北师大版初中数学七年级上册《4.5 多边形和圆的初步认识》同步练习卷

北师大新版七年级上学期
《4.5 多边形和圆的初步认识》同步练习卷
一．填空题（共3小题）
1．把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是．
2．如图，将一块实心三角板和实心半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（∠AOB）为120°，BC的长为2，则三角板和量角器重叠部分的面积为．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝4，则阴影部分图形的面积为．
二．解答题（共32小题）
4．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△
DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：；
（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：．5．附加题：
如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
6．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD＝CE．（1）求证：＝；
（2）若∠AOB＝120°，CD＝2，求半径OA的长．
7．如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．求图中阴影部分面积之和．
8．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB 组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
9．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．
10．用三种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC 交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．
11．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①；②；
（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？
请用语言描述你的发现．
12．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
13．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数．
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
15．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝25，AC＝7．
（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求P A的长；
（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求P A的长．
16．如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．
17．如图所示，在一个半径为R的均匀圆形薄金属片上挖去一个半径为的小圆孔，且圆孔跟圆板的边缘相切，求剩余部分的重心位置．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若的度数70°，且AD∥OC，求的度数．
19．如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，求：
（1）求AB的长．
（2）求阴影部分的面积．
20．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE＝BF＝CD．（提示：连接AC，BD，先证：AC＝CD＝BD）
21．已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求的值．
22．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．23．已知：A是半径为1的⊙O外一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分面积．
24．如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A＝∠C．求证：AB＝CD．
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，∠B＝45°，，AD⊥BC，垂足为D，以A为圆心，AD为半径画弧EF，求图中阴影部分的面积．
26．已知正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图）的面积为．
27．如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．
28．如图，已知△ABD与△BCD都是边长为3厘米的等边三角形，以A为圆心，AB长为半径画弧BD；以B为圆心，BC长为半径画弧CD，求阴影部分图形的周长．
29．如图，有甲、乙两个圆，它们的半径之比为3：8，每个圆又都被分割成黑、白两个扇形，其中甲圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为1：2，乙圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为1：3，那么图中两个黑色扇形的面积之和与两个白色扇形的面积之和的比是．（直接写出答案）
30．如图，已知一把展开的扇子的圆心角是150°，扇子的骨架AO的长是40厘米，扇面宽AB的长是30厘米，求扇面的面积．（结果保留π）
31．如图所示，AB，CD是⊙O的两条直径，弦BE＝BD，则与是否相等？为什么？
32．如图，矩形ABCD内接于⊙O，且AB＝，BC＝1，求图中阴影部分所表示的扇形OAD 的面积．
33．如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，求∠2的度数．
34．（1）四边形有几条对角线？
五边形有几条对角线？
六边形有几条对角线？
…
猜想并探索：
n边形有几条对角线？
（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？
35．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，，以A点为圆心，AC长为半径作，求∠B与围成的阴影部分的面积．
北师大新版七年级上学期《4.5 多边形和圆的初步认识》
2019年同步练习卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共3小题）
1．把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是1：：：2．
【分析】设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a．由题意得四个圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案．
【解答】解：设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a，
所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，
因而半径的比是1：：：2，周长的比等于相似比，即半径的比，是1：：：2．故答案为：1：：：2．
【点评】本题主要考查了圆相似形时，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．2．如图，将一块实心三角板和实心半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（∠AOB）为120°，BC的长为2，则三角板和量角器重叠部分的面积为+2．
【分析】根据题意和锐角三角函数求出OB、OC的长，根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°
∵∠OCB＝90°，BC＝2，
∴OC＝＝2，OB＝4，
∴重叠部分的面积＝+×2×2
＝+2，
故答案为：+2．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝4，则阴影部分图形的
