河北省衡水2020届高三第二次摸底考试数学试题(理)有答案(已审阅)

河北省衡水2020届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{A k =∈N |}N ，{|2B x x n ==或3,x n n =∈}N ，则A B =I （ ） A ．{}6,9 B ．{}3,6,9 C ．{}1,6,9,10 D ．{}6,9,10 2. 若复数z 满足()2z 12i 13i (i -+=+为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二 2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为（ ）A ．20B ．24C ．30D ．324.已知命题1:,ln 2xp x e x ⎛⎫∃>> ⎪⎝⎭；命题:1,1,log 2log a b q a b b a ∀>>+≥则下列命题中为真命题的是 （ ）A ．()p q ⌝∧B ．p q ∧ C. ()p q ∧⌝ D ．()p q ∨⌝ 5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π- 6. 若实数,x y 满足条件21025020x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则432x z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．6415C.1619 D ．127.已知)221sin a x dx π-=⎰，则二项式922x a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．158-B ．212- C.54- D ．1-8. 已知奇函数()()()cos 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且MNE ∆是边长为1的正三角形，那么13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A．32π-B ．12-C.14 D ．34π- 9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．2843122++B ．3643122++ C. 3642123++ D ．44122+ 10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值等于（ ）A ．321tan9π-- B ．25tan3922tan9ππ- C. 2322tan9D ．25tan3921tan9ππ-- 11.椭圆()222101y x b b+=<<的左焦点为F ，上顶点为A ，右顶点为B ，若FAB ∆的外接圆圆心(),P m n 在直线y x =-的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A ．22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12. 已知()'f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()'23(xf x e x f x e =++是自然对数的底数），()01f =，若不等式()0f x k -<的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．21,0e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.21,0e ⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知4,5,(,a b c a b λμλμ===+∈r r r r r R)，若(),⊥⊥-r r r r r a b c b a ，则λμ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，23B π=，若224a c ac +=，则()sin sin sin A C A C += ．15.已知点12,F F 分别是双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12212,tan 4F F OP PF F =∠≥，则双曲线C 的焦点的取值范围为 ． 16.点M 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 上一点，112,NB NC DM BN =⊥，若球O 的体积为92π，则动点M 的轨迹的长度为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足111,332,n n a a a n +=+=++∈N *. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设以2为公比的等比数列{}n b 满足2214log log 1211(n n n b b a n n +⋅=++∈N *），求数列{}2log n n b b -的前n 项和n S .18. 如图是某市2019年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数()AQI 小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率； （2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设X 是此人停留期间空气重度污染的天数，求X 的分布列与数学期望.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//,223,AB CD AB DC AC BD F ===I ，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，G 为PAD ∆的重心.（1）求证：//GF 平面PDC ；（2）求平面AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为,F A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D .（1）若FA AD =，当点A 的横坐标为322+时，ADF ∆为等腰直角三角形，求C 的方程； （2）对于（1）中求出的抛物线C ，若点()001,02D x x ⎛⎫≥⎪⎝⎭，记点B 关于x 轴的对称点为,E AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为()0,0x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围.21. 设函数()()2,1(xf x eg x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (2sin x a tt y t =⎧⎨=⎩为参数，0a >）. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 224πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（1）设P 是曲线C 上的一个动点，当3a =P 到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上所有的点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()2,f x x m x m =--∈N *，且()4f x <恒成立. （1）求实数m 的值；（2）若()()()()0,1,0,1,3f f αβαβ∈∈+=，求证：4118αβ+≥.河北省衡水中学2020届高三下学期第二次摸底考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DCBAD 6-10: ABDBA 11-12：AC二、填空题13. 251615. 2,3⎛⎝⎦三、解答题17. 解：(1)由题知数列是以2为首项，2为公差的等差数列，()22212,43nn n a n=+-==-.(2)设等比数列{}n b的首项为1b，则112nnb b-=⨯，依题有()()()()1221212121214log log4log2log24log1logn nn nb b b b b n b n-+⋅=⨯⋅⨯=+-+()()2222121214log4log42log144128b b b n n n n=-+⨯-+=++，即()()212212142log1124log4log8bb b⨯-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得211log2,4b b==，故()1112422,log21n nn n nb b b n-++=⨯=-=-+Q，()()()2221221324222nnnn n n nS+-+++∴=-=--.18. 解：设iA表示事件“此人于3月i日到达该市”()1,2,...,14i=.依题意知，()114iP A=，且()i jA A i j=∅≠I.