《直角三角形的应用与动点问题》培优资料

《直角三角形的应用与动点问题》培优资料
一、例题
例1、小明在轮船上，看见前面岛上有个灯塔，仰角为15°，当轮船向岛的方向行驶5米时，此时小明看灯塔的仰角为30°，求灯塔离海平面的高度。

例2．在一棵树10m 高的B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处；另 外一只爬到树顶D 处后直接跃到A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等， 试问这棵树有多高？
例3．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点
沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

例4．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。

A B
A B C D 15° 30°
A A ′
B B ′ O 例5、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平 方向滑动了几米？
例6．如图，在气象站台A 的正西方向240km 的B 处有一台风中心，该台风中心以每小时20km 的速度沿北偏东o 60的BD 方向移动，在距离台风中心130km 内的地方都要受到其影响。

⑴台风中心在移动过程中，与气象台A 的最短距离是多少？
⑵台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的实践会持续多长？
例7、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10cm ，AC ：BC=4：3，点P 从点A 出发沿AB 方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B→C→A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC 、BC 的长；
（2）当x=5秒时，在直线PQ 上是否存在一点M ，使△BCM 得周长最小？若存在，求出最小周长；若不存在，请说明理由．
（3）设点P 的运动时间为t （秒），以点B 、P 、Q 为顶点的三角形是Rt △,求t 的值.
例8、如图在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,30C ∠=︒, 12AB =厘米,点P 从点A 出发沿线路AB —BC 作匀速运动，点Q 从AC 的中点D 同时出发沿线路DC —CB 作匀速运动逐步靠近点P, 设P,Q 两点运动的速度分别为1厘米/秒、a 厘米/秒（1a >），它们在t 秒后于BC 边
上的某一点E 相遇.
⑴求出AC 与BC 的长度.
⑵若以D,E,C 为顶点的三角形是Rt △,试分别求出a 与t 的值.
C B A
D P Q
B C A 30° 5 20 15 10 C A B
二、练习
1.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ）
A 、25海里
B 、30海里
C 、35海里
D 、40海里
2、某人欲从A 点横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 240米，结果他在水中实际游了510米，则该河的宽度为 米。

3、如图,小明在A 处看见前面山上有个气象站,仰角为15°,当笔直向山行4千米时,小明 看气象站的仰角为30°.求这个气象站离地面的高度CD
第1题图 第2题图 第3题图
4、如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20、3、2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是 。

5、某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．
6．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要
沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）
A ．521
B ．25
C ．1055+
D ．35
7．如果一个长为10m 的梯子，斜靠在墙上，•梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，请猜测梯子底端滑动的距离是否会超过1m ，并加以说明．
8．小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？
108北 南 A 东
9、如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN ＝300，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设汽车行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么汽车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？如果受影响，已知汽车的速度为18千米／小时，那么学校受影响的时间为多少秒？
10、如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移动的速度为30km/h ，受影响区域的半径为200km ，A 市位于点P 的北偏东 75方向上，距离点P320km 处。

这次台风会影响A 市吗？若这次台风影响到A 市，求出A 市受台风持续影响的时间。

11、已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
12、如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，设点D 运动的时间为t 秒，速度为每秒2个单位长度．
（1）t 为何值时，△CBD 是直角三角形；
（2）若△CBD 是等腰三角形，求t 的值．
A C Q
B P。