2021-2022学年高三(上)月考数学试卷(文科)(10月份)

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2021-2022学年高三（上）月考数学试卷（文科）（10月份）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{（x，y）|y＝1}，B＝{（x，y）|x2+y2≤2}，则集合A∩B中含有的元素有（）
A．零个B．一个C．两个D．无数个
2．若复数z＝（i为虚数单位），则在复平面对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知函数，若实数x0是方程f（x）＝0的解，且0＜x1＜x0，则f （x1）的值（）
A．等于0B．不大于0C．恒为正值D．恒为负值
4．下列命题中，是真命题的为（）
A．∀x∈R，ln（x﹣1）2≥0B．∀x∈R，（sin x﹣1）2＜4
C．∃x0∈R，≤1D．∃x0∈R，sin x0＝﹣
5．已知x，y＞0，且，则3x+2y的最小值是（）
A．B．C．20D．25
6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足对于任意的x∈R都有f（x）＝f（2﹣x）．若f（﹣1）＝1，则f（2021）＝（）
A．1B．﹣1C．0D．不能确定
7．某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）
A．B．C．D．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C＝W log2（1+），其中S是信道内信号的平均功率．N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比．当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计，若不改变带宽W．而将信噪比从1000提升4000．则C 大约增加了（）（附：lg2＝0.3010）
A ．10%
B ．20%
C ．30%
D ．40%
9．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km /h ）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是（）
A ．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B ．这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5
C ．这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为77.5
D ．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km /h 的概率为0.65
10．已知f （x ）＝x +，g （x ）＝x 2﹣ax +1，若対∀x 1∈[1，3]及∀x 2∈[1，3]，都有f （x 1）≥g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．[﹣2，+∞）
B ．[2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2]
D ．（﹣∞，2]
11．函数f （x ）＝sin （ωx +）（ω＞0）在（0，π）内有且仅有一个极大值点，则ω的
取值范围为（） A ．（，]
B ．[，+∞）
C ．（0，]
D ．（，]
12．设a ＝sin2，则（） A ．a 2＜2a ＜12
log a
B ．12
log a ＜2a ＜a 2
C ．a 2＜12
log a ＜2a
D ．12
log a ＜a 2＜2a
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f （x ）＝ln （x 2﹣2x ﹣3）的单调递减区间为． 14．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝21﹣7a 7，则S 10＝．
15．已知函数f （x ）＝lnx +a （2﹣x ）在点（1，f （1））处的切线与圆（x ﹣3）2+y 2＝1相切，
则a＝．
16．已知函数f（x）＝alnx﹣3x，当x∈（0，+∞）时，f（x+1）≥f（e x）恒成立，则实数a 的最大值为．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考点根据要求作答（一）必考题：共60分
17．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老人，其结果如表：
男女
是否需要
志愿者
需要x y
不需要160270
因为某些原因，表中需要志愿者帮助的老年人的人数已经丢失但根据其他记录，为了进一步了解老年人所需要的帮助的种类和方式，后来又从表示需要志愿者帮助的老年人中按性别分层抽样选出了4名男性，3名女性作了更细致的调查．
（1）求x，y的值；
（2）根据调查表，是否有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”？
附：K2＝，n＝a+b+c+d．
P（K2≥
0.0500.0100.001
k0）
k0 3.841 6.63510.828
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝4，B＝2A．（1）求cos A的值；
（2）求c的值．
19．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝5，AA1＝4，E，F分别是A1B1，C1D1上的点，且A1E＝D1F＝2，过直线EF的平面α与CD，AB分别交于点G，H．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若四边形EFGH是正方形，求四棱锥A﹣EFGH的体积．
20．设椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，线段OA（O为坐标原点）的中点为B．若抛物线C2：y＝x2﹣1的顶点为B，且经过点F1，F2．（1）求椭圆C1的方程；
（2）设点B关于点A的对称点为B′，过点B′作直线与椭圆C1交于点P，Q，且△APQ 的面积为，求直线PQ的斜率．
