北大绿卡九年级数学下册 专题一 实验操作型问题测试卷 (新版)新人教版

实验操作型问题
（时间：30分钟，满分50分）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题（每题3分）
1．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（）
A．115° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【解析】
试题分析：根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB'=50°，进而解答即可．∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，∵∠2=40°，∴∠CFB'=50°，∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，即∠1+∠1﹣50°=180°，解得：∠1=115°，
2．如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB 于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BP D∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．∵△ABC是正三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠BPD+∠APD=∠C+∠CAP，∠APD=60°，
∴∠BPD=∠CAP，∴△BPD∽△CAP，∴BP：AC=BD：PC，
∵正△ABC的边长为4，BP=x，BD=y，∴x：4=y：（4﹣x），∴y=-+x．
3．如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处；将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处；再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处．这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是（）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】D
【解析】
试题分析：（1）图1，根据折叠得：DE是线段AC的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：DE是△A BC 的中位线，得出DE的长，即a的长；（2）图2，同理可得：MN是△ABC的中位线，得出MN的长，即b的长；（3）图3，根据折叠得：GH是线段AB的垂直平分线，得出AG的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH，利用比例式可求GH的长，即c的长．
第一次折叠如图1，折痕为DE，由折叠得：AE=EC=AC=×4=2，DE⊥AC ∵∠ACB=90°∴DE∥BC
∴a=DE=BC=×3=
第二次折叠如图2，折痕为MN，由折叠得：BN=NC=BC=×3=，MN⊥BC ∵∠ACB=90°∴MN∥AC
∴b=MN=AC=×4=2
第三次折叠如图3，折痕为GH，由勾股定理得：AB==5
由折叠得：AG=BG=AB=×5=，GH⊥AB ∴∠AGH=90°，∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB
∴△ACB∽△AGH ∴=∴=∴GH=，即c=∵2＞＞∴b＞c＞a
4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）
A．120° B．135° C．150° D．165°
【答案】C
【解析】
试题分析：直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°，故的度数是150°．
5．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA在x轴上，OB在y轴上，点A，B的坐标分别为（，0），（0，1），把Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，则点O′的坐标为．
【答案】(，)
【解析】
试题分析：作O′C⊥y轴于点C，首先根据点A，B的坐标分别为（，0），（0，1）得到∠BAO=30°，从而得出∠OBA=60°，然后根据Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，得到∠CBO′=60°，最后设BC=x，则OC′=x，利用勾股定理求得x的值即可求解．如图，作O′C⊥y轴于点C，
∵点A，B的坐标分别为（，0），（0，1），∴OB=1，OA=，∴tan∠BAO==，
∴∠BAO=30°，∴∠OBA=60°，∵Rt△AOB沿着AB对折得到Rt△AO′B，∴∠CBO′=60°，
∴设BC=x，则OC′=x，∴x2+（x）2=1，解得：x=（负值舍去），
∴OC=OB+BC=1+=，∴点O′的坐标为（，）．
6．如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针
旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
试题分析：先根据S△ABO=4，tan∠BAO=2求出AO、BO的长度，再根据点C为斜边A′B的中点，求出点C的坐标，点C的横纵坐标之积即为k值．设点C坐标为（x，y），作CD⊥BO′交边BO′于点D，
∵tan∠BAO=2，∴=2，∵S△ABO=•AO•BO=4，∴AO=2，BO=4，
∵△ABO≌△A′O′B，∴AO=A′0′=2，BO=BO′=4，∵点C为斜边A′B的中点，CD⊥BO′，
∴CD=A′0′=1，BD=BO′=2，∴x=BO﹣CD=4﹣1=3，y=BD=2，∴k=x•y=3•2=6．
二、填空题（每题3分）
7．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= ．
【答案】55°．
【解析】
试题分析：已知四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠BAD=∠C，再由折叠的性质得∠D1AE=∠C，所以∠D1AE=∠BAD，即可得∠D1AD=∠BAE=55°；
8．如图所示，1条直线将平面分成2个部分，2条直线最多可将平面分成4个部分，3条直线最多可将平面分成7个部分，4条直线最多可将平面分成11个部分．现有n条直线最多可将平面分成56个部分，则n的值为．
【答案】10．
【解析】
试题分析：n条直线最多可将平面分成S=1+1+2+3…+n=n（n+1）+1，n条直线最多可将平面分成56个部分，由此可得n（n+1）+1=56，解得x1=﹣11（不合题意舍去），x2=10．所以n的值为10．
9．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P．（如图1）
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图2
（1）在直线l上任取两点A，B；
（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；
（3）作直线PQ．
所以直线PQ就是所求的垂线．
请回答：该作图的依据是．
【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）．【解析】
试题分析：只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．
试题解析：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=PQ，PB=PB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．
10．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．
（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF 的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．
【答案】（1），（2），（3），（5）．
【解析】
试题分析：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF=OE；故正确；
（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，
∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；
（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正确；
（4）过点O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH=BC=，
设AE=x，则BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF=BE•BF+CF•OH=x（1﹣x）+（1﹣x）×=﹣（x﹣）2+，∵a=﹣＜0，
∴当x=时，S△BEF+S△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；故错误；
（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，
∴△OEG∽△OBE，
∴OE：OB=OG：OE，
∴OG•OB=OE2，
∵OB=BD，OE=EF，
∴OG•BD=EF2，
∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，
∴EF2=AE2+CF2，
∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．
三、计算题（每题10分）
11．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（﹣2，1）、C（1，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．
（1）△A1B1C1是△ABC绕点逆时针旋转度得到的，B1的坐标是；
（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
【答案】（1）C 90 （1，-2）；（2） .
【解析】
试题分析：（1）由图可知旋转中心是点C，∠BCB1=90°，∴旋转角是90度.通过数格子发现B1的坐标；（2）线段AC扫过的图形是以C为圆心，AC为半径，圆心角为90的扇形，根据扇形面积计算公式可求得面积. 试题解析：（1）△A1B1C1是△ABC绕点C逆时针旋转90度得到的，B1的坐标是：（1，﹣2）；（2）线段AC旋
转过程中所扫过的面积为以点C为圆心，AC为半径的扇形的面积．∵，∴面积为：，即线段AC旋转过程中所扫过的面积为.
12. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；
（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．
【答案】（1）详见解析；（2）将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．
【解析】
试题分析：（1）连接BD，易证△ABD为等边三角形，由等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．
试题解析：（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵DE⊥AB，
∴AE=EB，
∵AB∥DC，
∴=，
同理， =，
∴MN=AC；
（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，
∴∠EDF=60°，
当∠EDF顺时针旋转时，
由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，
DE=D F=，∠DEG=∠DFP=90°，
在△DEG和△DFP中，
，
∴△DEG≌△DFP，
∴DG=DP，
∴△DGP为等边三角形，
∴△DGP的面积=DG2=3，
解得，DG=2，
则cos∠EDG==，
∴∠EDG=60°，
∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3，
同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，
综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．。