陕西西安雁塔区师范大附属中学2024届中考二模数学试题含解析

陕西西安雁塔区师范大附属中学2024届中考二模数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面计算中，正确的是（ ）
A ．（a+b ）2=a 2+b 2
B ．3a+4a=7a 2
C ．（ab ）3=ab 3
D ．a 2•a 5=a 7
2．2018年，我国将加大精准扶贫力度，今年再减少农村贫困人口1000万以上，完成异地扶贫搬迁280万人．其中数据280万用科学计数法表示为( )
A ．2.8×105
B ．2.8×106
C ．28×105
D ．0.28×107
3．⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．8
4．在实数0，－π，3，－4中，最小的数是（ ）
A ．0
B ．－π
C ．3
D ．－4
5．黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景
观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（ ）
A ．6.06×104立方米/时
B ．3.136×106立方米/时
C ．3.636×106立方米/时
D ．36.36×105立方米/时
6．被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜FAST 的反射面总面积约为250000m 2，则250000用科学记数法表示为( )
A ．25×104m 2
B ．0.25×106m 2
C ．2.5×105m 2
D ．2.5×106m 2
7．下列计算结果正确的是（ ）
A ．329()a a -=
B ．236a a a ⋅=
C ．3332a a a +=
D ．0(cos 600.5)1︒-=
8．如图，以正方形ABCD 的边CD 为边向正方形ABCD 外作等边△CDE ，AC 与BE 交于点F ，则∠AFE 的度数是（ ）
A ．135°
B ．120°
C ．60°
D ．45° 9．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a≠1 B ．a≠0 C ．a≠1且a≠0 D ．一切实数
10．如图，已知AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠1＝40°，则∠2的度数为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算：31-2
2的结果是_____． 12．若实数a 、b 、c 在数轴上对应点的位置如图，则化简：2|a+c|+222b bc c -++3|a ﹣b|=_____．
13．已知点11(,)A x y ，22(,)B x y 在二次函数2(1)1y x =-+的图象上，若121x x >>，则1y __________2y ．（填
“>”“<”“=”）
14．如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD ，DC ∥AB ，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为
1.2：1，坝顶部DC 宽为2m ，坝高为6m ，则坝底AB 的长为_____m ．
15．若点M （k ﹣1，k+1）关于y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数y=（k ﹣1）
x+k 的图象不经过第 象限．
16．如图，△ABC 是直角三角形，∠C=90°，四边形ABDE 是菱形且C 、B 、D 共线，AD 、BE 交于点O ，连接OC ，若BC=3，AC=4，则tan ∠OCB=_____
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）已知关于x 的一元二次方程2
(3)0x m x m ---=.求证：方程有两个不相等的实数根；如果方程的两实根
为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值． 18．（8分）在“传箴言”活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行了统计，并制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
求该班团员在这一个月内所发箴言的平
均条数是多少？并将该条形统计图补充完整；如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学.现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加该校团委组织的“箴言”活动总结会，请你用列表法或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率.
19．（8分）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点P 是AB 边上的一个动点，连接CP ，过点P 作PC 的垂线交AD 于点E ，以 PE 为边作正方形PEFG ，顶点G 在线段PC 上，对角线EG 、PF 相交于点O ．
（1）若AP =1，则AE = ；
（2）①求证：点O 一定在△APE 的外接圆上；
②当点P 从点A 运动到点B 时，点O 也随之运动，求点O 经过的路径长；
（3）在点P 从点A 到点B 的运动过程中，△APE 的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB 边的距离的最大值．
20．（8分）某汽车制造公司计划生产A 、B 两种新型汽车共40辆投放到市场销售．已知A 型汽车每辆成本34万元，
售价39万元；B型汽车每辆成本42万元，售价50万元．若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552万元．请解答下列问题：
（1）该公司有哪几种生产方案？
（2）该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的情况下，公司决定拿出利润的2.5％全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），甲钢板每吨5000元，乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？（直接写出答案）
21．（8分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=DC，E为AB边的中点，
（1）尺规作图：作∠C的平分线CF，交AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接EF，若BD=4，求EF的长．
22．（10分）. 在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M 落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．
23．（12分）先化简再求值：
21
2
x
x
-
+
÷（
1
2
x+
﹣1），其中x＝
1
3
．
24．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．
（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；
（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
直接利用完全平方公式以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【题目详解】
A. (a+b)2=a 2+b 2+2ab ，故此选项错误；
B. 3a+4a=7a ，故此选项错误；
C. (ab)3=a 3b 3，故此选项错误；
D. a 2⋅a 5=a 7，正确。

故选：D.
