河南省信阳高中2018-2019学年高二(下)3月月考数学试卷(理科)(精品解析)

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河南省信阳高中2018-2019学年高二（下）3月月考数学
试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.
已知集合，，则 A ={x|2
2‒x
>1}B ={x||x +1|<3}A ∩B =()
A. B. C. D. (‒∞,‒4)
(‒∞,‒2)(‒4,2)(‒2,2)
【答案】C
【解析】解：集合，∵A ={x|2
2‒x
>1}={x|x <2}，
B ={x||x +1|<3}={x|‒4<x <2}．∴A ∩B ={x|‒4<x <2}=(‒4,2)故选：
C ．
求出集合A ，B ，由此能求出．
A ∩
B 本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2.
已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则 z =m ‒3+(m ‒1)i(m ∈Z)|1
|=(
)
A. B. 2 C. D.
2
2
2D 1
2
【答案】C
【解析】解：由，解得．{m ‒3<0
m ‒1>01<m <3又，．m ∈Z ∴m =2，则，
∴z =‒1+i 1
z =1
‒1+i
=‒1‒i (‒1+i)(‒1‒i)=‒12‒1
2i
．
∴|1
z |=
22故选：C ．由已知列式求得m ，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，结合复数模的个数求
1
z 解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.
下列命题中正确命题的个数是 ()命题“函数
的最小值不为2”是假命题；
①y =x 2+9+
1x 2
+9
(x ∈R)
“”是“”的必要不充分条件；②a ≠0a 2+a ≠0若为假命题，则p ，q 均为假命题；
③p ∧q 若命题p ：，，则：，；
④∃x 0∈R x 2
0+x 0+1<0￢p ∀x ∈R x 2+x +1≥0
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】解：令，则函数
，在
①x 2
+9=t(t ≥3)y =x 2+9+1x 2+9
(x ∈R)=t +1
t
上为增函数，[3,+∞)则当时，有最小值为
，
t =33+1
3=
10
3命题“函数
的最小值不为2”是真命题，故错误；
∴y =x 2+9+
1x 2+9(x ∈R)
①由，不一定有，反之，由，一定有，②a ≠0a 2+a ≠0a 2+a ≠0a ≠0“”是“”的必要不充分条件，故正确；∴a ≠0a 2+a ≠0②若为假命题，则p ，q 中至少一个为假命题，故错误；
③p ∧q ③若命题p ：，，则：，，故正确．
④∃x 0∈R x 2
0+x 0+1<0￢p ∀x ∈R x 2+x +1≥0④命题中正确命题的个数是2个．∴故选：B ．
换元后利用函数单调性求最值判定；由充分必要条件的判定方法判断；利用复合①②命题的真假判断判定；写出特称命题的否定判断．
③④本题考查命题的真假判断与应用，考查函数最值的求法，考查复合命题的真假判断与充分必要条件的判定，是中档题．
4.
设，若是与的等比中项，则的最小值为 a >0b >0.33a 3
b
1
a
+1
b
()
A. 8
B. 4
C. 1
D.
14
【答案】B
【解析】解：因为，所以，3a ⋅3b
=3a +b =1，
1a
+1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a
b ≥2+2
b a
⋅a
b =4
当且仅当即时“”成立，
b
a
=a
b
a =
b =1
2=故选：B ．
由题设条件中的等比关系得出，代入中，将其变为
，利用基本
a +
b =11
a
+1
b
2+b a +a
b
不等式就可得出其最小值
本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
5.
若是的一个内角，且，则
的值为
θ△ABC sinθcosθ=‒1
8
sin(2π+θ)‒sin(π
2‒θ)
()
A.
B. C.
D. ‒
32
3
2‒
52
5
2
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【答案】D
【解析】解：由已知可得，，0<θ<π又
，可得，．
sinθcosθ=‒1
8
sinθ>0cosθ<0∴sin(2π+θ)‒sin(π
2‒θ)=sinθ‒cosθ
．
=(sinθ‒cosθ)2=1‒2sinθcosθ=1+1
4=52故选：D ．
由已知可得，，则
sinθ>0cosθ<0，展开可得答案．
sin(2π+θ)‒sin(π
2‒θ)=sinθ‒cosθ=(sinθ‒cosθ)2
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
6.
