河北省衡水市冀州市2020届高三数学一轮检测试题 理

2020届冀州中学高三一轮复习检测数学试题（理科）
第I卷(选择题共60分)
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。

）
1．已知集合}0
,
2
|
{
},
2
|
{2>
=
=
-
-
=
=x
y
y
B
x
x
y
x
A x，R是实数集，
则（B
C
R
）∩A= （） A．R B．(]2,1 C．[]1,0 D．φ
2．一次函数
n
x
n
m
y
1
+
-
=的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（）
A．1,1
m n
><
且B．0
mn<C．0,0
m n
><
且D．0,0
m n
<<
且
3．当
4
x
π
=时，函数()sin()(0)
f x A x A
ϕ
=+>取得最小值，则函数
3
()
4
y f x
π
=-是（）
A．奇函数且图像关于点(,0)
2
π
对称 B．偶函数且图像关于点(,0)
π对称
C．奇函数且图像关于直线
2
x
π
=对称 D．偶函数且图像关于点(,0)
2
π
对称
4．已知数列{}n a是各项均为正数且公比不等于1的等比数列.对于函数()
y f x
=，若数列
{}
ln()
n
f a为等差数列，则称函数()
f x为“保比差数列函数”.现有定义在(0,)
+∞上的如
下函数：①
1
()
f x
x
=，②2
()
f x x
=，③()e x
f x=，④()
f x x
=，
则为“保比差数列函数”的所有序号为（）
A．①② B．③④ C．①②④ D．②③④
5．过双曲线)0
,0
(1
2
2
2
2
>
>
=
-b
a
b
y
a
x
的左焦点(,0)(0)
F c c
->，作圆
2
22
4
a
x y
+=的切线，
切点为E，延长FE交曲线右支于点P，若
1
()
2
OE OF OP
=+
u u u r u u u r u u u r
，则双曲线的离心率为（）A．10B．
10
5
C．
10
2
D．2
6、下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y（吨标准
煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程ˆy=0.7x+0.35，
那么表中m的值为（）
A.4
B.3.15
C.4.5
D.3
7．在平面斜坐标系xoy中0
45
=
∠xoy，点P的斜坐标定义为：“若
2
1
e
y
e
x
OP+
=（其
中
2
1
,e
e分别为与斜坐标系的x轴，y轴同方向的单位向量），则点P的坐标为)
,
(
y
x”．若),0,1(
),0,1
(
2
1
F
F-且动点)
,
(y
x
M满足12
MF MF
=
u u u r u u u r
，则点M在斜坐标系中的轨迹方程为（）
A．20
x y
-=B．20
x y
+= C．20
x y
-= D．20
x y
+=
8．在正方体
1111
ABCD A B C D
-中，E是棱
1
CC的中点，F是侧面
11
BCC B
内的动点，且
1
//
A F平面
1
D AE，则
1
A F与平面
11
BCC B所成角的正切
值构成的集合是（）
1
D
1
C
D
1
B
B
1
F
.
A．
25
23
5
t t
⎧⎫⎪⎪
≤≤
⎨⎬⎪⎪⎩⎭
B．
25
2
5
t t
⎧⎫
⎪⎪
≤≤
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
C．{}
223
t t≤≤ D．{}
222
t t≤≤
9．甲和乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为（）
A．
1
10
B.
9
10
C.
1
4
D.
48
625
10．设变量x、y满足
1,
0,
220,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪--≥
⎩
则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．以上均不对
11．函数
x
x
y
|
|
log
2
=的图象大致是（）
ＡＢＣＤ
12．已知函数
x
x
x
f⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
4
1
|
log
|
)
(
4
的零点分别为
1
x，
2
x，则（）
A．
2
1
2
1
<
<x
xＢ．1
2
1
2
1
<
<x
xＣ．1
2
1
=
x
xＤ．1
2
1
>
x
x
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13．二项式6
(42)
x x
-
-（x∈R）展开式中的常数项是 .
14．执行如下图的程序框图，输出s和n,则s n
+的值为 .
15．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是 .
16．设圆22
:(3)(5)5
C x y
-+-=，过圆心C作直线l交圆于A、B两点，与y轴交于点P，
正视图侧视图
俯视图
O x
y
O x
y
O x
y
O x
y
若A 恰好为线段BP 的中点，则直线l 的方程为 . 三、解答题：（本大题共6小题，17-21每题12分，选做题10分。

