环型二级倒立摆LQR控制

环型二级倒立摆LQR控制
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日期：二零零六年五月二十日
摘要
控制理论发展过程中，某一理论的正确性以及实际应用中可行性，往往需要一个按其理论所设计的控制器去控制一个典型对象来验证其控制策略的效果。

倒立摆就是这样一个较为理想的实验装置。

倒立摆本身是一个自然不稳定体，在控制过程中能有效地反映控制中的许多问题。

倒立摆的典型性在于:作为一个装置，其成本低廉，结构简单，便于模拟，数字实现不同方式控制;作为被控对象，又相当复杂，是高阶次、不稳定、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。

本文在环型二级倒立摆系统进行数学建模的基础上得出系统的状态方程, 应用线性二次型最优控制策略, 对环型二级倒立摆进行ＬＱＲ控制器的设计与ＭＡＴＬＡＢ仿真实验，并给出了相应的实验结果。

关键词: 倒立摆；ＬＱＲ；最优控制；状态方程
Abstract
The inverted pendulum is an ideal equipment, which enables the possibility to validate the validity and the feasibility of some control theories, The inverted pendulum is a natural unstable equipment and can effectively reflects many matters in the control process. The model of the inverted pendulum is: as an equipment, low cost, simple machinery, easy to perform all kinds of controls in simulation and digital; as a controlled object, quite complex, high orders, instability, non-linearity, strong coupling system. We can keep it stable through some control method. Inverted pendulum system is a complicated , nonlinear , unstable system of high order. In the paper, it is discussed how to model the system of double inverted pendulums by using dynamics equation and then to t transform into a control problem of linearitied system. The optimized cont rolling policy with LQR cont roller is established on the MATLAB platform. The relevant experiment is also provided.
Keywords: LQR; inverted pendulum; optimal control
目录
１概述………………………………………………………………………………………………………………４１.１当前国内外控制理论发展概述………………………………………………………………………５１.２倒立摆系统的历史…………………………………………………………………………………………６１.３倒立摆控制系统的发展动向………………………………………………………………………………７１.４现代控制在倒立摆系统稳定控制中的应用………………………………………………………………９１.５对倒立摆系统研究的意义…………………………………………………………………………………１０１.６本文的主要工作………………………………………………………………………………………………１１２环型倒立摆系统数学模型的建立……………………………………………………………………………１２２.１环型倒立摆的特点………………………………………………………………………………………１２２.２Lagrange方程的特点……………………………………………………………………………………１２２.３状态空间模型……………………………………………………………………………………………１３２.４环型二级倒立摆系统数学模型的建立…………………………………………………………………１４３线性二次型最优控制器（LQR）的设计……………………………………………………………………２１３.１线性二次型最优控制理论………………………………………………………………………………２１３.１.１二次型最优控制理论…………………………………………………………………………………２１３.１.２加权矩阵的选取………………………………………………………………………………………２３３.２系统的可控性与可观测性………………………………………………………………………………２４３.３环型二级倒立摆LQR调节器的设计……………………………………………………………………２４３.３.１设计要求………………………………………………………………………………………………２５３.３.２理论分析………………………………………………………………………………………………２５３.３.３实例分析………………………………………………………………………………………………２６３.３.４Matlab实现……………………………………………………………………………………………３０４结束语…………………………………………………………………………………………………………３３致谢…………………………………………………………………………………………………………………３４参考文献……………………………………………………………………………………………………………３５附录…………………………………………………………………………………………………………………３６
1 概述
在现代科学技术的许多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。

所谓自动控制，是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置(称控制装置或控制器)，使机器、设备或生产过程(统称被控对象)的某个工作状态或参数(即被控量)自动地按照预定的规律运行。

例如，数控车床按照预定程序自动地切削工件;化学反应炉的温度或压力自动地维持恒定:雷达和计算机组成的导弹发射和制导系统，自动地将导弹引导到敌方目标;无人驾驶飞机按照预定航迹自动升降和飞行;人造卫星准确地进入预定轨道运行并回收等，这一切都是以高水平的自动控制技术为前提的。

自动控制系统的优劣，将直接影响到产量、质量、成本、劳动条件和预期目标的完成。

因此，自动控制愈来愈受到人们的重视，进而在控制理论和技术应用方面也获得了飞速的发展。

自动控制系统有多种分类方法。

例如，按控制方式可分为开环控制、反馈控制、复合控制等;按元件类型可分为机械系统、电气系统、机电系统、液压系统、气动系统、生物系统等:按系统功用可分为温度控制系统、压力控制系统、位置控制系统等;按系统性能可分为线性系统和非线性系统、连续系统和离散系统、定常系统和时变系统、确定性系统和不确定性系统等:按参据量变化规律又可分为恒值控制系统、随动系统和程序控制系统等。

倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型试验设备，是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。

通过对它的研究不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论设计的三个主要基础学科:力学、数学和电学(包含计算机)进行有机的综合应用，在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是工程实践中，存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。

倒立摆系统是一种严重非线性、多变量、强耦合和绝对不稳定的系统，倒立摆系统稳定与控制的研究在国外始于60年代，我国则从70年代中期开始研究。

首先根据经典控制理论与现代控制理论应用极点配置法，设计模拟控制器。

国内外专家学者先后控制了单倒立摆与二级倒立摆的稳定。

随着徽机的广泛应用，又陆续实现了数控二级倒立摆的稳定。

此外，由于智能控制理论的兴起，相继应用模糊理论与神经网络控制了二级倒立摆的稳定。

近代机械控制系统中，如直升飞机、火箭发射、人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题.倒立摆系统大概可以归纳为如下几类:悬
挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆系统。

倒立摆的级数可以是一级、二级、三级乃至多级，倒立摆系统的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义)。

早在60年代，人们就开始了对倒立摆系统控制的研究。

1966年Schaefer和Cannon应用Bang-Bang 控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。

在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被提了出来。

人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控制处理能力。

因而受到了普遍的重视。

1.1 当前国内外控制理论发展概述
自动控制自从其产生以来，广泛的应用在工业、农业、交通运输和国防各个方面，凡是控制性能要求较高的场合，都离不开自动控制。

现代化的机械设备、生产线、车间，甚至整个工厂都是电气化和自动化的。

它们由各种电动机、电器元件、半导体器件等设备，按一定规律组成系统，对生产过程进行自动控制。

自动控制是一门理论性很强的工程技术，我们把实现这种技术的理论叫做“自动理论”。

在国民经济各部门中，由于广泛应用了自动控制技术，改善了劳动条件，提高了产品质量和劳动生产率。

近几十年来，随着电子计算机技术的发展和应用，在宇宙航行、导弹制导以及核动力等高新技术领域中，自动控制更具有特别重要的作用。

不仅如此，自动控制技术的应用范围现己扩展到生物、医学、环境、经济管理和其它许多社会生活领域中，自动控制已成为现代社会活动中不可缺少的重要组成部分。

控制理论研究如何改进动态系统的性能以达到所需目标，这个广义定义包含了人类活动的许多方面。

控制理论试图以定量方式描绘这些问题，并集中于寻求一些精确的数学描述方法。

控制理论有两个目标:了解基本控制原理:以数学表达它们，使它们最终能用以计算进入系统的控制输入，或用以设计自动控制系统。

更进一步说，控制科学不仅用以处理单个动态系统，还用以处理在观察输出和系统本身带有不确定性条件下的复杂动态系统。

自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。

它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。

第二次世界大战期间，为了设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统以及其它基于反馈原理的军用装备，进一步促进并完善了自动控制理论的发展。

到战后，己形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经典控制理论，它主要研究单输入一单输出、线性定常系统的分析和设计问题。

一般处理的系统是单变量的系统，数学模型简单，基本分析和结合的方法是基于频率法、根轨迹法、相平面法等，描述系统的数学模型是微分方程或传递函数。

然而经典控制理论对干非线性时变系统却难以奏效。

到了50年代中期，由于空间技术的发展，现代控制理论应运而生。

现代控制理论主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题。

现代控制理论是基于系统内部描述的状态方程进行时域分析的状态空间方法、最优控制、最优滤波、系统辩识和自适应控制等等。

现代控制理论运用状态空间理论解决了多输入多输出问题，对象的模型采用内部模型以解析运算为主要手段，实现某个或某几个性能指标的最优。

所研究的对象可以为线性定常系统，也可以为非线性时变系统。

现代控制理论也要求建立系统的数学模型，但对于实际的工业系统，不是每个工业被控对象都能建立数学模型，而且随着科学技术的突飞猛进，对工业过程控制的要求越来越高，不仅要求控制的精确，而且更注重控制的鲁棒性、实时性、容错性及对控制参数的自适应和自学习能力，另外需要控制的工业过程日趋复杂，过程严重的非线性和不确定性，使许多系统无法用数学模型精确描述，这样建立在数学模型基础上的古典和现代控制方法将面临空前的挑战，同时也给智能控制方法的发展带来了良好的机遇。