已知双曲线的一条渐近线与直线的夹角为，若
C ：x 2
a
2‒
y 2b 2
=1(a >0,b >0)
x =030∘
以双曲线C 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，则双曲线C 的标准方
83程为 ()
A.
B.
C.
D.
x 24
‒
y 212
=1
x 24
‒
y 28
=1
x 212
‒
y 24
=1
x 28
‒
y 24
=1
【答案】C
【解析】解：由于双曲线的渐近线为
，
y =±b
a x
渐近线与直线的夹角为，∵x =030∘，∴b
a =tan 30∘=
3
3①双曲线C 的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，∵83，∴1
2×2a ⋅2b =83
②
由，解得解得，，
①②a =23b =2则双曲线方程为，
x 2
12
‒
y 24
=1
故选：C ．
由条渐近线与直线的夹角为可得，，由双曲线
C 的实轴和
x =030
∘b a
=tan 30∘=
3
3①虚轴为对角线的四边形的面积为，可得，，由，解得831
2×2a ⋅2b =83②
①②，，即可求出双曲线的方程．
a =23
b =2本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．
7.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 ()
A. 720
B. 520
C. 600
D. 264
【答案】D
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论，
若甲乙其中一人参加，则有种情况；C 12⋅C 34⋅A 4
4=192若甲乙两人都参加，有种情况；C 22⋅C 24⋅A 22⋅A 2
3=72则不同的发言顺序种数种．192+72=264故选：D ．
根据题意分甲、乙其中一人参加和甲乙两人都参加两种情况，再由加法原理计算可得答案．
本题考查了排列、组合知识的应用问题，利用加法原理，正确分类是关键．
8.函数
的部分图象大致为 f(x)=
(x 2‒1)cosπx
|x|(
)
A. B.
C.
D.
【答案】A 【解析】解：数
满足，
f(x)=
(x 2‒1)cosπx
|x|f(
‒x)=f(x)故函数图象关于y 轴对称，排除B ，D ；当时，
，排除C ，
x ∈
(0,1
2)
f(x)=
(x 2‒1)cosπx
|x|
<0
故选：A ．
分析函数的奇偶性，及
时函数的符号，利用排除法可得答案．
x ∈(0,1
2)
本题考查的知识点是函数的图象，根据已知分析出函数的奇偶性，是解答的关键．
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9.
我国古代九章算术将上下两面为平行矩形的六面《》体称为刍童如图所示为一个刍童的三视图，其中正视.图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为 ()
A. 125
B. 40
C. 16+123
D. 16+125
【答案】D
【解析】解：三视图对应的几何体的直观图如图，梯形
的高为：，
22+12
=5几何体的表面积为，．
2×2×4+4×2+42
×5=16+125
故选：D ．
画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．
10.已知实数x ，y 满足约束条件，则
的取值范围为 {
x ≤2x ‒2y +2≥0x +y +2≥0z =x ‒5
y ()A. B.
[‒23,4
3]
[‒43,2
3]
C.
D.
(‒∞,‒3
2]∪[3
4,+∞)
(‒∞,‒3
4]∪[3
2,+∞)
【答案】C
【解析】解：作出的可行域为三角形包括边
(界，)把改写为，
z =
x ‒5y 1z
=y ‒0
x ‒5
所以可看作点和之间的斜率，
1
z (x,y)C(5,0)记为k ，由可行域可知，，A(2,2)B(2,‒4)则，所
‒2
3≤k ≤4
3
以
．
z
∈(
‒
∞,‒3
2]∪[3
4,+∞)
故选：C ．
作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关
键．
11.已知抛物线C ：，过抛物线上一点作两条直线分别与抛物线相交
y 2
=4x P(x 0,y 0)于M ，N 两点，连接MN ，若直线MN ，PM ，PN 与坐标轴都不垂直，且它们的斜率满足，，点，则直线PQ 的斜率为 k MN =11
k PM +1
k PN =3
Q(2,1)()
A.