【题目点拨】
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，解题的关键是掌握它们的概念进行求解.
2、B
【解题分析】
分析：科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，
n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．
详解：280万这个数用科学记数法可以表示为62.810，
⨯ 故选B.
点睛：考查科学记数法，掌握绝对值大于1的数的表示方法是解题的关键.
3、C
【解题分析】
根据题意可以求出这个正n 边形的中心角是60°，即可求出边数.
【题目详解】
⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
则这个正n边形的中心角是60°，
÷︒=
360606
n的值为6，
故选：C
【题目点拨】
考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.
4、D
【解题分析】
根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可求解．
【题目详解】
∵正数大于0和一切负数，
∴只需比较-π和-1的大小，
∵|-π|＜|-1|，
∴最小的数是-1．
故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了实数的大小的比较，注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
5、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【题目详解】
1010×360×24=3.636×106立方米/时，
故选C．
【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为a×
10n ，其中1≤|a|＜10，n 为整数． 【题目详解】
解：由科学记数法可知：250000 m 2=2.5×
105m 2， 故选C ．
【题目点拨】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．
7、C
【解题分析】
利用幂的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项及零指数幂的定义分别计算后即可确定正确的选项．
【题目详解】
A 、原式6a =，故错误；
B 、原式5a =，故错误；
C 、利用合并同类项的知识可知该选项正确；
D 、cos600.5︒=，cos600.50︒-=，所以原式无意义，错误，
故选C ．
【题目点拨】
本题考查了幂的运算性质及特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是能够利用有关法则进行正确的运算，难度不大．
8、B
【解题分析】
易得△ABF 与△ADF 全等，∠AFD=∠AFB ，因此只要求出∠AFB 的度数即可．
【题目详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD ，∠BAF=∠DAF ，
∴△ABF ≌△ADF ，
∴∠AFD=∠AFB ，
∵CB=CE ，
∴∠CBE=∠CEB ，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
∴∠CBE=15°，
∵∠ACB=45°，
∴∠AFB=∠ACB+∠CBE=60°．
∴∠AFE=120°．
故选B．
【题目点拨】
此题考查正方形的性质，熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化．9、A
【解题分析】
分析：根据分母不为零，可得答案
详解：由题意，得
a-≠，解得 1.
10
a≠
故选A.
点睛：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
10、C
【解题分析】
由等腰三角形的性质可求∠ACD＝70°，由平行线的性质可求解．
【题目详解】
∵AD＝CD，∠1＝40°，
∴∠ACD＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝70°，
故选：C．
【题目点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，是基础题．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11
【解题分析】
试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可，
3132222222
-=-= 考点：二次根式的加减
12、﹣5a+4b ﹣3c ．
【解题分析】
直接利用数轴结合二次根式、绝对值的性质化简得出答案．
【题目详解】
由数轴可得：a+c ＜0，b-c ＞0，a-b ＜0，
故原式=-2（a+c ）+b-c-3（a-b ）
=-2a-2c+b-c-3a+3b
=-5a+4b-3c ．
故答案为-5a+4b-3c ．
【题目点拨】
此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质，正确化简是解题关键．
13、12y y >
【解题分析】
抛物线()2
y x 11=-+的对称轴为：x=1，
∴当x>1时，y 随x 的增大而增大.
∴若x 1>x 2>1 时，y 1>y 2 .
