高中理科数学空间向量方法总结(家教专用)

平面法向量与立体几何
引言：平面的法向量在课本上有定义，考试大纲中有“理解”要求，但在课本和多数的教辅材料中都没有提及它的应用，其实平面的法向量是中学数学中的一颗明珠，是解立体几何题的锐利武器。

本文介绍平面法向量的二种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。

开发平面法向量的解题功能，可以解决不少立体几何中有关角和距离的难题，使高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。

2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)
n x y
=
[或(,1,)
n x z
=
，或(1,,)
n y z
=
]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b。

由nα
⊥
，得0
n a⋅=
且0
n b⋅=
，由此得到关于,x y的方程组，解此方程组即可得到n。

二、平面法向量的应用
1、求空间角
(1)、求线面角：如图4-1，设
→
n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，α
∈
A，则AB与平面α所成的角为：
41,arccos.
22||||
sin|cos,|
|||| 41,arccos
22
||||
n AB
n AB
n AB
n AB
n AB
n AB
n AB
n AB
n AB
ππ
θ
θ
ππ
θ
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
→→
⎫
⋅⎪
-=-<>=-
⋅
⎪
⋅⎪
⇒=<>=
⎬
⎪⋅
⋅
-=<>-=-⎪
⎪
⋅⎭
如图中:
如图中:
例3、在例2中，求直线
1
AA与平面
1
ACD所成的角。

解析：由例2知，(1,1,1)
n=
，
1
(0,0,1)
AA=
，∴1
1
sin
3
AA n
AA n
θ
⋅
===
⋅
，即a r c s i n
3
θ=
(2)、求面面角:设向量
→
m，→n分别是平面α、β的法向量，则二面角β
α-
-l的平面角为：
|
||
|
arccos
,
→
→
→
→
→
→
⋅
⋅
>=
=<
n
m
n
m
n
m
θ（图5-1）;
|
||
|
arccos
,
→
→
→
→
→
→
⋅
⋅
-
>=
=<
n
m
n
m
n
mπ
θ(图5-2)
图 7
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。

约定，在图5-1中，→
m 的方向对平面α而言向外，→
n 的方向对平面β而言向内；在图5-2中，→
m 的方向对平面α而言向内，→
n 的方向对平面β而言向内。

我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。

例4、 在例2中，求二面角1D AC D --的大小。

解：由例2知，平面1ACD 的法向量是1(1
,1,1)n = ，平面DAC 的法向量是2(0,0,1)n =， 设二面角1D AC D --的大小为θ，则
1212
cos 3n n n n θ⋅==
=⋅
，得3θ=。

2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图6,①作直线a 、b 的方向向量→
a 、→
b ，
求a 、b 的法向量→
n ，即此异面直线a 、b 的公垂线的方向向量；
②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量AB ；
③求向量AB 在→
n 上的射影d ，则异面直线a 、b 间的距离为 |
|||→→
→
∙=
n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→
→,,,
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图7,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为
n ，则点
P 到平面α的距离公式为：0cos AB n AB n d AB AB AB n AB n n
θ⋅⋅=⋅=⋅==⋅⋅
例5、 在例2中，求点1A 到平面1ACD 的距离。

解析：由例2的解答知，平面1ACD
的单位法向量0
n = ， 又1(0,0,1
)AA = ，设点1A 到平面1ACD 的距离为d ，则
10(0,0,1)(3333d AA n =⋅=⋅= 。

所以，点
A 3。

（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图8,
直线a 与平面α之间的距离：
||
AB n d n ⋅= ，其中a B A ∈∈,α。

n
是平面α的法向量
（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图9,两平行平面,αβ之间的距离：
|
|||→
→
→
∙=
n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。

n
是平面α、β的法向量。

3、 证明
（1）、证明线面垂直：在图10中,→
m 向是平面α的法向量，→
a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→
→
=a m λ（2）、证明线面平行：在图11中,→
m 向是平面α的法向量，
→
a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直
（0=∙→
→
a m ）。

（3）、证明面面垂直：在图12中，→
m 是平面α的法向量，
→
n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量垂直（0=∙→
→n m ）
（4）、证明面面平行：在图13中,
→
m 向是平面α的法向量，
→
n 是平面β的法向量，证明两平面的法向量共线（→
→
=n m λ）。