共70分） 17．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知cos 3cos 3cos A C c a
B b
--=
． （Ⅰ）求
sin sin C
A
的值； （Ⅱ）若B 为钝角，10b =，求a 的取值范围. 18、某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产
品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.
（Ⅰ）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品，
（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（2）已知该厂生产一件该产品的利润y （单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：
1,35
2,574.7
y ξξξ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X ，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求X 的分布列和数学期望．
19．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形
ABCD 所在的平面与圆O 所在的平面互相垂直．已知2=AB ,1=EF ．
（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；
（Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的大小； （Ⅲ）当AD 的长为何值时，平面DFC 与平面FCB 所成的锐二面角的大小为60o
？
20．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为
2
1
，一个焦点和抛物线x y 42-=的焦点重合,过直线4:=x l 上一点M 引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A,B. （Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆()012222>>=+b a b y a x 上的点()00,y x 处的椭圆的切线方程是12020=+b
y
y a x x .
求证:直线AB 恒过定点C ；并出求定点C 的坐标.
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得BC AC BC AC ⋅=+λ恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定
点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。

21. 已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=23
12ln 23
（I ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值；
（II ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围；
（III ）当2
1
-=a 时，方程()()x b x x f +-=-3113
有实根，求实数b
的最大值. 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

F
B
C
D
O
.
E
22、选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O 1与圆O 2相交于A 、B 两点，AB 是圆O 2的直径，过A 点作圆O 1的切线交圆O 2于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与圆O 1、圆O 2交于C ，D 两点。

求证：(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；(Ⅱ)AD=AE 。

23、选修4—4在极坐标系中，曲线2
:sin 2cos L ρθθ=，
过点A （5，α）（α为锐角且3
tan 4
α=
）作平行于()4
R π
θρ=
∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点。

极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长。

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于x 的不等式2|21||1|log x x a +--≤（其中0a >）。

(Ⅰ)当a=4时，求不等式的解集；(Ⅱ)若不等式有解，求实数a 的取值范围。

2020届高三一轮复习检测(理科数学)参考答案 一、选择题 CBCCC DDDBA AB
二、填空题13. 15 14. 13 15.317
16.210x y --=或2110x y +-= 三、解答题17. 解：（I ）由正弦定理，设,sin sin sin a b c
k A B C
===
则33sin sin 3sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B ---==
所以cos 3cos 3sin sin .cos sin A C C A B B
--=………………4分
即(cos 3cos )sin (3sin sin )cos A C B C A B -=-，
化简可得sin()3sin().A B B C +=+ 又A B C π++=，
所以sin 3sin C A =因此sin 3.sin C
A
= ……………….6分
（II ）由sin 3sin C
A =得3.c a = 由题意22
2
a c
b a
c b +>⎧⎨+<⎩， …10分 5
102
a ∴<< ……………………………………12分 18.解:（Ⅰ）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品
有9件，三等品有15件 ∴样本中一等品的频率为6
0.230
=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2……2分 二等品的频率为
9
0.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；…………2分 三等品的频率为15
0.530
=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5……..2分
（2）∵X 的可能取值为：1,2,4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得(1)0.5P X ==,(2)0.3P X ==,(4)0.2P X ==--8分 ∴可得X 的分布列如下：
…………………….10分
其数学期望10.520.340.2 1.9EX =⨯+⨯+⨯=(元) …12分 19. （本小题满分12分）
（I ）证明：Θ平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面I ABCD 平面ABEF =AB ， ⊥∴CB 平面ABEF ．
⊂AF Θ平面ABEF ，CB AF ⊥∴， 又AB Θ为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF ．
⊂AF Θ平面ADF ，∴平面⊥DAF 平面CBF ………4分 （II ）根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ， ∴FB 为AB 在平面CBF 内的射影,
x H F
A
B
C
D
O
.
E
y
z
因此，ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角 ……………6分 EF AB //Θ，∴四边形ABEF 为等腰梯形， 过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ．
2=AB ,1=EF ，则2
1
2=-=
EF AB AH ． 在AFB Rt ∆中，根据射影定理AB AH AF ⋅=2，得1=AF ．
2
1
sin ==∠AB AF ABF ，ο30=∠∴ABF ．
∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为ο30． …………8分
（Ⅲ）设EF 中点为G ，以O 为坐标原点，OA 、OG 、AD 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角坐标系（如图）.设t AD =)0(>t ，则点D 的坐标为),0,1(t 则
(1,0,)C t -,又13
(1,0,0),(1,0,0),(,,0)22
A B F - 13(2,0,0),(,,)2CD FD t ∴==-u u u r u u u r
设平面DCF 的法向量为),,(1z y x n =，则10n CD ⋅=u r u u u r ,10n FD ⋅=u r u u u r
．
即20,3
0.x y tz =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令3=z ，解得t y x 2,0== )3,2,0(1t n =∴ ………………………………..10分
由（I ）可知AF ⊥平面CFB ，取平面CBF 的一个法向量为213
(,,0)22
n AF ==-u u r u u u r ，依题意1n 与2n 的夹角为ο602
1
2160cos n
n ⋅=∴ο
，即2132431t t =+⋅， 解得6t =
因此，当AD 的长为6时，平面与DFC 平面FCB 所成的锐二面角的大小为60o
. ………12分
20. 解：（I ）设椭圆方程为()012222>>=+b a b
y a x 。