面积为．
【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝2，然后由圆周角定理知∠COE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形OCB﹣S
+S△BED．
△COE
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝2，
又∵∠CDB＝30°，
∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，
∴OE＝CE•cot60°＝2×＝2，OC＝2OE＝4，
∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝﹣OE×EC+BE•ED＝﹣2+2
＝．
故答案为：．
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
二．解答题（共32小题）
4．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△
DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S
；
△ABC
（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．．
【分析】（2）仿照（1）的方法，只需把换为；
（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；
（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；
（5）利用（4），得到更普遍的规律．
【解答】解：（2）∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA．
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC
（3）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；
（4）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD．
又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA
∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP
＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA
＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）
＝S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC
问题解决：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．
【点评】注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解．
5．附加题：
如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
【分析】可以再做五边形的一条中对线，根据它们分割成的两部分的面积相等，都是五边形的面积的一半，导出两个等底的三角形的面积相等，从而得到它们的高相等，则得到五边形的每条边都有一条对角线和它平行．
【解答】证明：取A1A5中点B3，连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5，
∵A3B1＝B1A4，
∴S△A1A3B1＝S△A1B1A4，
又∵四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4A5的面积相等，
∴S△A1A2A3＝S△A1A4A5，
同理S△A1A2A3＝S△A3A4A5，
∴S△A1A4A5＝S△A3A4A5，
∴△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等，
∴A1A3∥A4A5，
同理可证A1A2∥A3A5，A2A3∥A1A4，A3A4∥A2A5，A5A1∥A2A4．
【点评】此题要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等，从而证明两条直线平行．6．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD＝CE．（1）求证：＝；
（2）若∠AOB＝120°，CD＝2，求半径OA的长．
【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD＝∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA＝OB，
∴OD＝OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD＝∠COE，
∴＝；
（2）连接AC，如图2所示：
∵∠AOB＝120°，
∴∠COD＝∠COE＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC＝＝＝4，
∴OA＝4．
【点评】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质、三角函数；证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
7．如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．求图中阴影部分面积之和．
【分析】本题易得出△ABO与△ABE的面积相等，△OCD与△CDF的面积相等（这两组三
角形都是同底等高），因此阴影部分的面积为扇形OAB的面积和扇形OCD的面积和．直接求两个扇形的面积由难度，因此可找出它们之间的关系再进行求解．过O作圆的直径MN，使得MN⊥EF与O，交AB于G；那么在Rt△BOG和Rt△COH中，易证得∠GBO ＝∠COH（通过两角的正弦值求证）．因此可得出∠BOF＝∠CON，即扇形OBF的面积与扇形OCN的面积相等，也就得出了扇形OBF与扇形OAE的面积和正好等于扇形OCD 的面积；因此阴影部分的面积和正好是半个圆的面积，由此可得出所求的解．
【解答】解：如图，作直径MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；连接OA、OB、OC、OD；
在Rt△OBG中，BG＝3cm，OB＝5cm，因此OG＝4cm；
同理：在Rt△OCH中，CH＝4cm，OC＝5cm，因此OH＝3cm；
sin∠DOF＝＝，
sin∠BOF＝＝，
sin∠COE＝＝，
sin∠AOE＝＝，
即∠DOF＝∠AOM＝∠COE＝∠BOM，∠CON＝∠DON＝∠AOE＝∠BOF，
因此S扇形OAE＝S扇形OBF＝S扇形CON＝S扇形ODN
∴S阴影＝S△ABE+S弓形AMB+S△CDF+S弓形CND
＝S△OAB+S弓形AMB+S△OCD+S弓形CND
＝S扇形OAB+S扇形OCN+S扇形ODN
＝S扇形OAB+S扇形OAE+S扇形OBF
＝S⊙O
＝12.5πcm2．
故图中阴影部分面积之和为12.5πcm2．
【点评】本题考查扇形面积的计算，学生的观察能力及计算能力．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关系．
8．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．
（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；
（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB 组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；
（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．
【分析】（1）连接AD，BD，易证△ADB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE＝BE．
（2）根据圆内接四边形的性质，先∠CDA＝∠CDF，再证△AFD为等腰三角形，进一步证得PB＝PF，从而证得结论．
（3）根据∠ADE＝∠FDE，从而证明△DAE≌△DFE，得出AE＝EF，然后判断出PB＝PF，进而求得AE＝PE﹣PB．
