模糊度量空间中的循环广义(фψ)-弱压缩映射
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概 念推 广到 模糊 度量 空 间 中， 并 证 明 了模 糊 度量 空 间 中四种 映射 的公 共 不 动点 定 理 。Ｋｉ ｒ ｋ等 引进 循 环表
示 和循 环压 缩 的概念 ， 将Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ压 缩 推 广 成 循 环 压 缩 的形 式 。Ｇｏ ｐ ａ ｌ 等［ ８ ］ 在 模 糊 度 量 空 间 中 引进 循 环 弱
一
压缩 映射 的概 念 ， 并 证 明 了在 Ｇ一 完 备模 糊 度量 空 间 中循环 弱 一 压 缩 映射 的不 动点 定 理 。模 糊 数学 已
成 为广 泛应 用 的学科 ， 吸引 了很 多 学者进 一 步研究 ＿ ｇ 。本 文引 入模糊 度 量空 间 中 的循 环广 义 （ ， ） 一弱压
广义 （ ， ） 一弱压 缩映射 的概念 。运 用构 造迭 代 序 列方 法 证 明 了该 映射 在 Ｇ一完 备模 糊 度 量空 间 中的不 动点 定理 ， 并 用例 子说 明 了该结 果 的实用 性 ， 结果 推广 了 Ｇｏ ｐ ａ ｌ 等得 到 的模糊
度量 空 间 中循 环弱 一压缩 映射 的不 动 点定理 。 关键 词 ： 模 糊 度量 空 间 ； 循环 广义 （ ， ） 一弱压 缩 映射 ； 不动 点定 理
模 糊 度量 空 问中 的 循 环 广 义 （ 咖， ） 一 弱压 缩映 射
吕英 霞 ， 纪 培 胜
（ 青 岛大学数 学与统 计 学院 ， 青岛 ２ ６ ６ ０ ７ １ ） 摘要 ： 为优 化模 糊度 量 空 间中循 环弱 一压缩 映射 不动 点 结果 ， 提 出模 糊度 量 空 间 中的循 环
第３ ｏ 卷 第４ 期
２ ０ １ ７年 １ １月
青岛大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩ ＮＧＤＡＯ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
Ｖｏ １ ． ３ Ｏ Ｎｏ ． ４
６
青 岛 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第３ Ｏ卷
若 满足 下列 条件 ：Ｖｚ， Ｙ ， ｚ∈ ｘ， Ｓ ， ｔ ＞ ０， 有
（ １ ）Ｍ （ ， ｙ， ｔ ） ＞ ０； （ ２ ）Ｍ （ ， Ｙ， ｔ ） 一 ｌ ｅ ＝ ） ｘ— ｙ；
（ ３）Ｍ （ ｚ， Ｙ， ｔ ）一 Ｍ （ Ｙ， ｚ， ｆ ）；
中图分 类号 ： Ｏ１ ７ ７ ． １ 文献标 志 码 ： Ａ
主题 分 类号 ： ０ ３ Ｅ ７ ２
Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ Ｅ 在 １ ９ ６ ５年 引进 了模糊 集 的概 念 ， 标 志着 模 糊数 学 的诞 生 。Ｋ ｒ ａ ｍｏ ｓ ｉ ｌ 等 把 概 率度 量 空 间 的概 念 推广成 模 糊度 量空 间 ， 引 进 模 糊 度 量 空 间 的概 念 。Ｇｅ ｏ ｒ ｇ ｅ等＿ ３ ］ 在 修 改 的模 糊 度 量 空 间 中定 义 了 Ｈａ ｕ ｓ — ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ 拓扑 ， 并 证 明了模 糊度 量空 间 中著名 的 Ｂ ａ ｉ ｒ ｅ定理 。Ｋｈ ａ ｎ等［ ４ ］ 在 不 动 点结 果 中使 用 变 更 距 离 函数 ， 完 善 了模糊 度 量空 间 中不动 点理 论 。Ｒ ｈ ｏ ａ ｄ ｅ ＿ ５ 在 完备 度 量空 间 中证 明了 一弱压 缩 的不 动点定 理 ， 该 一弱压 缩 映射 与著 名 的 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ压 缩 映射 有 密切 联 系 。Ｖｅ ｔ ｒ ｏ等［ ６ 应 用变 更距 离 的概念 ， 将 （ ， ） 一 弱 压 缩 映射 的
