 3log 8 = m.
故存在常数 c=2,使得对任意 n∈N*,an+logcbn 恒为常数 11.
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三个数或四个数成等比数列的设元技巧:
(1)若三个数成等比数列,可设三个数为 a,aq,aq2 或,a,aq;
(2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,
可设 3 , ,aq,aq3.
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等比数列的性质
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记住等比数列的常见性质,并会用这些性质解答一些简单的等比数
标
列问题.
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重点:等比数列的性质及应用;
点
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已知条件进行推理,从而得出结论.
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人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
例 3、等比数列 an 中， a4 , a12 是方程 x 20 x 16 0 的两个根，
2
则 a4 与 a12 的等比中项为( C ) （A） 4 （B） 4 （C） 4 （D） 16
例 4、在各项都为正数的等比数列 {an } 中， a6 a10 a3 a5 41 ，
an （5）欲证等比数列，只需证 q (n 2) ， an1
还需说明 a1 0 ， q 0 ．
二、等比数列的通项公式
an q an 1
叠乘法
a2 q a1 a3 q a2 a4 q a3
不完全归纳法
a2 a1 q
a3 a2 q a1 q2
a4 a3 q a1 q3
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
a4 a8 4 ，则 a4 a8 （ B ）
（A） 6 （B） 7 （C） 8 （D） 9
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项， 即 an an1 an1 (n 2) ．
2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.4 第1课时 等比数列的概念及通项公式
k=(
A.2
)
B.4
C.6
D.8
解析:依题意,得2 =a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理,得 k2-2k-8=0,
解得 k=4(k=-2 舍去).
答案:B
第十七页，编辑于星期日：一点 二十八分。
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
等比数列的判断与证明
例3(1)判断下列数列是否为等比数列.
当堂检测
反思感悟 1.判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下:
(1)定义法:若当 n≥1,n∈N*时, +1 =q(q≠0,q 为常数),则数列{an}为等
比数列.
2
(2)等比中项法:若+1
=anan+2(n∈N*),则数列{an}为等比数列.
(3)通项公式法:若数列{an}的通项an=cqn(c,q≠0),则数列{an}为等比数列.
不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.
2
3
(2)①先对给出的等式 an= an-1+1 进行转化变形,与 bn=an-3 相结合,
得出bn与bn-1的关系,从而判断数列{bn}是否为等比数列;②由{bn}为等比
数列,先求出bn,再根据bn=an-3求出an.
第十八页，编辑于星期日：一点 二十八分。
3
第五页，编辑于星期日：一点 二十八分。
课前篇自主预习
二、等比中项
1.能否在如下的两个数之间,插入一个数,使这三个数构成等比数列?
,8;(2)-10,
,-10;(3)9,
,- 1 .
2.4.1《等比数列》课件(人教A版必修5)
是项数相同的等比数列，那么数 例3：已知数列 a ，
n n
列
an bn
是等比数列吗？
解 : 设数列a n 的公比为p, 数列b n 的公比为q, 那么数列a n bn 的第n项与第n 1项分别为： a1 p n 1 b1q n 1与a1 p n b1q n a n 1 bn 1 因为 pq(常数) a n bn
不是
类型二、等比数列通项公式的应用
2、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项以 及通项公式. 解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么 a1q2 12, a1q3 18. 两 3 16 16 3 式相除得 q . 代入上式得 a1 .因此，a2 a1q 8. ， 3 3 2 2 n 1 通项公式为 a 16 3 n 3 2 n 1 16 16 3 与8 答：这个数列的第1项和第2项分别是 3 ，a n 3 2 .
（2）等比数列通项公式
an 的首项为a1，公比为q，则它的通项公式 设等比数列 n1 an= a1q （定义式） 设等比数列an 的第m项为am（m<n），公比为q，则它的 nm a q 通项公式为an= m
（3）等比数列的等比中项
如果在a与b 中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b 的 ， 其中，a，b （同号，异号)，且G2= ,即G=__ ___.
§2.4.1等比数列
（第一课时）
【学习目标】 1、理解等比数列定义，会用定义判断
等比数列.
2、掌握等比数列的通项公式.
3、掌握等比中项的定义和性质，并能
解决相应问题.