B.
C.
D.
3
4
45
43
32
【答案】D
【解析】解：设点，，M(x 1,y 1)N(x 2,y 2)点在抛物线上，∵P(x 0,y 0)y 2=4x ，
∴P(1
4y 20,y 0)
设，，k PM =k 1k PN =k 2故直线PM 的方程为
，
y ‒y 0=k 1(x ‒1
4y 20)
由
，得
，
{
y ‒y 0=k 1(x ‒1
4y 20)
y 2
=4x
y 2‒4k 1
y +4
k 1
y 0‒y 20=0
此方程的两个根分别为，，，y =y 0y =y 1y 0+y 1=4
k
1，
，
∴y 1=4
k 1
‒y 0
x 1=
y 214
=
(4‒k 1y 0)2
4k 21
，∴
M((4‒k 1y 0)24k 21
,4
k
1
‒y 0)
同理可得
，
N((4‒k 2y 0)2
4k 22
,4k
2
‒y 0)
，
k MN =4k 2
‒y 0‒4
k 1+y 0
(4‒k 2y 0
)
2
4k 2
‒
(4‒k 1y 0)
2
4k 1
=
22(11
+1
2
)‒y 0
=1
，
∵1k PM
+1
k PN
=3
，∴y 0=4，
∴x 0=4
∵Q(2,1)直线PQ 的斜率为，
∴1‒4
2‒4=3
2故选：D ．
设点，，求出M ，N 的坐标，确定相应的斜率，即可得到结论．M(x 1,y 1)N(x 2,y 2)本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题
12.已知点P 是曲线上任意一点，记直线为坐标系原点的斜率为
y =sinx +lnx OP(O )k ，则 ()
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A. 至少存在两个点P 使得
B. 对于任意点P 都有k =‒1k <0
C. 对于任意点P 都有
D. 存在点P 使得k <1
k ≥1
【答案】C
【解析】解：任意取x 为一正实数，一方面，y =sinx +lnx ≤lnx +1另一方面由和直线的图象容易证成立，所以y =lnx y =x ‒1lnx +1≤x ，
y =sinx +lnx ≤x 因为与中两个等号成立条件不一样，y =sinx +lnx ≤lnx +1lnx +1≤x 所以恒成立，所以，排除D ；
y =sinx +lnx <x k <1当时，，所以，所以排除B ；
π2
≤x <π
y =sinx +lnx >0k >0对于A 选项，至少存在两个点P 使得，也就是至少存在两解，
k =‒1sinx +lnx
x
=‒1
即至少存在两解，
恒成立，
sinx +lnx +x =0(sinx +lnx +x)'=cosx +1
x +1>0
所以至多存在一解，故排除A ，sinx +lnx +x =0故选：C ．
结合正弦函数的值域和对数函数和直线的关系，即可判断D ；当
y =lnx y =x ‒1时，，即可判断
B ；，即至
π2
≤x <π
y =sinx +lnx >0sinx +lnx x
=‒1
sinx +lnx +x =0少存在两解，运用导数判断单调性，即可判断A ，由排除法思想即可得到结论．本题考查直线的斜率的范围，考查分类讨论思想方法，以及正弦函数的性质、函数的导数与单调性的运用，考查分析问题和判断能力、推理能力，属于中档题．二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.