缩 映射 的概 念 ， 并证 明其 不动 点定 理 。
１ 预 备 知 识
定义 １ 如果 映 射 丁： ［ Ｏ ， １ ］ ×Ｅ ０ ， １ ］ 一 ［ ０ ， １ ］满足 ：
（ １ ）Ｔ满 足交 换律 和结 合律 ；
（ ２ ）Ｔ 是 连 续 的 ；
（ห้องสมุดไป่ตู้３ ）Ｔ（ ａ ， １ ） 一口 ， Ｖ ａ Ｅ Ｅ ０ ， １ ］； （ ４ ）Ｔ（ 口， ６ ） ≥ Ｔ（ ｃ ， ｄ ） ， Ｖ ａ≥ ｆ ， ｂ≥ ｄ， ａ ， ｂ ， Ｃ ， ｄ Ｅ Ｅ Ｏ ， １ ］，
则 称 Ｔ为连续 三 角范 数 （ 简 称 连续 ｔ 范数） 。
定义 ２ Ｅ ¨ 设 ｘ是一 个 非空集 合 ， ｍ 是 一个 正整 数 ， 厂： ｘ— ｘ为 一个算 子 ， 如果 Ｘ — Ｕ Ｘ 满足 ：
（ １ ） Ｘ ， ｉ一 １ ， ２ ， …ｍ 是 非空 集合 ；
（ ２ ）ｆ（ Ｘ１ ） （ ＝ 二Ｘ２… ． ，－ 厂（ Ｘ一１ ） ｃ Ｘ ， ｆ（ Ｘ ） Ｘ ，
（ ４ ）Ｍ （ ， ｚ ， ｔ ＋ ） ≥ Ｔ（ Ｍ（ ， Ｙ， ｔ ） ， Ｍ（ Ｙ， ｚ， ５ ） ）；
（ ５ ） Ｍ（ ｚ， ， ・ ） ： （ Ｏ ， 。 。 ） 一 （ ０ ， １ ］是 连续 的 ， 则称 （ ｘ， Ｍ， Ｔ） 为模 糊度 量空 间 。
Ｎｏ ｖ． ２ ０ １ ７
文章编号 ： １ ０ ０ ６ —１ ０ ３ ７ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４—０ ０ ０ ５ 一Ｏ ５
ｄ ｏ ｉ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ —１ ０ ３ ７ ． ２ ０ １ ７ ． １ １ ． ０ ２
则称 Ｕ ｘ 是满 足 厂 的 ｘ的循 环表 示 。
定义 ３ ［
三元 组 （ ｘ， Ｍ， Ｔ）， 其 中 ｘ是非 空集 合 ， Ｔ是连 续 范数 ， Ｍ 是 ｘ×ＸＸ （ ０ ， 。 。 ） 上 的模 糊 集 ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７ － ０ ４ — ２ ０ 通讯作者 ： 纪培胜， 男， 教授 。研 究 方 向 ： 模 糊 数 学 和不 动 点 理 论 。
示 和循 环压 缩 的概念 ， 将Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ压 缩 推 广 成 循 环 压 缩 的形 式 。Ｇｏ ｐ ａ ｌ 等［ ８ ］ 在 模 糊 度 量 空 间 中 引进 循 环 弱
一
压缩 映射 的概 念 ， 并 证 明 了在 Ｇ一 完 备模 糊 度量 空 间 中循环 弱 一 压 缩 映射 的不 动点 定 理 。模 糊 数学 已
成 为广 泛应 用 的学科 ， 吸引 了很 多 学者进 一 步研究 ＿ ｇ 。本 文引 入模糊 度 量空 间 中 的循 环广 义 （ ， ） 一弱压
广义 （ ， ） 一弱压 缩映射 的概念 。运 用构 造迭 代 序 列方 法 证 明 了该 映射 在 Ｇ一完 备模 糊 度 量空 间 中的不 动点 定理 ， 并 用例 子说 明 了该结 果 的实用 性 ， 结果 推广 了 Ｇｏ ｐ ａ ｌ 等得 到 的模糊
度量 空 间 中循 环弱 一压缩 映射 的不 动 点定理 。 关键 词 ： 模 糊 度量 空 间 ； 循环 广义 （ ， ） 一弱压 缩 映射 ； 不动 点定 理
模 糊 度量 空 问中 的 循 环 广 义 （ 咖， ） 一 弱压 缩映 射
吕英 霞 ， 纪 培 胜
（ 青 岛大学数 学与统 计 学院 ， 青岛 ２ ６ ６ ０ ７ １ ） 摘要 ： 为优 化模 糊度 量 空 间中循 环弱 一压缩 映射 不动 点 结果 ， 提 出模 糊度 量 空 间 中的循 环
第３ ｏ 卷 第４ 期
２ ０ １ ７年 １ １月
青岛大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩ ＮＧＤＡＯ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