自动控制理论己经过八十余年的历程，具备了从经典到现代严谨的理论体系。

自动控制概念渗入不同学科，状态空间描述方法广泛用于许多领域。

自动控制理论对科技进步功不可没堪称二十世纪伟大科技成就之一。

但如任何其他理论一样，也有其局限性，即仅当所研究的被控对象数学模型存在解析解时，才能求得控制律，而目前的数学只能求出线性和一些典型非线性情况的解析解。

这就是说，控制理论所依赖的工具——数学，限制了其应用。

对于简单的被控对象，即使存在非线性，若控制要求不高，也可通过相对平衡点的小偏离线性化把所论问题规划到线性范畴，或可采用相平面等非线性理论加以解决。

而随着人类社会的进步，面对的被控对象日趋复杂，其非线性特性可能不符合小偏离线性化的条件，甚至难以建立数学模型，致使自动控制理论面临严峻的挑战。

目前，自动控制理论还在继续发展，并且跨越学科界限，正向以控制论、信息论、仿生学为基础的智能控制理论深入。

智能控制是人工智能，自动控制与计算机相结合的产物，利用人类智能实现控制目的。

是被控系统的高度复杂性、高度不确定性以及人们对控制性能要求越来越高的产物。

我们认为，智能控制系统具有能够处理高度非线性和复杂性的被控对象并对系统和环境的不确定性变化具有高度动态适应能力的自主系统，其本质是对动态的感知、学习和适应能力。

其主要具有联想记忆和学习能力、动态自适应能力和组织协调能力。

现在最有潜力的控制方法主要有基于模糊逻辑的模糊控制系统，基于神经网络的神经控制系统以及基于知识的专家控制系统。

1.2 倒立摆系统的历史
自从20世纪50年代倒立摆系统成为控制实验室的经典工具以来，关于倒立摆控制的论述可以分为两个主要的方面:
1）理论方面:依靠计算机仿真对控制方法的可行性进行验证;
2）实验方面:调查引起计算机仿真结果和实时控制之间性能差异的物理不确定性。

在理论方面，Chung和Litt对单轴倒立摆系统的动态进行了辨识，并分别设计了自适应自整定反馈控制器和PD反馈控制器来保持倒立摆在垂直向上方向的稳定。

1989年，Anderson和Grantham运用函数最小化和Lyapunov稳定方法成功产生了一个优化反馈控制器。

1992年，Renders和Soudak通过相平面分析，得到了一个线性控制器。

1995年，任章等应用振荡控制理论，通过在倒立摆支撑点的垂直方向上加入一个零均值的高频振荡信号，改善了倒立摆系统本身的稳定性。

1998年，蒋国飞等将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现了状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。

2001年，单波等利用基于神经网络的预测控制算法对倒立摆的控制进行了仿真。

在两轴倒立摆方面，Sabba把系统稳定尺
H状态度作为一个无限维不等式，从而避免了Lyapunov方法。

1996年，翁正新等，利用带观测器的
反馈控制器对二轴倒立摆系统进行了仿真控制。

1997年，翁正新等利用同样的方法对倾斜导轨上的二轴倒立摆进行了仿真控制。

2000年，刘妹琴等用进化RBF神经网络控制二轴倒立摆。

1994年，Sinha 和Joseph利用Lyapunov-Floquet变换得到了三轴倒立摆系统的计算机仿真模型(有三个控制输入)。

2001年，李洪兴领导的模糊系统和模糊信息研究中心利用变论域自适应模糊控制的思想在国际上首次实现了四轴倒立摆的仿真;同年，肖军等提出一种基于三维模糊组合变量的控制方法，仿真结果证明了该方法的有效性。

在数学模型方面，Larcombe得到了在二维坐标中的简单多轴倒立摆系统的运动方程。

1992年，Larcombe和Torsney发现了简单多轴倒立摆系统平衡状态的辨识方程。

随后，Larcombe 把符号算法应用于两轴倒立摆系统的开环线性化动态方程，并且计算了系统的特征方程和开环极点。

2001年，史晓霞等建立了二轴倒立摆的数学模型;同年，张葛祥等建立了三轴倒立摆的数学模型，并分析了系统的可控制性和可观测性，给出了智能控制算法的思路。

在实验方面，单轴倒立摆系统的实验最早出现在Roberge的论文中。

1963年Higdon和Cannon提出了平行倒立摆的问题。

Koenigsberg和Fredrick则使用了基于观测器的输出反馈控制器和状态反馈调节器。

Mori等设计了一个组合控制器，既可以摆起倒立摆，还可以维持它在垂直向上方向上的平衡。

1992年Simth和Blackburn利用高频垂直振荡获得稳定的倒置状态；同年，Ostertag和Carvalho- Ostertag开发了一个带摩擦力补偿的稳定模糊控制器。