一、复习回顾： (1)等差数列的定义：
n n
列
an bn
是等比数列吗？
解 : 设数列a n 的公比为p, 数列b n 的公比为q, 那么数列a n bn 的第n项与第n 1项分别为： a1 p n 1 b1q n 1与a1 p n b1q n a n 1 bn 1 因为 pq(常数) a n bn
不是
类型二、等比数列通项公式的应用
2、一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项以 及通项公式. 解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么 a1q2 12, a1q3 18. 两 3 16 16 3 式相除得 q . 代入上式得 a1 .因此，a2 a1q 8. ， 3 3 2 2 n 1 通项公式为 a 16 3 n 3 2 n 1 16 16 3 与8 答：这个数列的第1项和第2项分别是 3 ，a n 3 2 .
（2）等比数列通项公式
an 的首项为a1，公比为q，则它的通项公式 设等比数列 n1 an= a1q （定义式） 设等比数列an 的第m项为am（m<n），公比为q，则它的 nm a q 通项公式为an= m
（3）等比数列的等比中项
如果在a与b 中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么 G叫做a与b 的 ， 其中，a，b （同号，异号)，且G2= ,即G=__ ___.
§2.4.1等比数列
（第一课时）
【学习目标】 1、理解等比数列定义，会用定义判断
等比数列.
2、掌握等比数列的通项公式.
3、掌握等比中项的定义和性质，并能
解决相应问题.
一、复习回顾： (1)等差数列的定义：
2018秋数学人教A版必修5课件：第二章2-4第1课时等比数列的概念与通n项公式 精品
类型 2 等比中项 [典例 2] 已知等比数列的前三项和为 168，a2－a5 ＝42，求 a5，a7 的等比中项． 解：设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，
a1＋a1q＋a1q2＝168， 因为
a1q－a1q4＝42.
a1（1＋q＋q2）＝168.
①
所以
a1q（1－q3）＝42.
②
因为 1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
等比中项为：± 22.
答案：±
2 2
类型 3 等比数列的判定(互动探究)
[典例 3] (1)已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( ) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等 比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等 比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
pq≠0，所以{an·bn}一定是等比数列．
(2)证明：法一：因为 an＞0，所以 an＋3＞0.
又因为 an＋1＝2an＋3，
an＋1＋3 2an＋3＋3 2（an＋3）
所以
＝
＝
＝2.
an＋3
an＋3
an＋3
所以数列{an＋3}是首项为 a1＋3，公比为 2 的等比数
列．
法二：因为 an＞0，所以 an＋3＞0. 又因为 an＋1＝2an＋3， 所以 an＋2＝4an＋9. 所以(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2 ＝(an＋1＋3)2. 即 an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3 成等比数列， 所以数列{an＋3}是等比数列．
(2) 在 数 列 {an} 中 ， 若 an ＞ 0 ， 且 an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．
高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式人教A版必修5
2.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数满足关系式 ab=G2.
思考 1 若 G2=ab,则 a,G,b 一定成等比数列吗?
提示:不一定.因为若 G=0,则 a,b 中至少有一个为 0,使 G2=ab,根据等比 数列的定义,a,G,b 不成等比数列.当 a,G,b 全不为零时,若 G2=ab,则 a,G,b 成
探究四
探究二 等比中项的应用
若 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,此时 G=± ������������. 注意:(1)在 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是 它的前一项与后一项的等比中项. (3)“a,G,b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b 均不为 0),可以用它来判断 或证明三个数成等比数列. 同时还要注意到“a,G,b 成等比数列”与“G= ������������”不是等价的.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3,∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面证明{an-n}是等比数列:
������������+1-(n + ������������-n
1)
=
3������������-2(n
+ 1) + ������������-n
是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列
高中数学人教A版必修5课件：2.4.2等比数列的性质及应用(34张)
2 2 a 162 6 法三：因为{an}为等比数列，所以 a2· a10＝a2 ， a ＝ 6 10 以 q4＝81， 所以 a10＝a1q9＝a1q· q8＝2×812＝13 122. a6 162 4 法二：因为 q ＝a ＝ 2 ＝81， 2 所以 a10＝a6q4＝162×81＝13 122.
