一次函数之平行四边形存在性问题

一次函数与平行四边形
1.线段中点公式
平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)，
则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________.
2.线段的平移
平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________.
%
例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标
"
例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移
总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等
方法二：利用中点公式
总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4
类型一：三定一动
例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A(-1，0)，B(1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________.
*
总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决.
说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________
【例1】．一次函数y ＝x +3与y ＝﹣x +q 的图象都过点A （m ，0），且与y 轴分别交于点B 、C ．
（1）试求△ABC 的面积；
（2）点D 是平面直角坐标系内的一点，且以点A 、C 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 的坐标；
（3）过△ABC 的顶点能否画一条直线，使它能平分△ABC 的面积若能，求出直线的函数关系式，若不能，说明理由．
【解答】解：（1）将点A （m ，0）代入y ＝x +3中，得
$
m +3＝0，解得m ＝﹣3，即点A （﹣3，0），
将点A （﹣3，0）代入y ＝﹣x +q 中，得q ＝﹣3，
∴点B （0，3）、C （0，﹣3），
故S =12
×BC ×AO ＝9；
（2）满足条件的D 点坐标为D （﹣3，6）、
D （﹣3，﹣6）、D （3，0）；
（3）若过点A ，则得直线l ：y ＝0；
若过点C ，则得直线l ：y ＝﹣3x ﹣3；
@
若过点B ，则得直线l ：y ＝3x +3．
例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线PA 是一次函数y ＝x +m （m ＞0）的图象，直线PB 是一次函数y ＝﹣3x +n （n ＞m ）的图象，点P 是两直线的交点，点A 、B 、C 、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点．
（1）用m 、n 分别表示点A 、B 、P 的坐标及∠PAB 的度数；
（2）若四边形PQOB 的面积是112
，且CQ ：AO ＝1：2，试求点P 的坐标，并求出直线PA 与PB
的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，是否存在一点D ，使以A 、B 、P 、D 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在直线y ＝x +m 中，令y ＝0，得x ＝﹣m ．
∴点A （﹣m ，0）．
…
在直线y ＝﹣3x +n 中，令y ＝0，得x =x 3． ∴点B （x 3，0）． 由{x =x +x x =−3x +x ，得{x =
x −x 4x =x +3x 4，∴点P （x −x 4，x +3x 4）． 在直线y ＝x +m 中，令x ＝0，得y ＝m ，
∴|﹣m |＝|m |，即有AO ＝QO ．
又∵∠AOQ ＝90°，
∴△AOQ 是等腰直角三角形，
∴∠PAB ＝45°．
（2）∵CQ ：AO ＝1：2，
,
∴（n ﹣m ）：m ＝1：2，
整理得3m ＝2n ，
∴n =32
m ， ∴x +3x 4=3
2x +3x 4=98
m ， 而S 四边形PQOB ＝S △PAB ﹣S △AOQ =12（x 3+m ）×（98m ）−12×m ×m =1132m 2=112， 解得m ＝±4，
∵m ＞0，
∴m ＝4，
∴n =32m ＝6，
∴P （12，92）． ！
∴PA 的函数表达式为y ＝x +4，
PB 的函数表达式为y ＝﹣3x +6．
（3）存在．
过点P 作直线PM 平行于x 轴，过点B 作AP 的平行线交PM 于点D 1，过点A 作BP 的平行线交PM 于点D 2，过点A 、B 分别作BP 、AP 的平行线交于点D 3．
①∵PD 1∥AB 且BD 1∥AP ，
∴PABD 1是平行四边形．此时PD 1＝AB ，易得x 1(132，92
)； ②∵PD 2∥AB 且AD 2∥BP ，
∴PBAD 2是平行四边形．此时PD 2＝AB ，易得x 2(−112，92)；
③∵BD 3∥AP 且AD 3∥BP ，此时BPAD 3是平行四边形．
】
∵BD 3∥AP 且B （2，0），
∴y BD 3＝x ﹣2．同理可得y AD 3＝﹣3x ﹣12
{x =x −2x =−3x −12
， 得{x =−52x =−92，
∴x 3(−52，−92
)．