Ｖｏ １ ． ３ Ｏ Ｎｏ ． ４
６
青 岛 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
第３ Ｏ卷
若 满足 下列 条件 ：Ｖｚ， Ｙ ， ｚ∈ ｘ， Ｓ ， ｔ ＞ ０， 有
（ １ ）Ｍ （ ， ｙ， ｔ ） ＞ ０； （ ２ ）Ｍ （ ， Ｙ， ｔ ） 一 ｌ ｅ ＝ ） ｘ— ｙ；
（ ３）Ｍ （ ｚ， Ｙ， ｔ ）一 Ｍ （ Ｙ， ｚ， ｆ ）；
中图分 类号 ： Ｏ１ ７ ７ ． １ 文献标 志 码 ： Ａ
主题 分 类号 ： ０ ３ Ｅ ７ ２
Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ Ｅ 在 １ ９ ６ ５年 引进 了模糊 集 的概 念 ， 标 志着 模 糊数 学 的诞 生 。Ｋ ｒ ａ ｍｏ ｓ ｉ ｌ 等 把 概 率度 量 空 间 的概 念 推广成 模 糊度 量空 间 ， 引 进 模 糊 度 量 空 间 的概 念 。Ｇｅ ｏ ｒ ｇ ｅ等＿ ３ ］ 在 修 改 的模 糊 度 量 空 间 中定 义 了 Ｈａ ｕ ｓ — ｄ ｏ ｒ ｆ ｆ 拓扑 ， 并 证 明了模 糊度 量空 间 中著名 的 Ｂ ａ ｉ ｒ ｅ定理 。Ｋｈ ａ ｎ等［ ４ ］ 在 不 动 点结 果 中使 用 变 更 距 离 函数 ， 完 善 了模糊 度 量空 间 中不动 点理 论 。Ｒ ｈ ｏ ａ ｄ ｅ ＿ ５ 在 完备 度 量空 间 中证 明了 一弱压 缩 的不 动点定 理 ， 该 一弱压 缩 映射 与著 名 的 Ｂ ａ ｎ ａ ｃ ｈ压 缩 映射 有 密切 联 系 。Ｖｅ ｔ ｒ ｏ等［ ６ 应 用变 更距 离 的概念 ， 将 （ ， ） 一 弱 压 缩 映射 的
缩 映射 的概 念 ， 并证 明其 不动 点定 理 。
１ 预 备 知 识
定义 １ 如果 映 射 丁： ［ Ｏ ， １ ］ ×Ｅ ０ ， １ ］ 一 ［ ０ ， １ ］满足 ：
（ １ ）Ｔ满 足交 换律 和结 合律 ；
（ ２ ）Ｔ 是 连 续 的 ；
（ห้องสมุดไป่ตู้３ ）Ｔ（ ａ ， １ ） 一口 ， Ｖ ａ Ｅ Ｅ ０ ， １ ］； （ ４ ）Ｔ（ 口， ６ ） ≥ Ｔ（ ｃ ， ｄ ） ， Ｖ ａ≥ ｆ ， ｂ≥ ｄ， ａ ， ｂ ， Ｃ ， ｄ Ｅ Ｅ Ｏ ， １ ］，
则 称 Ｔ为连续 三 角范 数 （ 简 称 连续 ｔ 范数） 。
定义 ２ Ｅ ¨ 设 ｘ是一 个 非空集 合 ， ｍ 是 一个 正整 数 ， 厂： ｘ— ｘ为 一个算 子 ， 如果 Ｘ — Ｕ Ｘ 满足 ：
（ １ ） Ｘ ， ｉ一 １ ， ２ ， …ｍ 是 非空 集合 ；
（ ２ ）ｆ（ Ｘ１ ） （ ＝ 二Ｘ２… ． ，－ 厂（ Ｘ一１ ） ｃ Ｘ ， ｆ（ Ｘ ） Ｘ ，
（ ４ ）Ｍ （ ， ｚ ， ｔ ＋ ） ≥ Ｔ（ Ｍ（ ， Ｙ， ｔ ） ， Ｍ（ Ｙ， ｚ， ５ ） ）；
（ ５ ） Ｍ（ ｚ， ， ・ ） ： （ Ｏ ， 。 。 ） 一 （ ０ ， １ ］是 连续 的 ， 则称 （ ｘ， Ｍ， Ｔ） 为模 糊度 量空 间 。
Ｎｏ ｖ． ２ ０ １ ７
文章编号 ： １ ０ ０ ６ —１ ０ ３ ７ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ４—０ ０ ０ ５ 一Ｏ ５
ｄ ｏ ｉ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ —１ ０ ３ ７ ． ２ ０ １ ７ ． １ １ ． ０ ２
则称 Ｕ ｘ 是满 足 厂 的 ｘ的循 环表 示 。
定义 ３ ［
三元 组 （ ｘ， Ｍ， Ｔ）， 其 中 ｘ是非 空集 合 ， Ｔ是连 续 范数 ， Ｍ 是 ｘ×ＸＸ （ ０ ， 。 。 ） 上 的模 糊 集 ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ７ － ０ ４ — ２ ０ 通讯作者 ： 纪培胜， 男， 教授 。研 究 方 向 ： 模 糊 数 学 和不 动 点 理 论 。