非零向量，满足：，，则与夹角的大小为______
⃗a ⃗b |⃗a
‒⃗b
|=|⃗a
|
⃗a
⋅(⃗a
‒⃗b
)=0
⃗a
‒⃗
b ⃗
b 【答案】135
∘
【解析】解：根据题意⃗a 2‒2⃗a ⋅⃗b
+⃗b
2=⃗a
2
又∴⃗b
2=2⃗a ⋅⃗
b
⃗a
2=⃗a ⋅⃗
b
，∴2⃗a 2=⃗b
2
∴cos <⃗a
‒⃗b ⃗b
>=
⃗a ⋅⃗b
‒⃗b
2
∣⃗a ∣×∣⃗
b ∣
=
‒⃗a
2
2⃗
a
2
=‒22
故答案为．
135∘
运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查向量的夹角公式的应用．
14.设为数列的前n 项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数
S n {a n }S 2n
S n (n ∈N ∗
)列”若数列是首项为，公差为的等差数列，且数列是“和等比
.{C n }C 1d(d ≠0){C n }数列”，则d 与的关系式为______．C 1【答案】d =2C 1
【解析】解：数列是首项为，公差为的等差数列，{C n }C 1d(d ≠0)则
，S n =nC 1+
n(n ‒1)
2d ，
S 2n =2nC 1+
2n(2n ‒1)2d 数列是“和等比数列”，∵{C n }为非零常数，设，∴
S 2n
S n S 2n
S n =x
(x ≠0)
即
，
2nC 1+
2n(2n ‒1)d
2nC 1+
n(n ‒1)d
2
=x 整理得，
4C 1+2(2n ‒1)d
2C 1+(n ‒1)d =x
，∴4C 1+2(2n ‒1)d =x[2C 1+(n ‒1)d]即，4C 1+4nd ‒2d =2C 1x +(n ‒1)xd ，∴4C 1+4nd ‒2d =2C 1x +nxd ‒xd 则
，{x =4
4C 1‒2d =2C 1x ‒xd ，
∴{
x =4
4C 1‒2d =8C 1‒4d
即，4C 1=2d 解得．d =2C 1故答案为：d =2C 1
根据等差数列的前n 项和公式，先求和，然后根据“和等比数列”的定义，得到
S n S 2n 为非零常数，从而得到
d 与的关系．
S 2n
S n C 1点评：本题考主要查和等比关系的确定和性质，解答的关键是正确理解“和等比数列”的定义，并能根据定义构造出满足条件的方程考查学生的运算推导能力．
.15.若是函数的极值点，则的极小值为______．x =‒2f(x)=(x 2+ax ‒1)e x ‒1
f(x)【答案】‒1
【解析】解：函数，
f(x)=(x 2+ax ‒1)e x ‒1
可得，f'(x)=(2x +a)e
x ‒1
+(x 2+ax ‒1)e x ‒1是函数的极值点，x =‒2f(x)=(x 2+ax ‒1)e x ‒1可得：，即．
f'(‒2)=(‒4+a)e
‒3
+(4‒2a ‒1)e ‒3=0‒4+a +(3‒2a)=0解得．a =‒1可得，
f'(x)=(2x ‒1)e
x ‒1
+(x 2‒x ‒1)e x ‒1，函数的极值点为：，，
=(x 2+x ‒2)e x ‒1x =‒2x =1当或时，函数是增函数，时，函数是减函数，x <‒2x >1f'(x)>0x ∈(‒2,1)时，函数取得极小值：．x =1f(1)=(12‒1‒1)e 1‒1=‒1故答案为：．
‒1求出函数的导数，利用极值点，求出a ，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．
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本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力．三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）
16.曲线与其在点处的切线及直线所围成的封闭图形的面积为
y =e x
(0,1)x =1______．【答案】
e ‒5
2
【解析】解：的导数为，
y =e x y'=e x
则在处的切线斜率，切线方程为，
(0,1)k =1y =x +1则所求封闭图形的面积
S =∫1
0(e x ‒x ‒1)dx
．
=(e x ‒1
2x 2‒x)|10=e ‒1
2‒1‒1=e ‒5
2故答案为：
．
e ‒5
2
利用导数的几何意义，求出切线方程，利用积分的几何意义，即可求出封闭区域的面积．
本题主要考查导数的几何意义以及积分的几何意义，熟练掌握函数的导数公式和积分公式是解题的关键，属于基础题．