【解答】证明：（1）如图1，连接AD，BD，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠CDA＝∠CDB，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠CDB＝90°，
∴∠A＝∠B，
∴△ADB为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴AE＝BE；
（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，∵ADBP是圆内接四边形，
∴∠PBF＝∠P AD，
∵C是劣弧AB的中点，
∴∠CDA＝∠CDF，
∵CD⊥P A，
∴△AFD为等腰三角形，
∴∠F＝∠A，AE＝EF，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF，
∴AE＝PE+PB
（3）AE＝PE﹣PB．
连接AD，BD，AB，DB、AP相交于点F，
∵弧AC＝弧BC，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵CD⊥AP，
∴∠DEA＝∠DEF，∠ADE＝∠FDE，
∵DE＝DE，
∴△DAE≌△DFE，
∴AD＝DF，AE＝EF，
∴∠DAF＝∠DF A，
∴∠DF A＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，
∴∠PFB＝∠PBF，
∴PF＝PB，
∴AE＝PE﹣PB．
【点评】此题主要考查了垂径定理及其推论，垂径定理﹣在5个条件中，1．平分弦所对的一条弧；2．平分弦所对的另一条弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）．只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个．
9．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．
【分析】连接OD，根据等边对等角可得∠ODC＝∠C＝40°，再根据AB＝2DE，OD＝AB 可得OD＝DE，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数，进而可得∠AOC的度数．【解答】解：连接OD，
∵OC＝OD，∠C＝40°，
∴∠ODC＝∠C＝40°，
∵AB＝2DE，OD＝AB，
∴OD＝DE，
∵∠ODC是△DOE的外角，
∴∠E＝∠EOD＝∠ODC＝20°，
∵∠AOC是△COE的外角，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．
【点评】此题主要考查了圆的认识，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握同圆中的半径是相等的．
10．用三种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC 交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．
【分析】求证：弧AD的度数是∠C的2倍，就是求证∠AOD＝2∠C即可．
【解答】证明：
证法一：延长AO交圆与点M，连接DM，
∵AM是圆的直径，
∵∠ADM＝90°则△OAC与△ADM都是直角三角形，且∠A是公共角，
∴∠M＝∠C，而∠AOD＝2∠M．
∴∠AOD＝2∠C．
∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
∴弧AD的度数是∠C的2倍．
证法二：连接OD，
在直角△AOC中，∠C＝90°﹣∠A，
在△OAD中，∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO．
∴∠AOD＝180﹣2∠A．
∴∠AOD＝2∠C．
∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
∴弧AD的度数是∠C的2倍．
证法三：延长AO交圆于点N，连接CN，交圆于点M，连接OM、OD，
∵AN⊥OC，OA＝ON，
∴AC＝CN．
∴∠A＝∠N∠ACN＝2∠ACO．
∴∠ACN＝180﹣∠A﹣∠N＝180﹣2∠A．
∵△OAD中OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝∠N．
∴∠AOD＝∠ACN＝2∠ACO．
又∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，
弧AD的度数是∠ACO的2倍．
【点评】本题把弧的度数转化为角的度数，是解题的关键．
11．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
②
n
（n
﹣
3）
（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①n﹣3；②n（n﹣3）；
（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？
请用语言描述你的发现．
【分析】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；
（2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；
（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话，据此进行判断．
【解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为n（n﹣3）；
故答案为：n﹣3，n（n﹣3）；
（2）∵3×6＝18，
∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18﹣3）＝135（个）；
（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n（n﹣3）；
数学社团有18名同学，当n＝18时，×18×（18﹣3）＝135．
【点评】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n ﹣3）（n≥3，且n为整数）．
12．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求多边形的边数，再根据多边形的周长的定义可求这个多边形的各边长．
【解答】解：依题意有n﹣3＝4，
解得n＝7，
设最短边为x，则
7x+1+2+3+4+5+6＝56，
解得x＝5．
故这个多边形的各边长是5，6，7，8，9，10，11．
【点评】考查了多边形的对角线，熟悉从多边形的一个顶点出发的对角线条数公式是解题关键．
13．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．
（1）写出表示第四条边长的式子；
（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？
【分析】（1）根据题意分别运用代数式表示其它各边，再根据周长进行计算；
（2）注意根据（1）中的式子代入进行计算分析．
【解答】解：（1）根据题意得：第二条边是3a﹣5，第三条边是a+3a﹣5＝4a﹣5，
则第四条边是46﹣a﹣（3a﹣5）﹣（4a﹣5）＝56﹣8a．
答：第四条边长的式子是56﹣8a．
（2）当a＝7cm时不是四边形，
因为此时第四边56﹣8a＝0，只剩下三条边，
三边长为：a＝7cm，3a﹣5＝16cm，4a﹣5＝23，
由于7+16＝23，所以，图形是线段．
答：当a＝7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．
【点评】首先根据第一条边长表示出第二条边，然后表示出第三条边，最后根据周长表示出第四条边．其中要注意合并同类项法则．
（2）中，只需根据（1）中所求的代数式，把字母的值代入计算，然后进行分析图形的形状．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数．
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
【分析】（1）连接CD，如图，先利用互余计算出∠B＝90°﹣∠A＝65°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BCD的度数，从而得到的度数；
（2）作CH⊥BD，如图，根据垂径定理得到BH＝DH，再利用勾股定理计算出AB＝15，接着利用面积法计算出CH＝，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．【解答】解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∴∠BCD＝180°﹣2∠B＝50°，