方法归纳, 等比数列常用性质 (1)若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则 am· an＝ap· aq. 特例：若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则 am· an＝a2 p. an (2)a ＝qn－m(m，n∈N*)． m (3)在等比数列{an}中，每隔 k 项取出一项，取出的项，按原 来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列． (4) 数列{an} 为等比数列，则数列 {λan}(λ 为不等于 0 的常 1 数)a 仍然成等比数列． n
(4)若 m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则 am，ap，an 成 等比数列； 1 (5)数列{λan}(λ≠0)，a ，{a2 n}都是等比数列，且公比分别 n 1 是 q，q，q2. an (6)若{bn}是公比为 p 的等比数列，则{anbn}与b 也都是等 n q 比数列，公比分别为 pq 和p.
【课标要求】 1.掌握等比数列的几个基本性质，能够运用这些性质解决等 比数列中的有关问题. 2. 能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列 中的计算问题. 3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题．
自主学习 |新知预习|
基础认识
等比数列常见性质 若{an}是等比数列，公比是 q，则 (1)an＝a1qn－1＝a2qn－2＝„＝amqn－m(n>m)； (2)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝„＝aman－m＋1(n>m)； (3)若 k＋l＝m＋n＝2p(k，l，m，n，p∈N*)，则 ak· al＝am· an ＝a2 p；
人教A版高中数学必修五2.4《等比数列的性质》教学课件PPT(32张)
6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比 数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排 列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等 距离的前后两项的等比中项.
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a1q＝18， 解：(1)由 3 a1q ＝8，
a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3.
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a1q4－a1＝15， (2)由 3 a1q －a1q＝6，
q2＋1 5 得 q ＝ ， 2
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2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b ＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b＜0， 故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac ＝9，故选B 答案：B
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3．要证明一个数列为等比数列，必须对任意 n an＋1 an ∈N ， ＝q，或 ＝q(n≥2)都成立． an an－1
*
4．公式中含有四个量a1，an，q，n，如果已知 任意三个，可求第四个量．
2
∴a5，a7 的等比中项是± 3.
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方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的 基本方法． (2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两 个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中 顶．
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典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
1 an 中，a2＝4，a5＝－ ，求通项 【1 解：由 a2＝4，a5＝－ 知 4 ， 2 a1q ＝－1 2 a1＝－8， 解得 1 q＝－2，
(1)证明：因为 an＋1＝2an＋1，所以 an＋ 1＋1＝2(an＋1)， an＋1＋1 由 a1＝1， a1＋1≠0， 故 由上式易知 an＋1≠0， 所以 an＋1 ＝2，所以 an＋1 是以 2 为公比的等比数列．
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∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 1 1 ①÷ ②q(1－q)＝ ⇒q＝ . 4 2 42 ∴a1＝ ＝96. 1 14 － 2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·7＝ a a1q ·1q a
4 6
1 ＝a12q10＝962· 10＝9.
公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项 之比，防止前后次序颠倒．
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(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或 第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此 数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或 第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是 一个等比数列． (4)项不为0的常数数列是等比数列． an＋1 (5)证明一个数列为等比数列，其依据是 ＝ an
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预习测评
1．已知 a 是公比为 q 的等比数列，则这个数列 的通项公式为 ( )
n
A．an＝a3qn－2 C．an＝a3qn－3
B．an＝a3qn－1 D．an＝a3qn－4
解析：∵a3qn－3＝a1·2·n－3＝aqn－1＝an. q q 答案：C
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∴所求通项公式为
1n－1 － an＝－8· . 2
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列 中基本量的计算是最重要、最基本的问题．
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1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
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2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的________． 答案：等比中项 3．等比数列的通项公式为________． 答案：an＝a1qn－1
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自主探究
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0? 答案：等比数列的首项，公比都不为0. 2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有 一个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a， G，b不成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2 ＝ab，则a，G，b成等比数列．
2.4 等比数列（一）
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掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公 式及推导过程，并能应用等比数列的定义及通项公 式解决问题．
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自学导引
1．如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的比等于同一个常数，那么这个 数列叫做________数列，这个常数叫做等比 数列的________，公比通常用字母q表示 (q≠0)． 答案：等比 公比
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课堂总结
1． 等比数列 an 的通项公式为 an＝a1qn－1.在等比数 列中，an≠0，q≠0.
