山西省高三数学第三次四校联考试题 文

2011届高三年级第三次四校联考数学（文）试题
本试卷分必考题和选考题两部分，第1题～第21题为必考题，每个试题学生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．共150分,考试时间为120分钟． 参考公式：
锥体体积公式V=1
3
sh 其中s 为底面面积，h 为高
柱体体积公式V=sh 其中s 为底面面积，h 为高
球的表面积，体积公式 s=4πR 2
V=43
πR 3 其中R 为球的半径
随机变量2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
第 I 卷（选择题 共60分）
一．选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知i 为虚数单位，复数121i
z i +=
-，则复数z 的虚部是 （ ） A ．
i 2
3
B ．23
C ．i 2
1
-
D ．2
1
-
2.已知集合{}{}
=>=∈-==B A x x B R x x y y A 则,0log ,,122
（ ）
A ．{}1>x x
B ．{}0>x x
C ．{}1-<x x
D ．{}11>-<x x x 或
3.下列命题
①命题“若1≠x ，则0232
≠+-x x ”的逆否命题是“若1,0232==+-x x x 则”. ②命题 .01,:,01,:22=++∈∃≠++∈∀⌝x x R x P x x R x P 则 ③若q p ∨为真命题，则q p ,均为真命题.
④“2>x ”是“0232
>+-x x ”的充分不必要条件。

其中真命题的个数有（ ） A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
4. 若向量a ，b 满足|a |=|b |=1且a ·b +b ·b =3
2
，则向量a ,b 的夹角为 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
5.
函数2()sin cos f x x x x =图象的一个对称中心是（ ）
A
．2(,3π B
．(,6π5 C
．2(3π- D ．)0,3
(
π
6． 两个正数1,9的等差中项是a ，等比中项是b ，则曲线12
2=+b
y a x 的离心率为（ ） A ．
10
5
B ．2105
C ．4
5
D ．
105与2105
7.读下面的程序：
INPUT N I=1 S=1 WHILE I<=N S =S*I I = I+1 WEND PRINT S END
上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为（ ） A ．6
B ．720
C ．120
D ．1
8．若实数y x ,满足不等式⎪⎩
⎪
⎨⎧
≥--≤-≥0
2240y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是（ ）
A.[-1,
31] B.[-21,3
1
] C.[-
2
1
,2) D.[-
2
1
, +∞)
9.设}{n a 为等差数列，它的前n 项和为n S 若0,0109<>S S ，则9
9
3322122,2,2a a a a 中最
大的是（ ）
A.12a
B. 5
52a C. 66
2a
D. 9
92a
10．已知a 是函数x x f x 2
1log 2)(-=的零点，若)(,000x f a x 则<<的值满足（ ）
A ．0()0f x =
B ．0()0f x >
C ．0()0f x <
D ．0()f x 的符号不能确定
11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视
图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直 角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 （ ） A ．π12 B ． π34
C ．π3
D ．π312
12. 已知双曲线22
13
y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则
12PA PF ⋅最小值为( ) A.2- B.81
16
-
C.1
D.0
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在边长为1的正方形ABCD 内随机选一点M ，则点M 到点D 的距离小于正方形的边长
的概率是 . 14.
,02)2()2()(时，当为偶函数，且已知≤≤--=+x x f x f x f ,2)(x x f =
*N n ∈若, ==2011),(a n f a n 则 .
15.已知函数⎩⎨⎧<+≥=)
2)(2()2(2)(x x f x x f x ，则)5(log 4f 等于
.
正视图
侧视图 俯视图
16.如图,在三棱锥P ABC -中, PA 、PB 、PC 两两垂直,且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点,定义()(,,)f M m n p =,其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA -的体积.若1
()(,,)2f M x y =,且
18a
x y
+≥恒成立,则正实数a 的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或步骤） 17. (本小题满分12分)
如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C,测得75CAB ∠=，45CBA ∠=,且100AB =米. （1）求sin 75； （2）求该河段的宽度.
18. (本小题满分12分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为3
5
． （1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，321,,A A A 还喜欢打羽毛球，123B B B ，，还喜
第16题
M
C
B
A
P
欢打乒乓球，12C C ，还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求1B 和1C 不全被选中的概率．
下面的临界值表供参考：
19.(本小题满分12分)
如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，
EF AB //，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互
相垂直，且2=AB ，1==EF AD .
（1）求证：⊥AF 平面CBF ；
（2）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （3）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥
体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为
2
2
，坐标原点O 到过右
焦点F 且斜率为1 （1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上
是否存在点(,0)M m ,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分）
A B
C
D
E
O
设函数)0(ln )(2>-=x bx x a x f （1）若函数)(x f 在1=x 处与直线2
1
-=y 相切， ①求实数a ，b 的值；
②求函数],1[)(e e
x f 在上的最大值；
（2）当0=b 时，若不等式x m x f +≥)(对所有的(]
2
,1],2
3,0[e x a ∈∈都成立，求
实数m 的取值范围.
选做题（本小题满分10分。