(1)设B为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染”，则12121314B A A A A A=U U U U，所以()()()()()()12121314514P B P A P A P A P A P A ==U U U U ，即此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为514. (2) 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，且()()()()()4894893014P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()21114211143214P X P A A A P A P A P A ===++=U U ，()()()()()11213112133314P X P A A A P A P A P A ===++=U U ， ()()()()333511023114141414P X P X P X P X ==-=-=-==---=，(或()()()()()()()3567103567105114P X P A A A A A P A P A P A P A P A ===++++=U U U U )， 所以X 的分布列为X123P314514314314故X 的期望()3533100123141414147E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 19. 解：(1)连接AG 并延长交PD 于H ，连接CH .由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知21AF FC =，又G 为PAD ∆的重心，21AG AF GH FC ∴==，故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC .(2)Q 平面PAD ⊥平面,ABCD PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，延长PG 交AD 的中点E ，连接,,,BE PE AD BE AD PE ∴⊥⊥∴⊥平面ABCD ，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()()223,3,0,0,0,0,3,0,3,0,3,0,0,0,0,1AB DC A P B D G ==∴-Q ， ()()()3,0,1,3,3,0,3,0,3AG AB AP ∴=-=-=-u u u r u u u r u u u r，设()()()00000011,,,,3,,3,3,022C x y z DC AB x y z =∴=-u u u r u u u r Q ，可得000333,0,,0,,0222222x y z C AC ⎛⎫⎛⎫=-==∴-∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，设平面PAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，由11111111113030n AB y x n AP z x ⎧⎧⎧⊥+==⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⊥+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩u r u u u ru r u u u r ，令11z =，得)1,1n =u r ，同理可得平面AGC的一个法向量)1121212,cos ,n n n n n n n ⋅====u r u ru u r u r u u r Q u r u u r AGC 与平面PAB 所成锐二面角的正切值为811. 20. 解：(1)由题知,0,3,422p p F FA FD ⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，则4,0,22p D FD ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的中点坐标为(22,024p ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则23+=+2p =，故C 的方程为24y x =. (2) 依题可设直线AB 的方程为()()()011220,,,,x my x m A x y B x y =+≠，则()22,E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得220001440,.161602y my x x m x --=≥∴∆=+>Q ，121204,4y y m y y x +==-，设P 的坐标为(),0P x ，则()()2211,,,P P PE x x y PA x x y =--=-u u u r u u u r，由题知//PE PA u u u r u u u r，所以()()21210P P x x y y x x -+-=，即()()221212211221211244P y y y y y y y y x y y x y y x +++=+==，显然1240y y m +=≠，所以1204P y yx x ==-，即证()0,0P x x -，由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即()122212114y y y y +=-，所以()21212124,416y y y y y y -=∴+-=，即22000161616,1,1m x m x x +==-<，又因为012x ≥，所以011,2x d ≤<===，令()220224,2,2t t x t d t t t ⎛-=∈=-==- ⎝⎦，易知()42f t t t =-在⎛ ⎝⎦上是减函数，所以2d ⎫∈⎪⎪⎣⎭. 21. 解：(1)设切点的坐标为()2,tt e ，由()2x f x e =得()2'2xf x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212tty e x t e =+-，由已知()22212tty e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121t t e k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'x h x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2x f x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210xk x e -+->，设()()()2221,'2x x t x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln 22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭Q 在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()00t =Q ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,xex x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥Q ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x e k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞. 22. 解：(1)由cos 4πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭()cos sin 2ρθρθ-=-)2x y -=-l 的方程为40x y -+=，依题意，设(),2sin P t t ，则P 到直线l 的距离6d t π⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，当26t k ππ+=，即2,6t k k Z ππ=-∈时，max d ==，故点P 到直线l 的距离的最大值为(2)因为曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，t ∴∀∈R ，cos 2sin 40-+>a t t 恒成立，即()4t ϕ+-（其中2tan aϕ=）恒成立，4<，又0a >，解得0a <<a 取值范围为(.23. 解：（1）222x m x x m x m --≤--=Q ,要使24x m x --<恒成立，则2m <，解得22m -<<.又m ∈Q N *，1∴=m .（2）()()()()0,1,0,1,22223f f αβαβαβ∈∈∴+=-+-=Q ，即()141414,22525182βααβαβαβαβαβ⎛⎛⎫⎛⎫+=∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4βααβ=，即11,36αβ==时取等号，故4118αβ+≥.。