故答案为>
14、（7+63）
【解题分析】
过点C 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为：E ，F ，得到两个直角三角形和一个矩形，在Rt △AEF 中利用DF 的长，求得线段AF 的长；在Rt △BCE 中利用CE 的长求得线段BE 的长，然后与AF 、EF 相加即可求得AB 的长．
【题目详解】
解：如图所示：过点C 作CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为：E ，F ，
∵坝顶部宽为2m ，坝高为6m ，
∴DC=EF=2m ，EC=DF=6m ，
∵α=30°，
∴BE=tan30EC =︒
（m ）， ∵背水坡的坡比为1.2：1， ∴ 1.2 1.21
DF AF AF ==， 解得：AF=5（m ），
则（）m ，
故答案为（m ．
【题目点拨】
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用锐角三角函数的概念和坡度的概念求解．
15、一
【解题分析】
试题分析：首先确定点M 所处的象限，然后确定k 的符号，从而确定一次函数所经过的象限，得到答案． ∵点M （k ﹣1，k+1）关于y 轴的对称点在第四象限内， ∴点M （k ﹣1，k+1）位于第三象限， ∴k ﹣1＜0且k+1＜0， 解得：k ＜﹣1，
∴y=（k ﹣1）x+k 经过第二、三、四象限，不经过第一象限
考点：一次函数的性质
16、12
【解题分析】 利用勾股定理求出AB ，再证明OC=OA=OD ，推出∠OCB=∠ODC ，可得tan ∠OCB=tan ∠ODC=
AC CD ，由此即可解决问题.
【题目详解】
在Rt △ABC 中，∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴，
∵四边形ABDE 是菱形，
∴AB=BD=5，OA=OD ，
∴OC=OA=OD ，
∴∠OCB=∠ODC ，
∴tan ∠OCB=tan ∠ODC=AC CD =
41
=3+52
， 故答案为
12
． 【题目点拨】
本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共8题，共72分） 17、（1）证明见解析（1）1或1 【解题分析】
试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可； （1）根据根与系数的关系可以得到关于m 的方程，从而可以求得m 的值．
试题解析：（1）证明：∵()2
30x m x m ---=，∴△=[﹣（m ﹣3）]1﹣4×1×（﹣m ）=m 1﹣1m +9=（m ﹣1）1+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（1）∵()230x m x m ---=，方程的两实根为1x ，2x ，且22
12127x x x x +-=，∴123x x m +=- ，12x x m =- ，
∴()2
121237x x x x +-=，∴（m ﹣3）1﹣3×（﹣m ）=7，解得，m 1=1，m 1=1，即m 的值是1或1． 18、（1）3，补图详见解析；（2）7
12
【解题分析】
(1)总人数=3÷它所占全体团员的百分比;发4条的人数=总人数-其余人数 (2)列举出所有情况,看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可 【题目详解】
由扇形图可以看到发箴言三条的有3名学生且占25%， 故该班团员人数为： 325%12÷=（人）
， 则发4条箴言的人数为：1222314----=（人），
所以本月该班团员所发的箴言共212233441536⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（条），则平均所发箴言的条数是：36123÷=（条）.