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时用2B
铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

） 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，
CA CB =，直线OB 交⊙O 于点E D ，，连接EC CD ，．
（1）试判断直线AB 与⊙O 的位置关系，并加以证明； （2）若1
tan 2
E =
，⊙0的半径为3，求OA 的长。

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位
长度．已知过点P （1，1）的直线l 的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23
1⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+= （1）写出直线l 的极坐标方程；
（2）设l 与圆2ρ=相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。

24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.1)(a x x x f -+-= （1）若1a =-,解不等式()3f x ≥；ks5u （2）如果(),2x R f x ∀∈≥，求a 的取值范围.
2011届高三年级第三次四校联考数学（文）答案页二、填空题。

共4个小题，每空5分，共20分。

13．14．
15．16．
三、解答题。

共6个小题，共70分。

17．(12分) 解：
18．(12分) 解：（1）
C
21．（12分）解：
A
B
C
D
E
O
选做（10分）：题号 解：
D
B
A
C
2011届四校联考数学试题（文）参考答案
一．选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.
4
π 14.21
15.54 16.1
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或步骤）
17. (本小题满分12分)
解：（1）sin 75sin(3045)=+sin 30cos 45cos30sin 45=+
12=
=
分 （2）∵75CAB ∠=，45CBA ∠=
∴18060ACB CAB CBA ∠=-∠-∠=, 由正弦定理得：
sin sin AB BC
ACB CAB
=∠∠
∴sin 75
sin 60
AB BC =
------------6分
如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D,则BD 的长就是该河段的宽度。

在Rt BDC ∆中，∵45BCD CBA ∠=∠=,sin ,BD
BCD BC
∠=
------------8分
∴sin 45BD BC =
＝
100sin 75
sin 45sin 60
AB ⋅=
=
11分
12分
18. (本小题满分12分)
解：(1) 列联表补充如下：--------------------------------3分
（2）∵2
2
50(2015105)8.3337.87930202525
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯---------------------5分 ∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.--------------------------------------6分 （3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一
切可能的结果组成的基本事件如下：
111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
122131()()
A B C A B C ，，，，，，132(),
A B C ，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
222()
A B C ，，，
231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，
332()A B C ，，,322331()()A B C A B C ，，，
，，， 基本事件的总数为18，------------------------------------------------------------------------9分 用M 表示“11B C ，不全被选中”这一事件，则其对立事件M 表示“11B C ，全被选中”
这一事件，由于M 由1
11211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，, 3个基本事件组
C
成，
所以6
1
183)(==
M P ，----------------------------------11分 由对立事件的概率公式得15
()1()166
P M P M =-=-=.---------------12分
19.(本小题满分12分) ks5u
解析：（1）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥平面 ABCD 平面ABEF =AB ，
⊥∴CB 平面ABEF ， ⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,……… 2分
又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， …………………… 3分
⊥∴AF 平面CBF 。

…………………… 4分
（2）设DF 的中点为N ，则MN //
CD 21，又AO //CD 2
1
， 则MN //AO ，MNAO 为平行四边形， ………………… 6分
//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，
//OM ∴平面DAF 。

