山西省平遥县二中2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题

山西省平遥县二中2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1、下列各组几何体中是多面体的一组是( )
A. 三棱柱 四棱台 球 圆锥
B. 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥
C. 三棱柱 四棱台 正方体 圆台
D. 圆锥 圆台 球 半球
2、用符号表示“点A 在直线l 上，l 在平面α外”，正确
的是（ ）
A.α⊄∈l l A ,
B.α∉∈l l A ,
C.α⊄⊂l l A , D ．α∉⊂l l A ,
3、正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A 3
B 32
C ．33
4、一个正三棱柱的主视图如图所示，则其左视图的面积是( )
5、如图，△O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是( )
A ．6
B ．
C ．
D ．12
6、已知空间中有三条线段AB ，BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是
( )
A.AB ∥CD
B.AB 与CD 异面
C.AB 与CD 相交
D.AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交
7、如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO ⊥平面ABCD ，O 为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
8、如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1
与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，
正确结论的序号是( )
A．① B．② C．③ D．②③
9、知直线m，n和平面α，满足m⊂α，n⊥α，则直线m，n的关系是（）
A．平行 B．垂直 C．异面 D．平行或异面
10、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF 平行的直线（）
A．有无数条 B．有2条 C．有1条 D．不存在
11、如图1所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．
图1 图2
现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是（）
A．①②B．①②③C．① D．②③
12、如图2，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆.如果圆柱的体积是V，那么三棱柱的体积是（）
A. 2V
π
B.
V
π
C.
2
V
π
D.
3
V
π
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线；
上述命题中正确的命题是________(只填序号)．
14、P 为边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一点且PA PB PC a ===，则P 到AB 的距离为______。

15、Rt ABC ∆中，3,4,5AB BC AC ===，将三角形绕直角边AB 旋转一周所成的几何体的体积为____________。

16、已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系______________。

三、解答题（共70分）
17、（本题满分10分）
已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点， 且ＥＨ∥ＦＧ．求证：EH ∥BD .
18、（本题满分12分）
如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA=1，PD=
．
（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．
19、（本题满分12分）
如图是在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆
柱的表面积.
20、(本题满分12分)
如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点．
(1)求证：直线A1D⊥B1C1；
(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．
21、（本题满分12分）
如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别是CD和AD上的点，且EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点。

22、（本题满分12分）
如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，BB1＝2BC，D，E，F分别是CC1，A1C1，B1C1的中点，G在BB1上，且BG＝3GB1.求证：
(1)B1D⊥平面ABD； (2)平面GEF∥平面ABD.
平遥二中高二年级十月考试数学答案
一、选择题
1--5 B A D C D 6--10 D C C B A 11—12 B C
二、填空题
13、 ① 14 15、 6π 16、异面或相交 三、解答题
17、证明：
,EH FG EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCD EH ∴面BCD 又EH ⊂面BCD ，面BCD 面ABD BD =， EH BD ∴
18、证明：（Ⅰ）因为四棱锥P ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，
所以PD 2=PA 2+AD 2
，所以PA ⊥AD 又PA ⊥CD ，AD ∩CD=D 所以PA ⊥平面ABCD （Ⅱ）解：四棱锥P ﹣ABCD 的底面积为1，因为PA ⊥平面ABCD ，所以四棱锥P ﹣ABCD 的高为
1，所以四棱锥P ﹣ABCD 的体积为：．
19、解：如图所示，设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积
为S ，则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝
＝2.易知△AEB ∽△AOC ， ∴＝，即＝，∴r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝2π.
∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
20、(1)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥BC ，
在等边△ABC 中，D 是BC 中点，所以AD ⊥BC ，因为在平面A 1AD 中，
A 1A ∩AD ＝A ，
所以BC ⊥平面A 1AD ，又因为A 1D ⊂平面A 1AD ，
所以A 1D ⊥BC ，
在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BCC 1B 1是平行四边形，
所以B 1C 1∥BC ，所以，A 1D ⊥B 1C 1.
(2)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1是平行四边形，在平行
四边形ACC 1A 1中连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接DO.
故O 为A 1C 的中点．在三角形A 1CB 中，D 为BC 中点，O 为A 1C 中点，故DO ∥A 1B.
因为DO ⊂平面ADC 1，A 1B ⊄平面ADC 1，所以，A 1B ∥平面ADC 1，
故A1B与平面ADC1平行．
21、证明：∵直线EH∩直线FG=K，
∵K∈EH，EH⊂平面ABD
∴K∈平面ABD；
同理：K∈平面BCD；
∵平面ABD∩平面BCD=BD；
∴K∈直线BD；
即：EH、FG、BD三条直线相交于一点。

22、证明：(1)取BB1的中点为M，连接MD，如图所示．
因为BB1＝2BC，且四边形BB1C1C为平行四边形，
所以四边形CDMB和四边形DMB1C1均为菱形．
故∠CDB＝∠BDM，∠MDB1＝∠B1DC1，
所以∠BDM＋∠MDB1＝90°，即BD⊥B1D.
又AB⊥平面BB1C1C，B1D⊂平面BB1C1C，
所以AB⊥B1D.
又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.
(2)连接MC1，可知G为MB1的中点，
又F为B1C1的中点，所以GF∥MC1.
又MB//C1D，
所以四边形BMC1D为平行四边形，
所以MC1∥BD，故GF∥BD.
又BD⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD.
又EF∥A1B1，A1B1∥AB，AB⊂平面ABD，
所以EF∥平面ABD.
又EF∩GF＝F，故平面GEF∥平面ABD.。