21．已知f（x）＝e x﹣．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）当k＞2时，判断f（x）的零点的个数，并证明你的结论．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．设点P，Q都在曲线C：（φ为参数）上，且点P对应的参数α与点Q 对应的参数β满足β＝2α（0≤α＜2π），M为PQ的中点（当点P与点Q重合时，点M 也与点P，Q重合）．
（1）求点M的轨迹的参数方程；
（2）判断点M的轨迹是否过坐标原点O，证明你的结论．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为（1，3）．
（1）求a，b的值；
（2）求的最大值．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{（x，y）|y＝1}，B＝{（x，y）|x2+y2≤2}，则集合A∩B中含有的元素有（）
A．零个B．一个C．两个D．无数个
【分析】可看出集合B表示圆x2+y2＝2及其内部，从而可看出A∩B含无数个元素．解：直线y＝1和圆x2+y2＝2及其内部有无数个交点，
∴A∩B中含有的元素有无数个．
故选：D．
2．若复数z＝（i为虚数单位），则在复平面对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．
解：∵z＝＝＝＝﹣+i，
则＝﹣﹣i在复平面内对应的点（﹣，﹣）所在象限为第三象限．
故选：C．
3．已知函数，若实数x0是方程f（x）＝0的解，且0＜x1＜x0，则f （x1）的值（）
A．等于0B．不大于0C．恒为正值D．恒为负值
解：因为函数是单调减函数，y在（0，+∞）上是增函数，所以根据函数单调性的性质可知，
数，在（0，+∞）上是减函数．
因为0＜x1＜x0，所以f（x1）＞f（x0）＝0，
故选：C．
4．下列命题中，是真命题的为（）
A．∀x∈R，ln（x﹣1）2≥0B．∀x∈R，（sin x﹣1）2＜4
C．∃x0∈R，≤1D．∃x0∈R，sin x0＝﹣
【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：当x＝0.9时，ln0.01＜0，故A错误；
对于B：当sin＝﹣1时，（sin x﹣1）2＝4，故B错误；
对于C：令x0＝1时，，故C正确；
对于D：由于sin x0∈[﹣1，1]，所以不成立，故D错误；
故选：C．
5．已知x，y＞0，且，则3x+2y的最小值是（）
A．B．C．20D．25
【分析】将代数式变形，整理成能用均值不等式的形式，再由性质可得其最小值．解：因为3x+2y＝（3x+2y）•1＝（3x+2y）（+）＝9+4++，
因为x＞0，y＞0，所以＞0，＞0，
所以3x+2y≥13+2＝13+12＝25，
当且仅当＝，x＞0，y＞0即x＝y时取等号，
所以3x+2y的最小值为25，
故选：D．
6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足对于任意的x∈R都有f（x）＝f（2﹣x）．若f（﹣1）＝1，则f（2021）＝（）
A．1B．﹣1C．0D．不能确定
【分析】由已知可得f（x）是周期为4的周期函数，从而可得f（2021）＝f（1），再利用已知及奇偶性求解即可．
解：∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
又f（x）＝f（2﹣x），
∴﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），
∴f（2+x）＝﹣f（x），
f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x），
故f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣1．
故选：B．
7．某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n＝＝10，A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，由此能求出A或B被选中的概率．
解：某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，
赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，
基本事件总数n＝＝10，
A或B被选中的对立事件是A和B都没有被选中，
则A或B被选中的概率是p＝1﹣＝．
故选：D．
8．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C＝W log2（1+），其中S是信道内信号的平均功率．N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比．当信噪比比较大时，上
式中真数中的1可以忽略不计，若不改变带宽W．而将信噪比从1000提升4000．则C 大约增加了（）（附：lg2＝0.3010）
A．10%B．20%C．30%D．40%
【分析】由题意可得C1≈W log21000，C2≈W log24000，所以将信噪比从1000提升4000．则C大约增加的百分比为，再利用对数的运算性质求解．
解：当＝1000时，C1＝W log2（1+1000）≈W log21000，
当＝4000时，C2＝W log2（1+4000）≈W log24000，
∴＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝＝﹣1≈﹣1≈0.2
∴C大约增加了20%．
故选：B．
9．某研究机构为了实时掌握当地新增高速运行情况，在某服务区从小型汽车中抽取了80名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论错误的是（）
A．这80辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5
B．这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为77.5
C．这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为77.5