………………… 8分
(3)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，
⊥∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3
2
31=⋅=
∴-， ……………… 10分 ⊥CB 平面ABEF ，
CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 6
1
2131=⋅⋅⋅=，………………11分
ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ． ……………………12分
20．（本小题满分12分）ks5u
解:(I ）由已知，椭圆方程可设为()
22
2210x y
a b a b +=>>
设(
,0)F c ，直线:0
l x y c --=，由坐标原点O 到l = 1c =.…………… 2分
又a c e ==22
，故a =2，b =1∴所求椭圆方程为
2212
x y +=．…………… 4分
（II ）假设存在点()(),001M m m <<满足条件,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形
是菱形．因为直线与x 轴不垂直，
所以设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，1122(,),(,)P x y Q x y
由()2222,1,
x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 可得()2222124220k x k x k +-+-=．…………… 6分 由0∆>恒成立，∴22121222
422
,1212k k x x x x k k
-+==++． 设线段PQ 的中点为00(,)N x y ，
则2
02221021)1(,2122k k
x k y k k x x x +-=-=+=+= …………… 8分 ∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形，
∴MN ⊥PQ ∴1-=⋅PQ MN K K …………… 10分
即22
2
121
212k k k k m
k -+⋅=--+，222211
0012
122k m k m k k ∴==∴>∴<<
++ …………… 12分
21（本小题满分12分）． 解：（1）①'()2a
f x bx x
=
-函数()f x 在1x =处与直线1
2
y =-
相切ks5u '(1)20,1(1)2f a b f b =-=⎧⎪∴⎨=-=-⎪⎩解得112
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
………3分
②22111()ln ,'()2x f x x x f x x x x
-=-=-=………4分
当
1x e e ≤≤时，令'()0f x >得1
1x e
<<；令'()0f x <，得1;x e << 1(),1f x e ⎛⎤
∴ ⎥⎝⎦
在上单调递增，在[1，e]上单调递减，max 1()(1)2f x f ∴==-
………6分
A
B
C
D
E
O
（2）当b=0时，()ln f x a x =
若不等式()f x m x ≥+对所有的(
230,,1,2a x e ⎡⎤
⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦
都成立， 则ln a x m x ≥+对所有的(
230,,1,2a x e ⎡⎤⎤∈∈⎦⎢⎥⎣⎦
都成立ks5u ， 即,ln x x a m -≤对所有的(]2
,1],2
3
,0[e
x a ∈∈都成立，……8分
令)(,ln )(a h x x a a h 则-=为一次函数，min ()m h a ≤
(21,,ln 0,x e x ⎤∈∴>⎦3
()[0,]2
h a a ∴∈在上单调递增 min ()(0)h a h x ∴==-，m x ∴≤-对所有的(21,x e ⎤∈⎦都成立……10分 221,1,x e e x <<∴-≤-<-2min ()m x e ∴≤-=-
……12分
（注：也可令()ln ,()h x a x x m h x =-≤则所有的(
21,x e ⎤∈⎦都成立，分类讨论得
2min ()2m h x a e ≤=-对所有的3
[0,]2
a ∈都成立，22min (2)m a e e ∴≤-=-，
四、选做题（本小题满分10分。

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，作答时
用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂嘿。

22．解：（I ）证明：如图，连接OC ． OA OB =，CA CB =，OC AB ∴⊥．∴AB
是⊙O 的切线． ……3分
（II ）
1tan 2E ∠=
，∴
1
2CD EC =． BCD BEC △∽△ ，∴
1
2BD CD BC EC ==．设BD x =，则2BC x =． ………… 6分 又BC 2=BD ·BE ，∴2
(2)(6)x x x =+．…………… 8分 解得10x =，22x =．0BD x =>，∴2BD =．
235OA OB BD OD ∴==+=+=．…………10分ks5u
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I ）因为直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=． 所以直线l 的普通方程是)1(3
3
1-=
-x y 。

化为极坐标方程为33sin 3cos 3-=-θρθρ……… 4分
（II ）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐
标分别),211,231(11t t A ++
)2
11,231(22t t B ++. ………6分 圆2ρ=化为直角坐标系的方程422=+y x ．……………… 8分 以直线l 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到
02)13(2=-++t t ①
因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2．
所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2． ………………… 10分 24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（1）当1a =-时，()11f x x x =-++。

由()3f x ≥得311≥++-x x
① 当1x ≤-时，不等式化为113,x x ---≥即23x -≥，其解集为3,2
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
.
② 当11x -<≤时,不等式化为113x x -++≥,不可能成立.其解集为∅. ③ 当1x ≥时, 不等式化为113,x x -++≥即23x ≥.其解集为⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,23.
综上得()3f x ≥的解集为33,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
. …………4分
(2) 若()1,21,a f x x ==-不满足题设条件.ks5u
若()()()21,1,1,
121,1x a x a a f x a a x f x x a x -++≤⎧⎪
<=-<<⎨⎪-+≥⎩
的最小值为1a -.
若()()()21,11,1,
121,x a x a f x a x a f x x a x a -++≤⎧⎪
>=-<<⎨⎪-+≥⎩
的最小值为1a - ks5u
所以(),2x R f x ∀∈≥.a 的取值范围是(][),13,.-∞-+∞…………10分。