.17.在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，且满足
．
△ABC c.b =acosC +3
3csinA
求角A 的大小；
(1)若边长，求面积的最大值．(2)a =2△ABC 【答案】解：由于．
(1)b =acosC +3
3csinA
利用正弦定理：，
sinB =sinAcosC +33sinCsinA =sin(A +C)
整理得：
，
cosAsinC =3
3sinCsinA
由于：，
sinC ≠0解得：tanA =3(0<A <π)则：
．
A =π
3
根据余弦定理得：，(2)a 2=b 2+c 2‒2bccosA 则：，4=b 2
+c 2
‒bc ≥2bc ‒bc =bc 解得：，bc ≤4则：
S △ABC =1
2bcsinA ≤3
【解析】直接利用正弦定理的三角函数关系式的恒等变换求出A 的值．(1)利用的结论和余弦定理及基本不等式求出三角形面积的最大值．
(2)
(1)本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理得余弦定理得应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．
18.如图，四边形ABCD 为梯形，，，点E 在线段CD 上，满足
AB//CD ∠C =60∘
，且
，现将沿AE 翻折到AME 位置，使得
BE ⊥CD CE =AB =1
4CD =2
△ADE ．
MC =210Ⅰ证明：；
()AE ⊥MB Ⅱ求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．
()
【答案】本题满(分15分证明：Ⅰ连()BD ，交AE 于N ，则
，BD =BE 2+DE 2=(16‒4)+36=43，分∴BC ⊥BD (2)
又，，分BC//AE ∴AE ⊥BD …(4)，，
∴AE ⊥BN AE ⊥MN ，平面MNB ，分∵BN ∩MN =N ∴AE ⊥...(6)分∴AE ⊥MB. (7)
解：Ⅱ设直线CM 与面AME 所成角为，()θ则
，其中h 为C 到面AME 的距离分sinθ=ℎ
MC
(9)
，到面AME 的距离即B 到面AME 的距离．∵AE//BC ∴C 由
分V M ‒ABE =1
3⋅S △ABE ⋅BM =V B ‒AME =1
3S △AEM ⋅ℎ (12)
所以
，
ℎ=
S △ABE ⋅BM S △AEM
=
263
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．
∴sinθ=ℎMC =
1515故直线CM 与面AME 所成角的正弦值为分15
15
.……………………………………………(15
)
【解析】Ⅰ连BD ，交AE 于N ，推导出，，从而平面()AE ⊥BN AE ⊥MN AE ⊥MNB ，由此能证明．
AE ⊥MB Ⅱ设直线CM 与面AME 所成角为，则
，其中h 为C 到面AME 的距离，
()θsinθ=ℎ
MC
由，得C 到面AME 的距离即B 到面AME 的距离由AE//BC .求出
，由此能求出直线CM 与
V M ‒ABE =1
3⋅S △ABE ⋅BM =V B ‒AME =1
3S △AEM ⋅ℎℎ=
263
面AME 所成角的正弦值．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.为保护农民种粮收益，促进粮食生产，确保国家粮食安全，调动广大农民粮食生
产的积极性，从2004年开始，国家实施了对种粮农民直接补贴通过对
.年的数据进行调查，发现某地区发放粮食补贴额亿元与该地区粮2014～2018x()食产量万亿吨之间存在着线性相关关系统计数据如下表：y().年份
2014年2015年2016年2017年2018年补贴额亿元x/9
10
12
11
8
粮食产量万y/亿吨
2325302621
Ⅰ请根据如表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程；()^y =^bx +^
a Ⅱ通过对该地区粮食产量的分析研究，计划2019年在该地区发放粮食补贴额7()亿元，请根据Ⅰ中所得的线性回归直线方程，预测2019年该地区的粮食产量．
()参考公式：
，(b =
∑n
i =1(x i ‒‒
x )(y i ‒‒
y )
∑n
i =1(x i ‒‒
x )2
a =‒y ‒
b ‒
x )
【答案】解：Ⅰ由已知数据得：
，
()‒
x =1
5(9+10+12+11+8)=10
故
，
‒
y =1
5(23+25+30+26+21)=25
代入公式
，
b =
∑n
i =1(x i ‒‒
