3.1-中值定理PPT课件

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• 17岁时，开始专攻当时迅速发展的数学分析。 18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文 ，1755年拉格朗日19岁时，在探讨数学难题“ 等周问题”的过程中，他以欧拉的思路和结果 为依据，用纯分析的方法求变分极值。
• 19岁时就当上了都灵皇家炮兵学校的教授，成 为当时欧洲公认的第一流数学家。1756年20岁 时，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士 科学院通讯院士。
f (x)在 [a, b] 上满足 拉格朗日定理条件：
△y= f ( x+ △x )·△x
要求: △x有限.
推论1：如果函 f(x)数 在区 I上 间的导数 , 恒
那末 f(x)在区 I上 间是一.个常数
推论2 具有相同导函数的两个函数，相差一个
常数.
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3.用途:用来证明等式或不. 等式
例3 证 a明 r x c asri x c n ( c 1 o x 1 s ). 2
yf(x)
在曲线弧AB上至少有一
点C,在该点处的切线平
行于x轴.
oa .
1
2
b
x 4
例:对f(x) x2 2x3(x1)(x3) 在[1,3]上验证罗尔定理性 的正确
解： (1)f(x)在 [1,3]上连 , 续 (2)f(x)2x2 在 (1,3)内处处,有 f(x)在 (1,3)内可导 (3 )f( 1 )f(3 )
令 f ( x ) 2 x 2 0 得 x 1f(1)0
(1,3), 使 f()0
（既要验证条件，又要验证结论）
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注1:罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的. 注2 用途：确定导函数的根的位置
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二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理：如果 y 函 f(x)满 数:足
• 柯西在幼年时，他的父亲常带领他到法 国参议院内的办公室，并且在那里指导 他进行学习，因此他有机会遇到参议员 拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他 们对他的才能十分常识；拉格朗日认为 他将来必定会成为大数学家，但建议他 的父亲在他学好文科.前不要学数学。 25
• 柯西于1802年入中学。在中学时，他的 拉丁文和希腊文取得优异成绩，多次参 加竞赛获奖；数学成绩也深受老师赞扬。 他于1805年考入综合工科学校，在那里 主要学习数学和力学；1807年考入桥梁 公路学校，1810年以优异成绩毕业，前 往瑟堡参加海港建设工程。
第三章 中值定理与导数的应用
第一节 中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西定理
问题的提出(Introduction)
我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率
的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变 化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要 把握函数在某区间上的整体变化性态。
那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何 关系呢？
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一、罗尔(Rolle)定理
罗尔定理：如果函 yf数 (x)满足以下 : 三条
(1)在闭[a 区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a 区 ,b)内 间可 ; 导
(3)在区间两端点 相的 等 ,即 f(函 a)数 f(b)值 ;
则至少存 (a,b 在 )使 , 一 f得 ()点 0
几何解释:
y
C
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性质与
该区间内部某一点的导数之间的关系，是导数与实
际问题联系的桥梁，借助中值定理可应用导数来研
究函数及曲线的某些性态（如单调性、函数的极值、
最值；凹凸性、拐点等）。
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中值定理包括三个定理： 罗尔定理
拉格朗日定理（微分中值定理） 柯西定理
所研究的内容：它们都是研究函数在一区间上两 端点的函数值与它在区间内某一 点的导数值之间的关系.
证 设 f( x ) ar x a cs r x ,ic x n [ c 1 ,1 ] os
f(x) 1 ( 1 )0.
1x2
1x2
f ( x ) C ,x [ 1 , 1 ]
又 f(0 ) ar0 c a sirn 0 c 0c o s , 22
即C . 2
arcxsa in rcxc o.s 2.
1 1 1x
1 1 1, x x x,
1x 1
1x 1
即x ln1 (x)x.
1x
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证毕
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方法
利用拉格朗日定某理些证不明等式时，设首先
一个恰当的函数将， f'(然 )适后当的放大或缩
从而得到所要证等明式的不
练习：证 x明 0时,当 ex x1.