D．在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的概率为0.65
【分析】由频率分布直方图得分布列，由分布列依次检验4个选项即可．
解：由频率分布直方图得分布列
区间[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）[85，90]
P0.050.10.20.30.250.1故这80辆小型车辆车速的众数的估计值为＝77.5，故选项A正确；
∵0.05+0.1+0.2＝0.35＜0.5，0.05+0.1+0.2+0.3＝0.65＞0.5，
∴这80辆小型车辆车速的中位数的估计值为＝77.5，故选项B正确；
这80辆小型车辆车速的平均数的估计值为
62.5×0.05+67.5×0.1+72.5×0.2+77.5×0.3+82.5×0.25+87.5×0.1＝77，故选项C错误；
∵0.3+0.25+0.1＝0.65，
∴在该服务区任意抽取一辆车，估计车速超过75km/h的概率为0.65，故选项D正确．故选：C．
10．已知f（x）＝x+，g（x）＝x2﹣ax+1，若対∀x1∈[1，3]及∀x2∈[1，3]，都有f（x1）≥g （x2），则实数a的取值范围是（）
A．[﹣2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，2]【分析】由题意可知f（x）min≥g（x）max，利用基本不等式可求出f（x）min＝4，对于g （x）＝x2﹣ax+1，x∈[1，3]，对对称轴的位置分情况讨论，分别求出g（x）在[1，3]上的最大值，从而求出a的取值范围．
解：∵対∀x1∈[1，3]及∀x2∈[1，3]，都有f（x1）≥g（x2），
∴f（x）min≥g（x）max，
当x∈[1，3]时，f（x）＝x+＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，∴f（x）min＝4，
对于g（x）＝x2﹣ax+1＝（x﹣）2+1﹣，x∈[1，3]，
①当≤2，即a≤4时，g（x）max＝g（3）＝10﹣3a，
∴4≥10﹣3a，
解得a≥2，
∴2≤a≤4，
②当，即a＞4时，g（x）max＝g（1）＝2﹣a，
∴4≥2﹣a ，解得a ≥﹣2， ∴a ＞4，
综上所述，实数a 的取值范围是[2，+∞），故选：B ．
11．函数f （x ）＝sin （ωx +）（ω＞0）在（0，π）内有且仅有一个极大值点，则ω的
取值范围为（） A ．（，]
B ．[，+∞）
C ．（0，]
D ．（，
]
【分析】由x ∈(0,π)，可得，再结合三角函数sin x 的图像，
即可求解．
【解答】解:∵x ∈(0,π)， ∴，
∵ω＞0，
∴函数f （x ）在（0，π）内有且仅有一个极大值点等价于函数y ＝sin x 在
上有且仅有一个极大值点， ∴，解得，
故选：A ．
12．设a ＝sin2，则（） A ．a 2＜2a ＜12
log a
B ．12
log a ＜2a ＜a 2
C ．a 2＜12
log a ＜2a
D ．12
log a ＜a 2＜2a
【分析】由a ＝sin2，，可得＜a ＜1，进而判断各式的大小．
解：∵a ＝sin2，，∴
＜a ＜1，
∴12
log a ＜1
2
log ＝，且＜a 2＜1，2a ＞1，
∴
12
log a ＜a 2＜2a ，
故选：D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1）．【分析】令t＝x2﹣2x﹣3＞0，求得函数的定义域，且f（x）＝lnt，故本题即求t＝x2﹣2x ﹣3在定义域内的减区间，再结合二次函数的性质可得结论．
解：令t＝x2﹣2x﹣3＞0，求得x＜﹣1，或x＞3，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
且f（x）＝lnt，
故本题即求t＝x2﹣2x﹣3在定义域内的减区间，
结合二次函数的性质可得t＝x2﹣2x﹣3在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣1），
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
14．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若S7＝21﹣7a7，则S10＝15．【分析】由{a n}是等差数列可得S7＝7a4＝21﹣7a7，则a4+a7＝3，从而利用S10＝（a1+a10）＝（a4+a7）进行求解即可．
解：由{a n}是等差数列，得S7＝7a4＝21﹣7a7，则7（a4+a7）＝21，解得a4+a7＝3，所以S10＝（a1+a10）＝（a4+a7）＝5×3＝15．
故答案为：15．
15．已知函数f（x）＝lnx+a（2﹣x）在点（1，f（1））处的切线与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，则a＝1．
【分析】由已知求出曲线在x＝1处的切线方程，再由圆心到直线的距离等于半径列式求解a值．
解：由f（x）＝lnx+a（2﹣x），得f′（x）＝，
∴f′（x）＝1﹣a，又f（1）＝a，
则函数f（x）＝lnx+a（2﹣x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣a＝（1﹣a）（x﹣1），即（1﹣a）x﹣y+2a﹣1＝0．
由切线与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，得，解得a＝1．
故答案为：1．
16．已知函数f（x）＝alnx﹣3x，当x∈（0，+∞）时，f（x+1）≥f（e x）恒成立，则实数a 的最大值为3．
【分析】因为当x∈（0，+∞）时，f（x+1）≥f（e x）恒成立，而x∈（0，+∞）时，1＜x+1＜e x，所以f（x）在（1，+∞）上单调递减，即当x＞1时，f'（x ）＝﹣3＝≤0恒成立，通过分离参数法，转化为求最值，即可求出a的取值范围，从而得到a的最大值．
解：∵当x∈（0，+∞）时，f（x+1）≥f（e x）恒成立，而x∈（0，+∞）时，1＜x+1＜e x，∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∵当x＞1时，f'（x ）＝﹣3＝≤0恒成立，
即a≤3x在x∈（1，+∞）上恒成立，
∴a≤3，
∴实数a的最大值为3，
故答案为：3．
三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。