三、利用法向量解2008年高考立体几何试题
例6、（湖南理第17题）如图14所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD
图8
是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ， P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;
（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.
解：如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0）
，3(
22
C 1(22
D P （0，0，2）
,(1,,0).2
E
（Ⅰ）因为(0,
2
BE =平面P AB 的一个法向量是0(0,1,0)n =， 所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面P AB .
又因为BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面P AB .
(Ⅱ)
易知(1,0,2),(0,0PB BE =-= ），
1(0,0,2),(,22
PA AD =-=
设1111(,,)n x y z = 是平面PBE 的一个法向量，则由110,
0n PB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得：
111122020,
000.2
x y z x y z +⨯-=⎧⎪
⎨⨯+
+⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n === 故可取 设2222(,,)n x y z = 是平面PAD 的一个法向量，则由220,
0n PA n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得：
22222
20020,100.22x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪
⎨+
+⨯=⎪⎩
所以2220,.z x ==
故可取21,0).n =-
于是，121212
cos ,n n n n n n <>==
故平面PAD 和平面PBE
所成二面角（锐角）的大小是5
点评：本题采用常规方法（即综合法）求这个二面角的平面角比较困难，而用向量法只要计算不
出问题，一般都能解决问题
例7、（全国卷Ⅱ理科第19题)如图14，正四棱柱1111ABCD ABC D -中，124AA AB ==，点E
图14
在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
解：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．
依题设，1(220)(020)(021)(2
04)B C E A ，，，，，，，，，，，． (021)(220)DE DB == ，，，，，，11(224)(204)AC DA =--= ，，，，，． （Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =
， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥．又DB DE D = ，所以1AC
⊥平面DBE ． （Ⅱ）设向量()x y z =
，，n 是平面1DAE 的法向量，则
DE ⊥ n ，1DA ⊥ n ．
故20y z +=，240x z +=．令1y =，则2z =-，4x =，(412)=- ，，n ． 1AC ，n 等于二面角1
A DE
B --
的平面角，111
cos 42AC AC AC ==
，n n n ． 所以二面角1A DE B --
的大小为42
． 点评：本题主要考查位置关系的证明及二面角的找法和计算，同时也考查学生的空间想象能力和
推理能力。

例9（安徽卷理第18题）如图16，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，
4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点
（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

解：作AP CD ⊥于点P,如图16,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系
(0,0,0),(1,0,0),,0),((0,0,2),(0,0,1),(122244
A B P D O M N -,
(1)(11),2),(2)44222
MN OP OD =--=-=-
设平面OCD 的法向量为(,,)n x y z = ,则0,0n OP n OD ==
即
202
2022
y z x y z -=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩
取z =,解得
n =(11)044MN n =--= ∵
MN OCD ∴平面‖
(2)设AB 与MD 所成的角为θ,
(1,0,0),(1)22
AB MD ==- ∵
1c o s ,2
3AB MD AB MD π
θθ===⋅ ∴∴
, AB 与MD 所成角的大小为3π (3)设点B 到平面OCD 的交流为d ,则d 为OB 在向量n =
上的投影的绝对值,
由 (1,0,2)OB =- , 得23OB n d n
⋅== .所以点B 到平面OCD 的距离为2
3
点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，异面直线所成的角及点到平面的距离等知识，考查空间想象能力和思维能力，利用综合法或向量法解决立体几何的能力。

四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。

（回到图形问题）
五、总结：以上介绍了平面的法向量及其二种求法，我们教材上只介绍了用数量积（内积法）
求法向量，而并没有介绍用向量积（外积法）求法向量，希望大家注意灵活应用，我们以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。

利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。

深入开发它
图16
的解题功能，平面法向题将在数学解题中起到越来越大的作用。

空间向量与立体几何
一 利用空间向量证明空间位置关系
考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。

2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。

考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。

2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。

例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。

(1)求证：FH ∥平面EDB ；
(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。

【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。

【规范解答】
,,//,,,,,,,.
ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 H HB GH HF
如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为
x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，
1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则
(1)
(0,0,1),
(0,0,1),////HF HF
GE HF HF ∴==∴⊂⊄∴
设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB
(2)(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥ GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.
(3)
1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).
010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--⎧=--+=⎧⎪=-=⎨⎨
--==⎩⎪⎩∴=-
1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）
2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-⎧==⎧⎪==-⎨⎨-+==⎩⎪⎩∴=
2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）
121212121
cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=
即二面角B-DE-C 为60。

【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；
2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；
3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。

4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。

应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。

二：利用空间向量求线线角、线面角
考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。

2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。

考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:
（1）异面直线所成角
设分别为异面直线的方向向量，则
（2）线面角
设是直线l 的方向向量，n
是平面的法向量，则
2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：
（1）建立恰当的空间直角坐标。

