沭阳县修远中学2017-2018学年高二数学上学期第二次月考试题(实验班)

修远中学2017—2018学年度第一学期第二次阶段测试
高二数学试题
一、填空题:共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷．．纸的相应位置上．．．．．．．． 1。

命题“x ∀∈R ，2
10x
+>"的否定是．
2.复数2i z i
+=（i 为虚数单位）的虚部为
3．某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8。

若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为.
4．若一组样本数据8,,10,11,9x 的平均数为10,则该组样本数据的方差为 5.已知命题p 、p ,“p ⌝为真”是“p ∧p 为假”的条件(从“充要"，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）
6．右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为．
7.
用反证法证明某命题时,对结论“自然数,,a b c 中至多 有2个偶数”的正确假设为“假设自然数,,a b c 中”．
8．
在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线
22
19x y m
-=的一
个焦点为（5,0）,则实数m =．
9。

在区间[]1,5内随机取一个数m ，则方程22
241m x y +=
表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是
10．
抛物线2
(0)y
ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
到焦点F
的
距离为2,则a =__________
11．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是．
12．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2, ，420，则抽取的21人中,编号在区间[]241,360内的人数是．
13．已知函数x x f 2)(=,x x g 8
1)(=,若1)(1
=x ϕ,对*
N n ∈∀,
⎩⎨
⎧≥<=+)1)(( ))(()1)(( ))(()(1x x g x x f x n n n n n ϕϕϕϕϕ，
，
，则=)(2017x ϕ.
14．已知函数
⎪⎩
⎪⎨⎧>-+≤<=)(,3)0(|,ln |)(3
33
e x x e e x x x
f ，存在321x x x <<，)()()(321x f x f x f ==，则23)(x x f 的最大值为。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分)在长方体
1111ABCD A BC D -中，12,1
,1AB BC AA ===
（1）求直线1
1
AD B D 与所成角；
（2）求直线1
1
1
AD B BDD 与平面所成角的正弦值。

16。

（本小题满分14分）已知函数()cos x
f x e x =，其中e 为自然对数的
底数。

（1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
(2）求函数()y f x =在区间[0,]2
π上的最值以及此时x 的值。

17。

（本小题满分14分）某同学参加高二学业水平测试的4门必修科目考试,已知该同学每门学科考试成绩达到“A ”等级的概率均为23
,
且每门考试成绩的结果互不影响．
（1）求该同学至少得到两个“A"的概率；
（2）已知在高考成绩计分时，每有一科达到“A",则高考成绩加1分，如果4门学科均达到“A ”,则高考成绩额外再加1分．现用随机变量Y 表示该同学学业水平测试的总加分,求Y 的概率分布列和数学期望．
18.（本小题满分16
分）已知1F 、2F 为椭圆C ：22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、
右焦点,点31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
为椭圆上一点，且1
24PF
PF +=．
(1)求椭圆C 的标准方程；
（2)若圆O 是以12
F F 为直径的圆，直线l ：y kx m =-与圆O 相切，并与椭
圆C 交于不同的两点A 、B ，且32
OA OB ⋅=-，求k 的值．
19．（本题满分16分)已知函数ax x x f +-=3
)(在(1,0)-上是增函数。

⑴求实数a 的取值集合A ；
⑵当a 为A 中最小值时，定义数列{}n
a 满足:1
(1,0)a ∈-,且)(21
n n a f a
=+，
用数学归纳法证明(1,0)n
a
∈-，并判断1n a +与n a 的大小.
20。

(本小题满分16分)已知函数()2
1ln 2
f x x ax =-,a R ∈．
（1）求函数()f x 的单调区间；
(2)若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．
参考答案1.【答案】x∃∈R,210
x+≤
2。

2-
3．【答案】3
4．【答案】2
5。

充分不必要条件6．【答案】1
6
7.三个数都是偶数
8．16
9.3
4
10．2
11．【答案】9
10
12．【答案】6
13． =)(2017x ϕ。

1
14．
e
1 15。

【解析】
试题分析：以D 为原点建系 .。

. 1分 （1）11cos
,0AD B D =
3分
直线1
1
AD B D 与所成角为90°7分
（2）1
1
(2,1,0)B BDD n =-平面的法向量为 10分
110
sin |cos ,|5
n
AD θ==
所求角的正弦值为5
14分
16。

解:(1）()e cos e sin x
x f x x x
'=-, ∴斜率(0)1k f '==
∵(0)1f =，∴切点坐标为（0，1）,切线方程为1y x =+。

..。

...。

..。

.。

.6
分 (2)()e
cos e sin x
x f x x x
'=-，
令()0f x '=，即e
cos e sin =0
x
x x x -，]2π,0[∈x ，得π
4
x =;
列表如下：。