2．公比q可为正数、负数．特殊地，当q＝1 时，为常数列a1，a1，…，又若a1≠0，则它既为等差 数列，又为等比数列；当q＝－1时，数列为a1，－ a1，a1，－a1，….
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1 3．等比数列 1， ，„的通项公式为________________． 3 1 3 1 解析：等比数列的首项为 1，公比为 ＝ ， 1 3
所以其通项公式为
1 n－1 答案：an＝ . 3
1n－1 an＝3 .
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n－1
，所以
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(2)通项公式法：an＝cqn(c，q 均是不为 0 的常数， n∈N*)⇔ an 是等比数列； (3)中项公式法：an＋12＝an·n＋2(an·n＋1·n＋2≠0，n a a a ∈N )⇔ an 是等比数列．
*
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2．在等差数列 an 中，已知 a1，a2，a4 成等比数 列，求证：a4，a6，a9 也成等比数列．
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 1 则 a2－a1＝d＝ [(－4)－(－1)]＝－1， 3 ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝± 2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0. a2－a1 －1 1 ∴b2＝－2，∴ ＝ ＝ b2 －2 2
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误区解密 忽视题中隐含条件而出错
【例 4】 已知数列－1，a1，a2，－4 成等差数列， a2－a1 －1，b1，b2，b3，－4 成等比数列，求 的值． b2
错解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差 1 为 d，则 a2－a1＝d＝ [(－4)－(－1)]＝－1. 3 ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列．
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3．已知三个数成等比数列，积为27，和为13， 求这三个数． a a· q· aq＝27， a 解：设这三个数为 ，a，aq，则 q a＋a＋aq＝13， q
a＝3， 整理得 2 3q －10q＋3＝0，
1 解得 a＝3，q＝3 或 ， 3
∴这三个数为 1,3,9 或 9,3,1.
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(2)解： 由(1)可知 an＋1 是以 a1＋1＝2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 an＋1＝2×2 an＝2n－1.
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：
an＋1 (1)定义法： ＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*) an ⇔ an 是等比数列；
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∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝± 2. a2－a1 －1 1 当 b2＝2 时， ＝ ＝－ ， b2 2 2 a2－a1 －1 1 a2－a1 1 当 b2＝－2 时， ＝ ＝ .∴ ＝± . b2 2 b2 2 －2
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4．若等比数列的通项公式为 列的第 5 项为________．
1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
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要点阐释
1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
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a1＝27， a1＝－27， 解得 2 或 2 q＝3， q＝－3.
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a1q4－a1＝15， (2)由 3 a1q －a1q＝6，
q2＋1 5 得 q ＝ ， 2
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2．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么 ( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 解析：∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b ＝±3，又因为等比数列奇数项符号相同，得b＜0， 故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，ac ＝9，故选B 答案：B
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3．要证明一个数列为等比数列，必须对任意 n an＋1 an ∈N ， ＝q，或 ＝q(n≥2)都成立． an an－1
*
4．公式中含有四个量a1，an，q，n，如果已知 任意三个，可求第四个量．
2
∴a5，a7 的等比中项是± 3.
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方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的 基本方法． (2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两 个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中 顶．
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典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
1 an 中，a2＝4，a5＝－ ，求通项 【1 解：由 a2＝4，a5＝－ 知 4 ， 2 a1q ＝－1 2 a1＝－8， 解得 1 q＝－2，
(1)证明：因为 an＋1＝2an＋1，所以 an＋ 1＋1＝2(an＋1)， an＋1＋1 由 a1＝1， a1＋1≠0， 故 由上式易知 an＋1≠0， 所以 an＋1 ＝2，所以 an＋1 是以 2 为公比的等比数列．
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∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)， 1 1 ①÷ ②q(1－q)＝ ⇒q＝ . 4 2 42 ∴a1＝ ＝96. 1 14 － 2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·7＝ a a1q ·1q a
4 6
1 ＝a12q10＝962· 10＝9.