（2）画树形图如下：
由树形图可得，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为
7
12 P .
【题目点拨】
此题考查扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法和扇形统计图，看懂图中数据是解题关键
19、（1）；（2）①证明见解析；②；（3）．
【解题分析】
试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，由角的互余关系证出∠AEP=∠PBC，得出△APE∽△BCP，得出对应边成比例即可求出AE的长；
（2）①A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；
②连接OA、AC，由勾股定理求出AC=，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，周长点O在AC上，当P运动到点B时，O为AC的中点，即可得出答案；
（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得出MN=AE，设AP=x，则BP=4﹣x，由相似三角形的对应边成比例求出AE的表达式，由二次函数的最大值求出AE的最大值为1，得出MN的最大值=即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，
∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，
∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠PBC，∴△APE∽△BCP，
∴，即，解得：AE=，
故答案为：；
（2）①∵PF ⊥EG ，∴∠EOF =90°，
∴∠EOF +∠A =180°，∴A 、P 、O 、E 四点共圆， ∴点O 一定在△APE 的外接圆上； ②连接OA 、AC ，如图1所示：
∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∠BAC =45°，∴AC ==
，
∵A 、P 、O 、E 四点共圆，∴∠OAP =∠OEP =45°，
∴点O 在AC 上，当P 运动到点B 时，O 为AC 的中点，OA =AC =， 即点O 经过的路径长为
；
（3）设△APE 的外接圆的圆心为M ，作MN ⊥AB 于N ，如图2所示： 则MN ∥AE ，∵ME =MP ，∴AN =PN ，∴MN =AE ， 设AP =x ，则BP =4﹣x ，由（1）得：△APE ∽△BCP ， ∴
，即
，解得：AE =
=
，
∴x =2时，AE 的最大值为1，此时MN 的值最大=×1=， 即△APE 的圆心到AB 边的距离的最大值为．
【题目点拨】本题考查圆、二次函数的最值等，正确地添加辅助线，根据已知证明△APE ∽△BCP 是解题的关键. 20、（1）共有三种方案，分别为①A 型号16辆时， B 型号24辆；②A 型号17辆时，B 型号23辆；③A 型号18辆时，B 型号22辆；（2）当16x =时，272W =最大万元；（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案 【解题分析】
（1）设A 型号的轿车为x 辆，可根据题意列出不等式组，根据问题的实际意义推出整数值； （2）根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式解答； （3）根据（2）中方案设计计算.
【题目详解】
（1）设生产A 型号x 辆,则B 型号（40-x ）辆 1536≤34x+42(40-x)≤1552
解得1618x ≤≤，x 可以取值16，17，18共有三种方案，分别为 A 型号16辆时， B 型号24辆 A 型号17辆时，B 型号23辆 A 型号18辆时，B 型号22辆 （2）设总利润W 万元 则W=()5840x x +- =3320x -+
30k =-<
∴w 随x 的增大而减小
当16x =时，272W =最大万元
（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案 【题目点拨】
本题主要考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化为不等式组解应用题. 21、 (1)见解析；（1）1 【解题分析】
（1）根据角平分线的作图可得；
（1）由等腰三角形的三线合一，结合E 为AB 边的中点证EF 为△ABD 的中位线可得． 【题目详解】
（1）如图，射线CF 即为所求；
（1）∵∠CAD=∠CDA ，
∴AC=DC ，即△CAD 为等腰三角形； 又CF 是顶角∠ACD 的平分线，
∴CF 是底边AD 的中线，即F 为AD 的中点，
∵E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD=1．
【题目点拨】
本题主要考查作图-基本作图和等腰三角形的性质、中位线定理，熟练掌握等腰三角形的性质、中位线定理是解题的关键．
22、（1）；（2）列表见解析，.
【解题分析】
试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数，可求得结果.
试题解析：（1）P（摸出的球为标有数字2的小球）=；（2）列表如下：
小华
小丽
-1 0 2
-1 （-1，-1）（-1，0）（-1，2）
0 （0，-1）（0，0）（0，2）
2 （2，-1）（2，0）（2，2）
共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，
∴P（点M落在如图所示的正方形网格内）==.
考点：1列表或树状图求概率；2平面直角坐标系.
23、2 3
【解题分析】
分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
详解：原式=
1112
22
x x x x x +---÷++（）（）
=112
•21x x x x x （）（）（）
+-++-+
=1x --（） =1x - 当13x =
时，原式=113-=23
． 点睛：本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 24、（1）20%；（2）12.1． 【解题分析】
试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率为x ，则经过两次增长以后图书馆有书7100（1+x ）2本，即可列方程求解；
（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a 的值至少是多少．
试题解析：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x ，根据题意得 7100（1+x ）2=10800，即（1+x ）2=1.44，解得：x 1=0.2，x 2=﹣2.2（舍去）． 答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%； （2）10800（1+0.2）=12960（本） 10800÷1310=8（本） 12960÷1440=9（本） （9﹣8）÷
8×100%=12.1%． 故a 的值至少是12.1．
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题；增长率问题．。