专题5 排列组合与二项式定理(教师卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)

专题05
排列组合与二项式定理
考点十年考情（2015-2024）
命题趋势
考点1排列组
合综合（10年8考）
2024·全国甲卷、2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、
2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·全国乙卷、2021·全国甲卷、2021·全国甲卷、2020·海南卷、2020·山东卷、2019·全国卷、2017·全国卷、2016·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷
1.理解、掌握排列与组合的定
义，会计算排列数与组合数，熟练掌握排列组合的解题方法排列组合是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，需重点复习
2.理解、掌握二项式定理的通项公式，会相关基本量的求解，会三项式、乘积式的相关计算二项式定理是新高考卷的常考内容，一般考查二项式系数和、系数和、求给定项的二项式系数或系数及相关最大（小）项计算，需重点强化复习
考点2二项式定理综合（10年8考）
2024·北京卷、2022·北京卷、2020·北京卷、
2020·全国卷、2019·全国卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2015·全国卷、2015·陕西卷、2015·湖南卷、2015·湖北卷
考点01排列组合综合
1．（2024·全国甲卷·高考真题）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）
A ．
1
4
B ．
13
C ．1
2
D ．
23
【答案】B
【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解.
解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.
【详解】解法一：画出树状图，如图，
由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率81=243
P =
.解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；
于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；
基本事件总数显然是4
4A 24=，
根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243
=.故选：B
2．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）
A ．120
B ．60
C ．30
D ．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，
假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，
同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种.故选：B.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机
选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有2
4C 6=件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有11
22C C 4=，
所以这2名学生来自不同年级的概率为4263
=.故选：D.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）
A ．30种
B ．60种
C ．120种
D ．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有1
6C 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有2
5A 种，
根据分步乘法公式则共有12
65C A 120⋅=种，
故选：C.
5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（
）．
A ．4515
400200C C ⋅种B ．2040
400200C C ⋅种
C ．3030400200C C ⋅种
D ．4020400200C C ⋅种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取4006040600⨯
=人，高中部共抽取200
6020600
⨯=，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有40
20
400200C C ⋅种.故选：D.
6．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）
A ．12种
B ．24种
C ．36种
D ．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224
⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B
7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）
A．1
6
B．
1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C21
=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()
2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，
故所求概率
2172
213 P-
==.
故选：D.
8．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
2 54!240
C⨯=种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
9．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
01011,01101,01110,10101,10110,11010，
共6种方法，
故2个0不相邻的概率为6
=0.610
，故选：C.
10．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A ．
1
3
B ．
25
C ．
23
D ．
45
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有1
55C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，
所以2个0不相邻的概率为102
5103
=+.故选：C.
11．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（
）
A ．2种
B ．3种
C ．6种
D ．8种
【答案】C
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12
323C C =种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有2
22A =种安排方法
所以，不同的安排方法共有326⨯=种故选：C
【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
12．（2020·山东·高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（
）
A ．120种
B ．90种
C ．60种
D ．30种
【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有1
6C ；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有2
5C ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有12
6561060C C ⋅=⨯=种.
故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
13．（2019·全国·高考真题）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A ．
5
16
B ．
1132
C ．
2132
D ．
1116
【答案】A
【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有3
6C ，所以
该重卦恰有3个阳爻的概率为3
6
62C =516
，故选A ．
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
14．（2017·全国·高考真题）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(
)
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
【答案】D
【详解】4项工作分成3组,可得：2
4
C =6，
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：3
6363
A ⨯=种．
故选D.
15．（2016·全国·高考真题）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
【答案】B
【详解】解：从E 到F ，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E 到F 最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C 42C 22＝6种走法．同理从F 到G ，最短的走法，有C 31C 22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．故选B ．
【考点】计数原理、组合
【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相互关联的．
16．（2016·四川·高考真题）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A ．24
B ．48
C ．60
D ．72
【答案】D
【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有
44A 种排法，所以奇数的个数为44372A =，故选D.
【考点】排列、组合
【名师点睛】利用排列、组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．
17．（2016·全国·高考真题）定义“规范01数列”{an }如下：{an }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有
A ．18个
B ．16个
C ．14个
D ．12个
【答案】C
【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，8
1
a
=，则具体的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14个
【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到出奇制胜的效果．
考点02二项式定理综合
1．（2024·北京·高考真题）在(4
x x 的展开式中，3x 的系数为（）A ．6B ．6-C ．12
D ．12
-【答案】A
【分析】写出二项展开式，令432
r
-
=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4
x x 的二项展开式为(()()442
144C C
1,0,1,2,3,4r r
r
r r
r
r T x x
x
r -
-+==-=，
令432
r
-
=，解得2r =，故所求即为()2
24C 16-=.故选：A.