公比的意义，同时还要注意公比是每一项与其前一项 之比，防止前后次序颠倒．
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(3)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或 第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此 数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或 第3项起按原数列的项的排列顺序组成一个新数列是 一个等比数列． (4)项不为0的常数数列是等比数列． an＋1 (5)证明一个数列为等比数列，其依据是 ＝ an
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预习测评
1．已知 a 是公比为 q 的等比数列，则这个数列 的通项公式为 ( )
n
A．an＝a3qn－2 C．an＝a3qn－3
B．an＝a3qn－1 D．an＝a3qn－4
解析：∵a3qn－3＝a1·2·n－3＝aqn－1＝an. q q 答案：C
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∴所求通项公式为
1n－1 － an＝－8· . 2
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列 中基本量的计算是最重要、最基本的问题．
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1．在等比数列 an 中．
(1)a2＝18，a4＝8，求a1与q； (2)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
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2．如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b 成等比数列，那么G叫做a与b的________． 答案：等比中项 3．等比数列的通项公式为________． 答案：an＝a1qn－1
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自主探究
1．等比数列的公比能否为0，首项能否为0? 答案：等比数列的首项，公比都不为0. 2．若G2＝ab，则a，G，b一定成等比数列吗？ 答案：不一定，因为若G＝0，且a，b中至少有 一个为0，使G2＝ab，根据等比数列的定义，a， G，b不成等比数列．当a，G，b全不为零时，若G2 ＝ab，则a，G，b成等比数列．
2.4 等比数列（一）
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掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公 式及推导过程，并能应用等比数列的定义及通项公 式解决问题．
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自学导引
1．如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的比等于同一个常数，那么这个 数列叫做________数列，这个常数叫做等比 数列的________，公比通常用字母q表示 (q≠0)． 答案：等比 公比
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课堂总结
1． 等比数列 an 的通项公式为 an＝a1qn－1.在等比数 列中，an≠0，q≠0.
2．公比q可为正数、负数．特殊地，当q＝1 时，为常数列a1，a1，…，又若a1≠0，则它既为等差 数列，又为等比数列；当q＝－1时，数列为a1，－ a1，a1，－a1，….
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1 3．等比数列 1， ，„的通项公式为________________． 3 1 3 1 解析：等比数列的首项为 1，公比为 ＝ ， 1 3
所以其通项公式为
1 n－1 答案：an＝ . 3
1n－1 an＝3 .
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n－1
，所以
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2．在等差数列 an 中，已知 a1，a2，a4 成等比数 列，求证：a4，a6，a9 也成等比数列．
证明：设等差数列 an 的公差为 d，
∵a1，a2，a4成等比数列，∴a22＝a1a4. 即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d. ∵a1≠0，∴a1＝d或d＝0.
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 1 则 a2－a1＝d＝ [(－4)－(－1)]＝－1， 3 ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝± 2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0. a2－a1 －1 1 ∴b2＝－2，∴ ＝ ＝ b2 －2 2
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错解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差 1 为 d，则 a2－a1＝d＝ [(－4)－(－1)]＝－1. 3 ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列．
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3．已知三个数成等比数列，积为27，和为13， 求这三个数． a a· q· aq＝27， a 解：设这三个数为 ，a，aq，则 q a＋a＋aq＝13， q
a＝3， 整理得 2 3q －10q＋3＝0，
1 解得 a＝3，q＝3 或 ， 3
∴这三个数为 1,3,9 或 9,3,1.
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(2)解： 由(1)可知 an＋1 是以 a1＋1＝2 为首项， 2 为公比的等比数列，所以 an＋1＝2×2 an＝2n－1.
方法点评：等比数列的判断方法主要有以下几种：
an＋1 (1)定义法： ＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*) an ⇔ an 是等比数列；
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∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝± 2. a2－a1 －1 1 当 b2＝2 时， ＝ ＝－ ， b2 2 2 a2－a1 －1 1 a2－a1 1 当 b2＝－2 时， ＝ ＝ .∴ ＝± . b2 2 b2 2 －2
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1 5－ 1 1 解析：a5＝2× ＝ . 8 2
1 n－1 an＝2× .则数 2
1 答案： 8
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1．等比数列的定义 关于定义理解的几点注意： (1)由于等比数列每一项都可能作分母，故每一 项均不为0，因此q也不能是0. an＋1 (2) 均为同一常数，即比值相等，由此体现了 an
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