Wei等利用bang-bang非线性控制器摆起了倒立摆并稳定在垂直向上方向。

1996年，张乃尧等实现了倒立摆的双闭环模糊控制。

1998年，王佳斌用B-P 网络控制倒立摆。

对于二轴倒立摆，Sturegeon和Loscuttof认为只有全阶观测器才能实现它的稳定;但Furuta等，证明了这种结论的错误性并在1978年利用一个线性函数观测器稳定了同一系统。

1980年，Furuta等控制了倾斜导轨上的同一系统，并能保持小车的正确定位。

Zu-ren等在1984年运用部分状态和线性函数观测器结构，在模拟计算机上应用了同一算法，1987年他们使用离散二次性能指标修改了这一控制器。

1993年，Van Der Linden和Lambrechts在运用H二理论设计倒立摆的控制器时考虑了干摩擦。

Yamakita等运用学习控制方法成功摆起了二轴倒立摆系统，而且在1994年他们运用这相同的控制方法使倒立摆在四种平衡状态中互相切换。

1995年，程福雁等利用参变量模糊控制对二轴倒立摆进行实时控制，取得了较好的效果。

1999年，李岩等运用基于PD控制的专家智能控制本实现了二级倒立摆的稳定控制。

2000年，林红等利用最优反馈调节器使其在倒立位置保持平衡，并在锯齿波信号的作用下有规律地移动，直止无限远处。

在三轴倒立摆方面，Furuta和Meier等分别利用带函数观测器和降阶观测器的LQR方法设计了反馈控制器。

1999年，李德毅利用云控制方法有效地实现了单电机控制的一、二、三轴倒立摆的多种不同动平衡姿态，并给出了详细试验结果;同年，张飞舟等采用相平面分析法并结合人的控制经验，实现了一、二、三轴倒立摆的拟人智能控制。

2000年，杨亚炜等利用拟人智能控制成功实现了在倾斜导轨上三轴倒立摆的稳定，并可以控制三轴倒立摆沿水平或倾斜导轨自由行走。

1.3 倒立摆控制系统的发展动向
倒立摆的运动与杂技顶杆表演类似，杂技顶杆表演是人们熟悉的演艺，不仅是其技艺的精湛。

更重要的是其物理机制与控制系统的稳定性密切相关。

它深刻地揭示了自然界一种基本的规律，即一个
自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。

这一规律己成为当今航空航天器设计的基本思想，即牺牲飞行器的自然稳定性来确保它的机动性。

不难理解，当今高速飞行器外形的选择无不与其控制手段有关。

综上所述，不难看出杂技演员顶杆的物理机制可简化成一个倒置的物理摆，也就是我们常称之为的倒立摆或称一级倒立摆系统。

倒立摆系统是一种非线性、多变量和绝对不稳定的动态系统。

近代机械控制系统中，如直升飞机、火箭发射、人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等，都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题。

自从倒立摆的概念被首次正式提出以来，倒立摆的控制一直是控制领域及相关领域经久不衰的研究课题。

纵观倒立摆控制的研究历史，大致有两种发展趋势。

一方面是传统的小车式倒立摆的级数逐渐增加。

倒立摆装置的研究最初始于上个世纪的五十年代，麻省理工大学(MIT)电机工程系设计出单级倒立摆的实验设备。

由此演绎，渐渐产生了二级、三级和多级倒立摆。

目前为止，国内已经实现了四级小车式倒立摆实际物理系统的控制。

另一方面是倒立摆的外形结构呈现了多样化，不断出现新型的倒立摆，如旋转式倒立摆、环形倒立摆平面倒立摆等。

目前倒立摆控制算法的研究已进行得比较深入。

早期的倒立摆控制方法主要是传统的控制方法，如PD控制和基于线性模型的状态反馈控制。

E.Eastuood等在1967年和Bryson等在1970年先后应用状态状态反馈方法对倒立摆模型进行控制，并取得成功;1975年Shozo Mori应用此方法和硬件状态观测器对悬挂式倒立摆模型控制成功;继而1987年Kac.Check等实现了对球平衡模型的控制。