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三、柯西(Cauchy)中值定理
柯西定理： 如果f函 (x),g数 (x)满足 :
(1)在闭[a 区 ,b]上 间连 ; 续 (2)在开(a 区 ,b)内 间可 ; 导
(3 )在 (a,b)内 ,g(x)0
则至少存在一 (a点 ,b),使得 f() f(b)f(a) g() g(b)g(a)
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几何解释:
在曲线弧 AB上至少有
一点 C (g ( ), f ( )), 在
该点处的切线平行于 弦AB. 证 作辅助函数
N
线平行于弦AB.
o a 1 x
.
D
2b x
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证 分析: 条件中与罗尔定f理 (a)相 f差 (b).
弦AB方程为 yf(a)f(b )f(a)(xa).
ba 曲线 f(x)减去A弦 ,B
所得曲a,线 b两端点的函数.值相等
作辅助函数 F (x ) f(x ) [f( a ) f( b ) f( a )(x a ) b a
即 f()f(b)f(a)g()0,
g(b)g(a)
f(b)f(a)f(). g(b)g(a) g()
当g(x)x, g ( b ) g ( a ) b a ,g ( x ) 1 ,
gf((bb))gf((aa))gf(())
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f(b)f(a)f(). ba
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例：a设 xb,函数 fx在a,b上连a续 ,b内 ，可导
• 柯西于1816年先后被任命为法国科学院 院士和综合工科学校教授。1821年又被 任命为巴黎大学力学教授，还曾在法兰 西学院授课。
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Yy
X g(x)
C
Y
f (x)
M
B
A
N
o g (a) g(1) g ( x)
D
g(2 ) g (b)
Xx
(x )f(x )f(a )f(b )f(a )[g (x ) g (a )].
g (b ) g (a )
(x)满足罗尔定理的条, 件
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则(a 在 ,b)内至少,存 使 在 得 () 一 0. 点
他在数学、力学和天文学三个学科 领域中都有历史性的贡献，其中尤 以数学方面的成就最为突出
• 拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的 都灵。父亲是法国陆军骑兵里的一名军官，后 由于经商破产，家道中落。据拉格朗日本人回 忆，如果幼年是家境富裕，他也就不会作数学 研究了，因为父亲一心想把他培养成为一名律 师。拉格朗日个人却对法律毫无兴趣。
• 近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直 接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在 数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面
影响的数学家之一。
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• 柯西1789年8月2l日出生生于巴黎， 他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法 国波旁王朝的官员，在法国动荡 的政治漩涡中一直担任公职。由于 家庭的原因，柯西本人属于拥护波 旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒 。
证明： a,b,使得
f(b)f(a)f()lnb
a
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小结：
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；

Rolle f(a)f(b) Lagrange F(x)x Cauchy
定理
中值定理
中值定理
注意定理成立的条件； 会用中值定理证明简单的等式与不等式.
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• 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)， • 法国数学家、物理学家。
△y = f (x+△x) f (x) =f ( ) ·△x . 其中 (x, x+△x) 或 (x+△x, x)
记 =x+ △x (其中0< <1)
有限增量公式: △y= f ( x+ △x ) ·△x
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比较 :
f (x)在 x 处于可微：
△ydy=f (x)·△x
要求:| △x |很小， 且f (x)0
证毕 15
例4 证x 明 0 时 , 当 x ln 1 x ( ) x . 1 x
证 设f(t)ln1 (t),
f (t)在[0, x]上满足拉氏定理的条, 件
f ( x ) f ( 0 ) f ( ) x 0 ( ) ( 0 , x )
所以
ln1(x) x , 1
又 0x
F(x) 满足罗尔定理的条件,
则(a 在 ,b)内至少,存 使F 在 得 () 一 0. 点
即 f()f(b)f(a)0 ba
f()f(b)f(a)
ba
或 f ( b ) f ( a ) f ( )b ( a ). 拉格朗日中值公式
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注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 拉格朗日中值的另外一种形式： 若 f (x)在 [a, b]上满足拉格朗日中值定理条件, 对于 [a, b] 上任意两点 x, x+△x, 在 [x, x+△x] (或 [x+△x, x] ) 上, 公式也成立.
(1)在闭[a 区 ,b]上 间连 ; 续
(2)在开(a 区 ,b)内 间可 ; 导
则至少 (a ,b 存 )使 , f在 (得 )f一 (b )f(a 点 )
b a
或 f ( b ) f ( a ) f () b ( a ) y
几何解释:
C
yf(x)
M
B
在曲线弧AB上至少有
一点C,在该点处的切 A