北师版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第2章 平面向量及其应用 6.1 第2课时 正弦定理

2.已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解
或无解.在△ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:
用“边a去堵角A的敞口”来理解更为形象
类型
A为钝角 A为直角
A为锐角
a>b
一解
一解
一解
a=b
无解
无解
一解
a<b
无解
无解
a>bsin A
两解
a=bsin A
一解
a<bsin A
a
A
=
b
B
=
c
.
C
名师点睛
对正弦定理的理解
(1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正弦值的连等式.
(3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与其对角的正弦值之间的关
系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化.
②a=bsin A,一个解;
③bsin A<a<b,两个解;
④a≥b,一个解.
(2)当A为直角或钝角时,
①a>b,一个解;
②a≤b,无解.
求解该类问题时,一般先判断角为锐角、钝角还是直角,然后借助边之间的
关系进行判断.
变式训练3在△ABC中,B=45°,a=1,若△ABC仅有一解,则b∈( D )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
解析 因为sin2A+2sin2B=sin2C,
所以由正弦定理得a2+2b2=c2,
则a2+b2-c2=-b2<0,
故cos C<0,且C∈(0,π),
所以C为钝角,△ABC为钝角三角形.故选C.
探究点四
不解三角形判断三角形解的个数
【例4】 满足条件a=4,b=3 2,A=45°的三角形有(
由正弦值可求得两个角,要分类讨论.
探究点三
判断三角形的形状
【例3】 在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的
形状.
解

根据正弦定理,可设
sin
=

sin
=

=2R,
sin
其中 R 为△ABC 外接圆的半径.
从而得 sin

A=2,sin
(1)a=5,b=4,A=120°;
(2)a=7,b=14,A=150°;
(3)a=9,b=10,A=60°.
解(1)因为A=120°为钝角,a=5>b=4,
所以三角形有一解.
(2)因为A=150°为钝角,a=7<b=14,
所以三角形无解.
(3)因为a=60°为锐角,a=9,b=10,bsin A=10×
=
=
sin120°
sin120°
sin120°
2× 3- 2× 1)
2 2 2 2 =
3
2
=
(3+ 3)sin45°
=
sin120°
2,
(3+ 3)×
3
2
2
2 =
6 + 2.
2.在△ABC中,已知a>b,那么A与B有何关系?sin A与sin B呢?
提示 根据大边对大角可知A>B,根据正弦定理可知sin A>sin B.
2R=
=
=4,所以
sin135°
2
R=2,
2
所以△ABC 的外接圆的面积 S=πR2=4π.故选 D.
1 2 3 4 5
D)
4.在△ABC 中,AB=c,BC=a,AC=b,若 b=1,c=
解析

由正弦定理sin
锐角,所以
=
π
π
B= ,A= ,故
形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三
角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下:
(1)化边为角,走三角变形之路,常用的转化方式有:①a=2Rsin A,b=2Rsin B,
c=2Rsin

C(R为△ABC外接圆的半径);②
=
sin
,
sin
=
sin
=
B=45°或 135°.当 B=45°
2sin105°
=
sin30°
sin
C= sin
故 B=45°,C=105°,c= 3+1 或 B=135°,C=15°,c= 3-1.
(2)由正弦定理,得 sin
sin
B=
=
2sin45° 1
= 2.
2
因为 b<a,所以 B<A,所以 B=30°(B=150°舍去).
=2R.其中,R
A+ B+ C
为△ABC 外接圆的半径.
=
b
B
=
c
C
=
过关自诊
1.正弦定理主要解决哪几类三角形问题?
提示 (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角.
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的
边和角).
2.在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求边b的长及△ABC外接圆的半径R.
,
sin
=
sin
.
sin
(2)化角为边,走代数变形之路,常用的转化方式有:
①sin

A=2 , sin
sin
,
sin
=
sin
,
sin
=
=

.


, sin
2
=

sin
(为 △ 外接圆的半径); ② sin
2
=
变式训练2在△ABC中,已知sin2A+2sin2B=sin2C,则该三角形的形状为( C )
=
所以 sin B= 3>1,所以此三角形无解.
1 2 3 4 5
2
,
sin30°
3.在△ABC中,AC=2 2 ,∠ABC=135°,则△ABC的外接圆的面积为(
A.12π B.8π C.16π
D.4π
解析 设△ABC 的外接圆的半径为 R,