x )(y i ‒‒
y )
∑n i =1(x i ‒‒x )2
=2.1
故，a =‒y ‒b ‒
x =25‒2.1×10=4故回归方程为：；
^
y =2.1x +4
Ⅱ由题意得，将代入；()x =7x =7^
y =2.1x +4得，
y =18.7故预测2019年该地区的粮食产量为亿万吨．
18.7【解析】Ⅰ求出x ，y 的平均数，求出相关系数，从而求出回归方程即可；()Ⅱ代入x 的值，求出y 的预报值即可．
()本题考查了求回归方程问题，考查函数代入求值，是一道基础题．
20.已知椭圆
的左、右焦点分别为、，圆经过椭圆
C 1：x 2
a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0)
F 1F 2C 2的两个焦点和两个顶点，点P 在椭圆上，且，．
C 1C 1|PF 1|=2+2|PF 2|=2‒2Ⅰ求椭圆的方程和点P 的坐标；
()C 1Ⅱ过点P 的直线与圆相交于A 、B 两点，过点P 与垂直的直线与椭圆()l 1C 2l 1l 2相交于另一点C ，求的面积的取值范围．
C 1△ABC 【答案】解：设，，可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得，
(I)F 1(‒c,0)F 2(c,0)C 2b =c 由题意知，得，由，得，
2a =|PF 1|+|PF 2|=4a =2b 2+c 2=a 2
b =
c =2所以椭圆的方程为，点P 的坐标为．
C 1x 2
4
+
y 22
=1
(2,0)由过点P 的直线与椭圆相交于两点，知直线的斜率存在，(II)l 2C 1l 2设的方程为，由题意可知，
l 2y =k(x ‒2)k ≠0联立椭圆方程，得，(2k 2+1)x 2‒8k 2x +8k 2
‒4=0设，则
，得，所以；
C(x 2,y 2)2⋅x 2=
8k 2‒4
2k 2+1x
2
=
4k 2‒2
2k 2+1|PC|=1+k
2|x
2‒2|=4k 2+1
2k 2+1
由直线与垂直，可设的方程为，即，l 1l 2l 1y =‒1
k (x ‒2)
x +ky ‒2=0圆心到的距离
，又圆的半径，
(0,0)l 1d =
2
1+k 2r =2所以
，
，
(|AB|
2)2=r 2‒d 2
=2‒
4k 2+1
=
2(k 2‒1)k 2+1
|AB|=22
k 2‒1k 2+1由即
，得，
d <r 21+k 2
<2
k 2
>1，S △ABC =1
2|AB|⋅|PC|=2
k 2‒1k 2+1
×
4k 2+12k 2+1=42
k 2‒12k 2+1设，则，，
t =k 2‒1t >0S △ABC =42t
2t 2+3=42
2t +3t ≤42
26=233
当且仅当
即
时，取“”，
t =
62k =±
102
=所以的面积的取值范围是
△ABC (0,
233
].
【解析】Ⅰ由题意可知，根据椭圆的定义即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆()b =c 方程及P 点坐标；
Ⅱ设直线的方法，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C 点坐标，求得，同()l 2|PC|理求得，根据三角形的面积公式，利用换元法，根据基本不等式的性质，即可求|AB|得的面积的取值范围．
△ABC
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本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查基本不等式求函数的最值，考查转化思想，属于中档题．
21.已知函数．
f(x)=e x ‒1‒x ‒ax 2
Ⅰ当时，求证：；
()a =0f(x)≥0Ⅱ当时，若不等式恒成立，求实数a 的取值范围；()x ≥0f(x)≥0Ⅲ若，证明．
()x >0(e x ‒1)ln(x +1)>x 2【答案】解：Ⅰ时，，
()a =0f(x)=e x
‒1‒x 分f'(x)=e x ‒1…(1)当时，；
x ∈(‒∞,0)当时，
0…(2'/>分x ∈(0,+∞))
故在单调递减，在单调递增，
，分f(x )min =f(0)=0∴f(x)≥0…(3)Ⅱ
，令，则
．
(ℎ(x)=e x
‒1‒2ax 当时，在上，，递增，，
1)2a ≤1[0,+∞)ℎ(x)ℎ(x)≥ℎ(0)即
，在为增函数，
∴f(x)[0,+∞)，时满足条件；分∴f(x)≥f(0)=0∴a ≤1
2…(5)当时，令，解得，2)2a >1x =ln2a 当上，
，单调递减，
x ∈[0,ln2a)ℎ(x)时，有，即，