抛物线x y 42
-=的焦点是()0,1-，故
1=c ，又2
1
=a c ，所以3,222=-==c a b a ，
所以所求的椭圆Ω方程为13
42
2=+y x …………………………3分 （II ）设切点坐标为()11,y x A ,()22,y x B ,直线l 上一点M 的坐标()t ,4。

则切线方程分别为13411=+y y x x ，13422=+y y x x 。

又两切线均过点M ，即13
,132211=+=+y t x y t x ，即点A,B 的坐标都适合方程13
=+y t
x ，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB 的方程是
13
=+y t
x ，显然对任意实数t ，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB 恒过定点
()0,1C 。

…………………………………………………………6分（III ）将直线
AB 的方程13+-
=y t
x ，代入椭圆方程，得 01241332
2
=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-y y t ，即0924322=--⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+ty y t 所以12
27
,1262
21221+-=+=+t y y t t y y …………………………………………..8分 不妨设0,021<>y y
()122122
1
2
139
191y t y t y x AC +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+-=，同理2239y t BC +-=……10分 所以()2
12
122211222129
3
93119311y y y y t y y y y t y y t BC AC -⋅+-=-⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=+
34914491449
112271210812693222
2
2
22=⨯+⋅+=+-++⎪⎭⎫
⎝⎛+⋅+-=t t t t t t t
即BC AC BC AC ⋅=+34。

故存在实数3
4
=λ，使得BC AC BC AC ⋅=+λ。

……………………12分
22. 解：（I ）()()()[]
1
22441222122222
++--+=--++='ax a x a ax x a x x ax a x f ……2分因为
2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即
021
42=-+a a a
， 解得0=a 。

经检验，合题意……4分（没有写经检验的减1分） （II ）因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数，所以
()()()[]
01
22
441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立。

①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数，故0=a 符合题意。

……………………6分 ②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，
故只能0>a ，所以()()0244122
2≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立。

令函数()()()244122
2+--+=a x a ax x g ，其对称轴为a
x 411-=，
因为0>a ，所以141
1<-a
， 要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立，
只要()03≥g 即可，即()016432
≥++-=a a g ，
所以
4
13
34133+≤≤-a 。

因为0>a ，所以4
13
30+≤<a 。

综上所述，a
的取值范围为30,4⎡+⎢⎣⎦。

………8分
（Ⅲ）当21
-=a 时，方程()()x b x x f +-=
-3113
可化为()()x b x x x =-+--11ln 2。

问题转化为()()3
22ln 11ln x x x x x x x x x x b -+=-+--=在()+∞,0上有解，即求函数
()32ln x x x x x g -+=的值域。

因为函数()3
2
ln x x x x x g -+=，令函数()()0ln 2
>-+=x x x x x h ，………10分
则()()()x
x x x x x h -+=-+='112211
， 所以当10<<x 时，()0>'x h ，从而函数()x h 在()1,0上为增函数， 当1>x 时，()0<'x h ，从而函数()x h 在()+∞,1上为减函数， 因此()()01=≤h x h 。

而0>x ，所以()0≤⋅=x h x b ，因此当1=x 时，b 取得最大值0. ………12分
23、（Ⅰ）由题意得，点A 的直角坐标为()3,4
曲线L 的普通方程为：x y 22
= ………3分
直线l 的普通方程为：1-=x y ………………5分 （Ⅱ）设B （11,y x ）C （22,y x ）
分
8分
4。