3．如图，在等边△ABC 中，BC ＝8cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm /s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm /s 的速度运动，设运动时间为t （s ）．
（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ；
（2）填空：
#
①当t 为 s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形；
②当t 为 s 时，四边形ACFE 是菱形．
【解答】（1）证明：∵AG ∥BC ，
∴∠EAD ＝∠DCF ，∠AED ＝∠DFC ，
∵D 为AC 的中点，
∴AD ＝CD ，
∵在△ADE 和△CDF 中，{∠xxx =∠xxx
∠xxx =∠xxx xx =xx
，
∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；
（2）解：①当点F 在C 的左侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，
·
则CF ＝BC ﹣BF ＝6﹣2t （cm ），
∵AG ∥BC ，
∴当AE ＝CF 时，四边形AECF 是平行四边形，
即t ＝8﹣2t ，
解得：t =83
； 当点F 在C 的右侧时，根据题意得：AE ＝tcm ，BF ＝2tcm ，
则CF ＝BF ﹣BC ＝2t ﹣8（cm ），
∵AG ∥BC ，
∴当AE ＝CF 时，四边形AEFC 是平行四边形，
即t ＝2t ﹣8，
]
解得：t ＝8；
综上可得：当t =83或8s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形．
②若四边形ACFE 是菱形，则有CF ＝AC ＝AE ＝8，
则此时的时间t ＝8÷1＝8（s ）；
故答案是：83
或8；8．
|
4．已知，Rt △OAB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，如图1，A ，B 坐标分别为（﹣2，0），（0，4），将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，连接AC 、BD 交于点E ．
（1）求证：△ABE ≌△DCE ．
（2）M 为直线BD 上动点，N 为x 轴上的点，若以A ，C ，M ，N 四点为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的M 点的坐标．
（3）如图2，过E 点作y 轴的平行线交x 轴于点F ，在直线EF 上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求P 点坐标和周长的最小值．
【分析】（1）由A 、B 的坐标可求得AO 和OB 的长，由旋转的性质可求得OC 、OD 的长，从而可求得∠AEB ＝90°，再由勾股定理可求得CD 和AB 的长，可求得AB ＝CD ，可证得△ABE ≌△DCE ；
（2）由B 、D 坐标可求得直线BD 解析式，当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，则可求得M 点纵坐标，代入直线BD 解析式可求得M 点坐标，当M 点在x 轴下方时，同理可求得M 点纵坐标，则可求得M 点坐标；
）
（3）由AE ＝DE 可知A 、D 关于EF 对称，连接CD 交EF 于点P ，则P 点即为满足条件的点，由C 、D 坐标可求得直线CD 的解析式，则可求得P 点坐标，利用勾股定理可分别求得AC 和CD 的长，则可求得此时△PAC 的周长．
【解答】解：
（1）∵A （﹣2，0），B （0，4），
∴OA ＝2，OB ＝4，
∵将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°得△OCD ，
∴OC ＝OA ＝2，OD ＝OB ＝4，AB ＝CD ，
∴∠ACO ＝∠ECB ＝∠CBE ＝45°，
∴∠CEB ＝90°，
∴∠AEB ＝∠CED ，且CE ＝BE ，
在Rt △ABE 和Rt △DCE 中
：
{xx =xx xx =xx
∴Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ）；
（2）由（1）可知D （4，0），且B （0，4），
∴直线BD 解析式为y ＝﹣x +4，
当M 点在x 轴上方时，则有CM ∥AN ，即CM ∥x 轴，
∴M 点到x 轴的距离等于C 点到x 轴的距离，
∴M 点的纵坐标为2，
在y ＝﹣x +4中，令y ＝2可得x ＝2，
∴M （2，2）；
当M 点在x 轴下方时，同理可得M 点的纵坐标为﹣2，
(
在y ＝﹣x +4中，令y ＝﹣2可求得x ＝6，
∴M 点的坐标为（6，﹣2）；
综上可知M 点的坐标为（2，2）或（6，﹣2）；
（3）由（1）可知AE ＝DE ，
∴A 、D 关于直线EF 对称，
连接CD 交EF 于点P ，则PA ＝PD ， ∴PA +PC ＝PD +PC ＝CD ，
∴满足△PAC 的周长最小，
∵C （0，2），D （4，0），
∴可设直线CD 解析式为y ＝kx +2，
∴4k +2＝0，解得k =−12
， ∴直线CD 解析式为y =−12x +2，
∵A （﹣2，0），D （4，0），
∴F （1，0），即直线EF 解析式为x ＝1，
在y =−12x +2中，令x ＝1可得y =32
， ∴P （1，32
）， 在Rt △AOC 中，由勾股定理可求得AC ＝2√2， 在Rt △COD 中，由勾股定理可求得CD =√22+42=2√5， ∴PA +PC +AC ＝CD +AC ＝2√5+2√2， 即△PAC 的周长最小值为2√5+2√2．。