∴的度数为50°；
（2）作CH⊥BD，如图，则BH＝DH，
在Rt△ACB中，AB＝＝15，
∵CH•AB＝BC•AC，
∴CH＝＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝，
∴BD＝2BH＝．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
15．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝25，AC＝7．
（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求P A的长；
（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求P A的长．
【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB＝90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用特殊角的三角函数即可求得；
（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得P A．
【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，
∵AB是⊙O的直径且P是的中点，
∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°，
又∵在等腰三角形△APB中有AB＝25，
∴P A＝＝；
（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，
∵P点为弧BC的中点，
∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，
又因为AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OMB，
∴OP∥AC，
∴∠CAB＝∠POB，
又因为∠ACB＝∠ONP＝90°，
∴△ACB∽△ONP
∴＝，
又∵AB＝25，AC＝7，OP＝，
代入得ON＝，
∴AN＝OA+ON＝16，
∴在Rt△OPN中，有NP2＝OP2﹣ON2＝144
在Rt△ANP中有P A＝＝20
∴P A＝20．
【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．
16．如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．
【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积，然后计算扇形面积就可．
【解答】解：连接OC、OD、CD．
∵△COD和△CDA等底等高，
∴S△COD＝S△ACD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积是解题关键．
17．如图所示，在一个半径为R的均匀圆形薄金属片上挖去一个半径为的小圆孔，且圆孔跟圆板的边缘相切，求剩余部分的重心位置．
【分析】采用挖填转换法：设金属片厚为h，密度为ρ．
（1）、假设剩余部分的重心还在O点不变，则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来
等大的小圆孔，则剩下部分的重力为G′＝πR2hρg﹣2π•（）2hρg＝πR2hρg
（2）、由于左边挖去了一个半径为的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为的小圆孔，则它的重力为G2＝πR2hρg，重心在O2上，OO2＝，设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将1和2综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆，由杠杆的平衡条件知，G2•O2O＝G•OO′，求得OO′的值即可．【解答】解：（采用挖填转换法）
①假设剩余部分的重心还在O点不变，则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来等大
的小圆孔．
则剩下部分的重力为G′＝πR2hρg﹣2π•（）2hρg＝πR2hρg
如答图甲（设金属片厚为h，密度为p）．
②由于左边挖去了一个半径为的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为
的小圆孔，
则它的重力为G2＝π•（）2hρg＝πR2hρg，重心在O2上，且OO2＝，如图乙，
设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．
如图丙，由杠杆的平衡条件得G2•O2O′＝G′•OO′，即πR2hρg•（﹣OO′）＝πR2hρg •OO′，解得OO′＝．
【点评】本题利用了采用挖填转换法，涉及到物理中的密度知识，杠杆平衡条件的知识，是一道跨学科的题．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若的度数70°，且AD∥OC，求的度数．
【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠AOC＝70°，则利用平行线的性质得∠A＝∠AOC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOD＝40°，从而得到的度数．
【解答】解：∵的度数70°，
∴∠AOC＝70°，
∵AD∥OC，
∴∠A＝∠AOC＝70°，
∵OA＝OC，
∴∠D＝∠A＝70°，
∴∠AOD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴的度数为40°．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
19．如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，求：
（1）求AB的长．
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）要求AB的长，只要作OC⊥AB于点C，然后根据勾股定理即可解答本题；（2）由图可知，阴影部分的面积是扇形的面积与三角形的面积之差．
【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图所示，
∵在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝60°，∠OAC＝30°，
∴OC＝2cm，
∴AC＝2cm，
∴AB＝4cm；
（2）∵OC＝2cm，AB＝4cm，∠AOB＝120°，OA＝4cm，
∴阴影部分的面积是：＝（）cm2．
【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE＝BF＝CD．（提示：连接AC，BD，先证：AC＝CD＝BD）
【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC＝∠DOB，又OA＝OB＝OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO＝∠OCD，易知∠AEC＝∠OCD，因此∠ACO＝∠AEC，即AE＝BF＝CD．
【解答】解：连接AC、BD，
∵C，D是的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD，
在△ACO与△DCO中，
∵
∴△ACO≌△DCO（SAS），
∴∠ACO＝∠OCD．
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝＝75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC，
∴AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD，
∴AE＝BF＝CD．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
21．已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求的值．
【分析】n边形的对角线有n•（n﹣3）条，根据正n边形共有n条对角线，列方程即可求得多边形的边数为5．再作正五边形ABCDE，连接AD，根据正五边形的特点求出△ABC ≌△AED，△ACD为等腰三角形，作∠ACD的平分线，交AD于F；根据△ACD与△CDF 各角的度数可求出△FCD∽△CAD，根据其对应边成比例即可解答．
【解答】解：设这个多边形的边数是n．。