（2）求出相关点的坐标。

（3）写出向量坐标。

（4）结合公式进行论证、计算。

（5）转化为几何结论。

【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。

（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。

（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦
是非负的，要取绝对值。

三：利用空间向量求二面角
考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。

2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。

考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

其计算公式为：设
分别为平面
的法向量，则θ与
互补或相等，
【高考真题探究】
1. （2010·广东高考理科·Ｔ１0）若向量a r =（1,1,x ）, b r =(1,2,1), c r
=(1,1,1),满足条件()(2)c a b -⋅r r r
=-2,则x = .
【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出c a - 、2b
，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x
【规范解答】c a - (0,0,1)x =-，2(2,4,2)b =
，由()(2)c a b -⋅r r r 2=-
得(0,0,1)(2,4,2)2x -⋅=-，即2(1)2x -=-，解得 2.x =【答案】2
3. （2010·陕西高考理科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，
AP =AB=2， BC
=E ，F 分别是AD ,PC 的中点.
（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF ；
（Ⅱ）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。

【规范解答】解法一 （Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.∵AP =AB=2， BC
=，四边形ABCD 是矩形.
∴A ，B ，C ，D 的坐标为
A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ，D(0
，，0)，P(0,0,2)
又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(0
0),F(1
，1).
∴PC =（2
，，-2）BF =（-1
1）EF
=（1,0,1）， ∴PC ·BF =-2+4-2=0，PC ·EF
=2+0-2=0，
∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF
，∴PC ⊥BF,PC ⊥EF,BF EF F = ,∴PC ⊥平面BEF
（II ）由（I ）知平面BEF 的法向
量
12),
n PC ==-
平面BAP 的法向
量
2n AD == 128,n n ∴=
设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ
，则1212
12
cos cos ,2n n n n n n θ===
∴045θ
=， ∴ 平面BEF 与平面BAP 的夹角为045
6. （2010·四川高考理科·Ｔ18）
已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点.
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M BC B -'-'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M OBC -的体积.
【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、
二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.
【思路点拨】方法一：几何法 问题（Ⅰ），分别证明OM AA '⊥，OM BD '⊥即可.
问题（II ）首先利用三垂线定理，作出二面角M BC B -'-'的平面角， 然后通过平面角所在的直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题.
问题（Ⅲ）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，OBC ∆和OA D ''∆都在平面BCD A ''内，且OBC OA D S S ''∆∆=，故M OBC M OA D O MA D V V V ''''---==，利用三棱锥的体积公式很快求出O MA D V ''-. 方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.
【规范解答】(方法一)：（I ）连结AC .取AC 的中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK . ∵点M 是棱AA '的中点，点O 是BD '
的中点，
由AA AK '⊥，得OM AA '⊥.
∵,AK BD AK BB '⊥⊥，∴AK BDDB
''⊥平面. ∴AK BD '⊥.∴OM BD '⊥. 又∵OM 与异面直线AA '和BD '都相交， 故OM 为异面直线AA '和
BD '的公垂线，
（II ）取BB '的中点N ，连结MN ，则MN BCC B ''⊥平面，
过点 过点N 作NH BC '⊥于H ，连结MH ，则由三垂线
定理得，BC MH '⊥.
∴MHN ∠为二面角M BC B ''--的平面角
.
11,sin45224
MN NH BN ===⨯= . 在Rt MNH ∆中
.tan 4
MN MHN NH ==M BC B ''--
的大小为
.
（III ）易知，OBC
OA D S S ''∆∆=,且OBC ∆和OA D ''∆都在平面BCD A ''内，点O 到平面MA D ''的距离12h =，∴11324
M OBC M OA D O MA D MA D V V V S h ''''''---∆====. (方法二)：以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(1,0,1)A '，(0,1,1)C '，(0,0,1)D '
（I ） ∵点M 是棱AA '的中点，点O 是BD '的中点，
∴1(1,0,)2M , 111(,,)222O ，11(,,0)22OM =- , (0,0,1)AA '= ,(1,1,1)BD '=-- .
0OM AA '⋅= ,110022
OM BD '⋅=-++= , ∴OM AA '⊥,OM BD '⊥,
又∵MO 与异面直线AA '和BD '都相交，
故MO 为异面直线AA '和BD '的公垂线，
（II ）设平面BMC '的一个法向量为1(,,)n x y z = ，1(0,1,)2
BM =- ，(1,0,1)BC '=- . 110,0.n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 即10,20.
y z x z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 取2z =，则2,1x y ==.1(2,1,2)n = . 取平面BC B ''的一个法向量2(0,1,0)n =
.
121212
1cos ,3n n n n n n ⋅<>=== ，由图可知，二面角M BC B ''--的平面角为锐角， 故二面角M BC B ''--的大小为1arccos 3
. （III ）易知
，111444
OBC BCD A S S ''∆==⨯=四边形，设平面OBC 的一个法向量为3111(,,)n x y z = ，
1(1,1,1)BD =-- ,(1,0,0)BC =- , 3130,0.n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111
0,0.x y z x --+=⎧⎨-=⎩ 取11z =，则11y =，从而3(0,1,1)n = .
点M
到平面O 的距
离33
12
2B M n d n ⋅==
.11133424M OBC OBC V S d -∆=⋅==.。