2．（2022·北京·高考真题）若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（
）
A ．40
B ．41
C ．40-
D ．41
-【答案】B
【分析】利用赋值法可求024a a a ++的值.【详解】令1x =，则432101a a a a a ++++=，令=1x -，则()4
43210381a a a a a -+-+=-=，故420181
412
a a a +++==，故选：B.
3．（2020·北京·高考真题）在
52)-的展开式中，2x 的系数为（）．A ．5-B ．5
C ．10
-D ．10
【答案】C
【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.
【详解】)
5
2展开式的通项公式为：()
()552
15
5
22r r
r
r
r
r r T C
C x --+=-=-，
令
522
r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11
522510C -=-⨯=-.故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
4．（2020·全国·高考真题）2
5()()x x y x
y ++的展开式中x 3y 3的系数为（
）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
【答案】C
【分析】求得5
()x y +展开式的通项公式为515
r r
r
r T C x
y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭与5()x y +展开
式的乘积为65r r
r C x
y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.
【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r r
r r T C x
y -+=（r N ∈且5r ≤）
所以2y x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：
5615
5
r r
r
r r
r
r xT xC x
y C x
y --+==和22542
155r r r
r r r r T C x y x
C y y y x x --++==在615r
r
r r xT C x
y -+=中，令3r =，可得：333
45xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，
在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：52133
2T C y x x
y =，该项中33x y 的系数为5
所以33x y 的系数为10515+=故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
5．（2019·全国·高考真题）（1+2x 2）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16
C ．20
D ．24
【答案】A
【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．
【详解】由题意得x 3的系数为31
4424812C C +=+=，故选A ．
【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．6．（2018·全国·高考真题）5
22x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为
A ．10
B ．20
C ．40
D ．80
【答案】C
【详解】分析：写出103152r r r
r T C x -+=⋅⋅，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315
522r
r
r
r r r r T C x
C x x --+⎛⎫
== ⋅⋅⎪⎝⎭
⋅⋅令103r 4-=,则r 2
=所以22
552240
r r C C ⋅⋅==故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题．
7．（2017·全国·高考真题）(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．80
【答案】C
【详解】()()()()5
5
5
222x y x y x x y y x y +-=-+-，
由()5
2x y -展开式的通项公式()()515
C 2r
r
r
r T x y -+=-可得：
当3r =时，()5
2x x y -展开式中33x y 的系数为()3
32
5C 2140⨯⨯-=-；当2r =时，()5
2y x y -展开式中33x y 的系数为()2
2
35
C 2180⨯⨯-=，则33x y 的系数为804040-=.故选C.
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中
n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数
等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
8．（2017·全国·高考真题）621
(1)x x
++展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30
D ．35
【答案】C
【分析】化简已知代数式，利用二项式展开式的通项公式可以求出展开式中2x 的系数．【详解】因为6662211(1)(1)(1)(1)x x x x x ++=++⨯+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226C 15x x =；621(1)x x
⨯+展开式中含2x 的项为
442621C 15x x x ⨯=，故2x 的系数为151530+=，故选：C ．
9．（2016·四川·高考真题）设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为(
)A ．－15x 4
B ．15x 4
C ．－20i x 4
D ．20i x 4【答案】A
【详解】试题分析：二项式6()x i +的展开式的通项为616r r r r T C x
i -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4
x 的项为2424615C x i x =-，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算
【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式6()x i +可以写为6()i x +，则其通项为66r r r C i x -，则含4x 的项为46444615C i x x -=-．
10．（2015·全国·高考真题）()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为
A ．10
B ．20
C ．30
D ．60【答案】C
【详解】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选C.
考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.
【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.
11．（2015·陕西·高考真题）二项式()()
1n x n N *+∈的展开式中2x 项的系数为15，则n =A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【详解】二项式()1n x +的展开式的通项是1C r r
r n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．
【考点定位】二项式定理．
12．（2015·湖南·高考真题）已知5
的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于（）．
A
B ．
C ．6
D ．6-
【答案】D 【详解】5215C 1r r r r r T a x -+=-()，令1r =，
可得530a -=解得6a =-.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题.13．（2015·湖北·高考真题）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（
）．A ．12
2B ．112C ．102D ．92【答案】D
【详解】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，
所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为
．考点：二项式系数，二项式系数和．。