则由正弦定理可得sin∠=2R,
即
2 2
2 2

4

由正弦定理,得sin45°= sin30°= sin105°,
解得
4sin45°
a=
=4
sin30°
4sin105°
2,c=
=2(
sin30°
6 + 2).
2+ 6
4
规律方法
已知两角及一边解三角形的方法
(1)若所给边是已知两角的对边,可先由正弦定理求另一边,再由三角形的
内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.
a
b
c
变式 2:sin A= ,sin B= ,sin C= .
2R
2R
2R
变式3:asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A.
变式4:a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.
名师点睛
a
由正弦定理导出的结论:由等比性质和圆的性质可知, A
a+b+c
以三角形有两解.
3
=5
2
3 ,所以b>a>bsin A,所
重难探究·能力素养全提升
探究点一
已知两角和一边解三角形
【例 1】 在△ABC 中,已知 B=30°,C=105°,b=4,解三角形. sin 105°=
解 因为B=30°,C=105°,
所以A=180°-(B+C)=180°-(30°+105°)=45°.
(1)a= 2,b=2,A=30°;
(2)a=2,b= 2,A=45°.
sin 105°=
2+ 6
,sin
4
15°=
6- 2
4
解 (1)由正弦定理,得 sin
sin
B=
=
2sin30°
2
= 2 ,因此
2
时,C=180°-30°-45°=105°,由正弦定理,得
sin
c= sin
B=135°时,C=180°-30°-135°=15°,由正弦定理,得
A.
2
2
C.
2
2
B.( 2,+∞)
∪( 2,+∞)
D.
2
2
∪[1,+∞)
解析 由B=45°,a=1,三角形有一解,
则b=asin B=sin 45°=
2
2 ,或b≥a=1,故选D.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)正弦定理;
(2)正弦定理的变形推论及边角转化;
(3)利用正弦定理解三角形.
2.方法归纳:化归转化、数形结合、分类讨论.
知识点二 正弦定理的拓展
1.正弦定理与三角形外接圆的关系
以Rt△ABC斜边AB为直径作外接圆,设这个外接圆的半径为R,则
a
A
=
b
B
=
c
=2R.
C
利用此等式可进行边角转化
2.正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
变式1:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
3.常见误区:(1)已知两边及一边所对的角解三角形时易忽略分类讨论.(2)易
忽视三角形中角的隐含条件限制.
成果验收·课堂达标检测
1.在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=3 2,则 AC=( B )
A.4 3
B.2 3
C. 3
解析 在△ABC 中,∠A=60°,∠B=45°,BC=3 2,
于是 C=180°-45°-30°=105°.
由正弦定理,得
sin
c= sin
=
2sin105°
=
sin45°
3+1.
=
3+1;当
2sin15°
=
sin30°
3-1.
变式探究本例中,将条件改为“a=5,b=2,B=120°”,解三角形.
解 由正弦定理,得 sin
形无解.
sin
A=
=
5sin120° 5 3
= 4 >1,则角
2
A 不存在,所以该三角
规律方法
已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的
法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求得唯一的锐角.
(3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一边所对的角为锐角,这时
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.掌握正弦定理及其变形.
课程标准
2.了解正弦定理的证明方法.
3.能运用正弦定理解决相关问题,并能综合运用正弦定理和余
弦定理解决问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点一 正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
A.1个
B.2个
C.无数个
B)
D.0个
解析 因为 bsin A=3 2 ×
2
=3<a<b,所以有
2
2 个解,即三角形有 2 个.
规律方法
已知两边及其中一边的对角,用正弦定理解三角形,可能有两解、
一解或无解.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
(1)当A为锐角时,
①a<bsin A,无解;
过关自诊
1.[人教A版教材例题]在△ABC中,已知A=15°,B=45°,c=3+ 3 ,解这个三
角形.
解 由三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(15°+45°)=120°.
由正弦定理,得
sin
a= sin
=
=
(3+ 3)(
sin
b= sin
(3+ 3)sin15° (3+ 3)sin(45°-30°) (3+ 3)(sin45°cos30°-cos45°sin30°)

由正弦定理得sin
解得 AC=2 3.
故选 B.
1 2 3 4 5
=

3 2

,即sin60°= sin45°,
sin
D.
3
2
2.在△ABC中,b=4 3 ,c=2,C=30°,那么此三角形( C )
A.有一解
B.有两解
C.无解
解析
D.解的个数不确定
4 3
由正弦定理和已知条件得sin
(2)若所给边不是已知两角的对边,则先由三角形内角和定理求第三个角,
再由正弦定理求另外两边.
变式训练 1[人教 A 版教材习题]在△ABC 中,已知 cos
解
4
π
A= ,B= ,b=
5
3
3,求 a,c.
3
3 3
4
3
sin
6
5
5
由 cos A= ,得 sin A= .由正弦定理,得 a=
=
=
=
.
解已知 B=30°,C=45°,c=1.

由正弦定理,得
sin
所以
sin
b= sin

2R=sin
所以
=
=
=

=2R,
sin
1×sin30°
2
=
,
sin45°
2
1
=
sin45°
2
b= ,△ABC
2
2,得
2
R= 2 .
知识点三 三角形解的个数
1.已知三角形的两角及一边,根据正弦定理,有且只有一解.
π
5
5
sin
5
3
sin
3
2
sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin
3×
3
1
4
3
B= × + ×
5
2
5
2
6× 3+4 3
sin
3+4 3
10
5
由正弦定理,得 c=
=
=
.
3
sin
5
5
=
3+4 3
,
10
探究点二
已知两边和其中一边的对角解三角形
【例2】 在△ABC中,已知下列条件,解三角形:

B=2,sin

C=2.
因为 bsin B=csin C,sin2A=sin2B+sin2C,
所以


2
b· =c· ,
2
2 2
=
2
2
+
2
,
2
所以 b2=c2,a2=b2+c2,所以 b=c,A=90°.所以△ABC 为等腰直角三角形.