.。

.。

(10)
∴当4
x π=
时，4
max
2()
()e 42
f x f π
π==；。

...。

...。

..12分
当2
x π=时，min
()
()0
2
f x f π
==.。

.。

..。

14分
17.
试题解析：（1）设4门考试成绩得到“A”的次数为X ，依题意,随机变量X ～B （4，23
)，则
P （X 2）=1－P(X=0）－P （X=1）=1－
041
3
014
42121C C 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
=89
, 故该同学至少得到两个“A”的概率为89. .。

.。

.。

.6分
（2)随机变量Y 的可能值为0,1，2,3，5,则 P （Y=0）=04
0421C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=181
， P （Y=1）=
1
3
1421C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
=881
,
P(Y=2）=2
2
24
21C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=827
, P （Y=3）=
3
1
34
21C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=3281
,
P （Y=5)=
4
44
21C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=1681
..。

.。

11分
随机变量Y 的概率分布如下表所示： Y 0 1
2 3 5
P
181 8
81
827 3281 1681
从而E(Y ）=01
81
+18
81
+2827
+3
32
81+516
81=23281。

..。

...。

.14
分
18．
试题解析：（1）由题意得：22
19
1,{ 424,
a b a +==解得2,{ 3,a b ==
则椭圆方程为22
143
x y +=．.。

.。

..。

.6
分
(2）由直线l 与圆O 相切，得11||2
=+k m ，化简得221m k =+,。

.。

..。

.。

8分
设()11,A x y ，()22,B x y ，
由22
1,{ 43,
x y y kx m +==+消去y
，整理得()2
2
23484120k x
kmx m +++-=，。

.。

.。

.10
分
()()()()
2
222844123416960km m k k ∆=--⋅+=+>恒成立，
所以122834km
x x k +=-+,212241234m x x k -=+，
()()22
12122
31234m k y y kx m kx m k -=++=
+，
∵2
2
1m k =+，212122553
342
k x x y y k --+==-+，.。

.。

..。

.。

.14分
解得2
k =±。

.。

.。

16分
19．
解析：⑴
'2()30f x x a =-+≥即23a x ≥在(1,0)x ∈-恒成立,
[3,)A ∴=+∞；.。

..。

.....4分
⑵用数学归纳法证明：(1,0)n
a
∈-．
（ⅰ）1=n 时,由题设1
(1,0)a ∈-； （ⅱ）假设k n =时，(1,0)k
a ∈-；.。

.。

6分
则当1+=k n 时,)3(2
1)(213
1
k k k k a a a f a +-==
+, 由⑴知:x x
x f 3)(3
+-=在(1,0)-上是增函数，又(1,0)k a ∈-,
所以331111((1)3(1))1()(3)0222
k k k k a f a a a +--+⨯-=-<==-+<，
综合（ⅰ)（ⅱ）得：对任意*
N n ∈,
(1,0)n a ∈-，.。

.。

..。

.12分
3
111(3)(1)(1)22
n n n n n n n n a a a a a a a a +-=
-+-=--+,因为(1,0)n a ∈-， 所以1
0n n a
a +-<，即1n n a a +<．。

.。

..。

16分
20．
试题解析:（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 由题意得
()2
11'ax f x ax x x
-=-=,
当0a ≤时，()'0f x >,则()f x 在区间()0,+∞内单调递增；。

.。

2分 当0a >时,由()'0f x =
，得x =
x =,
当0x <<,()'0f x >，()f x 单调递增，
当x >
()'0f x <，()f x 单调递减．。

6分
所以当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间; 当0a >时,()f x
的单调递增区间为⎛
⎝,
单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭． 。

......7分
(2)由()2
1ln 112
x ax a x -≤--，
得()()2
2ln 12x x a x x ++≤+,
因为0x >，所以原命题等价于()22ln 12x x a x x
++≥+在区间()0,+∞内恒成立．
令()()22ln 12x x g x x x
++=+，
学必求其心得，业必贵于专精
- 11 - 则()()()
()22212ln '2x x x g x x
x -++=+，.。

.。

.。

10分 令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间()0,+∞内单调递增， 又()11
2ln2011022h h ⎛⎫
=-+= ⎪⎝⎭，， 所以存在唯一的01
,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0002ln 0h x x x =+=，
且当00x x <<时，()'0g x >，()g x 单调递增， 当0x x >时，()'0g x <，()g x 单调递减， 所以当0x x =时,()g x 有极大值，也为
最大值，且()()002max 002ln 12x x g x x x ++=+()0002
2x x x +=+0
1
x =,。

.。

.。

..14分 所以0
1
a x ≥， 又01,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以()0
11,2x ∈，
所以2a ≥，
因为a Z ∈，
故整数a 的最小值为2．。

..。

.。

16分。