之后随着一些控制理论的发展和完善，许多特殊的控制方法逐渐被应用到倒立摆系统上。

H范数作为目标随着鲁棒控制理论的提出与发展，尤其是自从1981年，Zames在其论文中引入∞
H控制理论的诞生以来，各种鲁棒控制算法逐渐被应用在倒立摆函数对系统进行优化设计，标志着∞
H状态反馈控制器对二级倒立摆系统上。

其中基于数学模型进行仿真研究的有:翁正新等利用鲁棒∞
和倾斜导轨上的倒立摆进行了控制；楼顺天等利用时变不确定性关联系统的鲁棒自适应控制方法对互
H状态反馈和Kalman滤波相结合的方法实现了二级倒立耦双倒立摆系统实现了控制；刘珊中等利用∞
H状摆的控制。

对实际倒立摆系统实现控制的有；一级倒立摆的实物控制，钟瑞麟等利用基于LMI的∞
H
态反馈设计原理实现了二级倒立摆的控制；薛安克等基于鲁棒LQ控制实现了一级倒立摆的控制及∞最优控制实现了二级倒立摆的控制。

从倒立摆鲁棒控制的文献中可以看出，基于各种鲁棒控制原理设计的控制器最终都是得到一组状态反馈系数，这对控制器本身并没有变化，只是给同样的控制器赋予了不同的含义，并用不同的方式得到控制器的参数而已。

随着模糊控制的发展，其相应控制理论在二十世纪八十年代末开始应用于倒立摆系统。

起初是单纯的模糊控制，由于模糊控制的控制规则较多，导致相应控制器的参数太多而无法很好地选取。

在神经网络理论及遗传算法等渐渐成熟起来时，倒立摆的控制过程中往往是结合几种算法进行设计得到其控制器。

例如基于神经网络中的BP网络、 RBF网络、 Hopfield网络、模拟退火算法、遗传算法等设计的模糊控制算法，大大减小了模糊控制器设计的复杂度。

当前，倒立摆的控制规律可总结如下:
1）PID控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状态空间理论推导出其非线性模型，再在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，于是设计出PID控制器实现其控制。

H控制，通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的动力学模型，然后使用状2）状态反馈∞
H和Kalman滤波相结合的方法，实现对倒立态空间理论推导出状态方程和输出方程，应用状态反馈∞
摆的控制。

3）利用云模型实现对倒立摆的控制，用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。

这种拟人控制不要求给出被控对象精确的数学模型，仅仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。

4）神经网络控制，已经得到证明，神经网络(Neural Network，NN)能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量或定性的信息都等势分布贮存于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性；也可将Q学习算法和BP神经网络有效结合，实现状态未离散化的倒立摆的无模型学习控制。

5）遗传算法((Genetic Algorithms GA)，高晓智在Michine的倒立摆控制Boxes方案的基础上，利用GA对每个BOX中的控制作用进行了寻优，结果表明GA可以有效地解决倒立摆的平衡问题。

6）自适应控制，主要是为倒立摆设计出自适应控制器。

7）模糊控制，主要是确定模糊规则，设计出模糊控制器实现对倒立摆的控制。

8）使用几种智能控制算法相结合实现倒立摆的控制，比如模糊自适应控制，分散鲁棒自适应控制等等。

9）采用遗传算法与神经网络相结合的方法，首先建立倒立摆系统的数学模型，然后为其设计出神经网络控制器，再利用改进的遗传算法训练神经网络的权值，从而实现对倒立摆的控制，采用GA 学习的NN控制器兼有NN的广泛映射能力和GA快速收敛以及增强式学习等性能。

1.4 现代控制在倒立摆系统稳定控制中的应用
在古典控制理论中，主要考察系统输出与输入的关系，因而整个理论是基于传递函数来分析与设计系统的理论。

而传递函数是从系统的外部观察系统时得出的系统数学模型的一种描述，不涉及系统内部的动态过程，因而传递函数被称为系统的外部描述模型。

从能否完全揭示系统的全部运动状态来论，传递函数显然有其不足之处。

在现代控制理论中，系统是用一组状态变量构成一阶微分方程组来描述的，这组状态变量能够表达系统内部运动的全部动态过程，因而它能更深刻地刻划系统的特征。

由于系统的状态空间描述不但能反映系统外部的行为，而且能揭示系统内部的运动规律，所以它称为系统的内部描述模型。

由于状。