∴x ∈(0,ln2a)ℎ(x)<ℎ(0)=0在区间为减函数，∴f(x)(0,ln2a)，不合题意分∴f(x)<f(0)=0…(7)综上得实数a 的取值范围为分(‒∞,1
2]…(8
)
Ⅲ由Ⅱ得，当
时，，
，即
，
()()a =1
2
x >0e x >1+x +
x 2
2e x
‒1>x +
x 22欲证不等式，只需证分(e x
‒1)ln(x +1)>x 2
ln(x +1)>2x
…(10
)
设
，则
，
F(x)=ln(x +1)‒
2x
x +2F'(x)
=
x 2
(x +1)(x +2)2时，恒成立，且，∵x >0F'(x)>0F(0)=0恒成立．
∴F(x)>0所以原不等式得证分 (12)
【解析】Ⅰ求出函数的导数，解关于x 的不等式，求出函数的单调区间，得到函数()的最小值，证出结论即可；
Ⅱ求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，根据
()
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想以及不等式的证明，是一道综合题．
22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为为参数，
{x =tcosα
y =1+tsinα(t
以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线C 的极坐
0≤α<π)..标方程为．
ρcos 2
θ=4sinθ求直线l 与曲线C 的平面直角坐标方程；
(1)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，若，求的值．(2)|AB|=8α【答案】解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为：(1)．
sinαx ‒cosαy +cosα=0曲线C 的极坐标方程为，即，
ρcos 2θ=4sinθρ2cos 2
θ=4ρsinθ曲线C 的标准方程：．
x 2
=4y 将代入曲线C 的标准方程：得：(2){x =tcosα
y =1+tsinαx 2=4y ，t 2cos 2α‒4tsinα‒4=0，
∴|AB|=|t 1‒t 2|=(4sinαcos 2α
)2‒4×
‒4cos 2α
=8
．
∴cosα=±22或．
∴α=π
4
3π4【解析】先利用消去参数t 得到曲线C 的直角坐标方程再将原极坐标方程(1).两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐ρcos 2θ=4sinθρ标方程；
将代入曲线C 的标准方程：得：，利(2){x =tcosα
y =1+tsinαx 2=4y t 2cos 2α‒4tsinα‒4=0用直线的参数方程中t 的几何意义结合根与系数的关系建立关于的方程即可求出求出α的值．
α本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题利用直
.角坐标与极坐标间的关系，即利用，，，进行代换即ρcosθ=x ρsinθ=y ρ2=x 2+y 2
得．
23.已知函数．
f(x)=|x +1|+|2x ‒1|解不等式；
(1)f(x)≤x +2若，对，，使成立，求(2)g(x)=|3x ‒2m|+|3x ‒1|∀x 1∈R ∃x 2∈R f(x 1)=g(x 2)实数m 的取值范围．
【答案】解：不等式等价于或或，(1){x ≤‒1
‒3x ≤x +2{
‒1<x ≤1
2‒x +2≤x +2{
x >1
2
3x ≤x +2解得：或或，x ∈⌀0≤x ≤1
21
2<x ≤1
故不等式的解集是；
{x|0≤x ≤1}
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由知，
(2)f(x)={
‒3x,x ≤‒1
‒x +2,‒1<x ≤1
3x,x >1
2当
时，
，
x =1
2
f(x )min =f(12)=3
2
，g(x)≥|(3x ‒2m)‒(3x ‒1)|=|2m ‒1|当且仅当时取“”，(3x ‒2m)(3x ‒1)≤0=故
，解得：
，
|2m ‒1|≤3
2
‒14≤m ≤5
4
故实数m 的范围是
[‒14,5
4].
【解析】通过讨论x 的范围，去掉绝对值号，求出各个区间上的x 的范围，取并集(1)即可；
求出的最小值，问题转化为，解出即可．
(2)f(x)|2m ‒1|≤3
本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题．。