2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷 理科数学精编含解析

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2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷
理 科 数 学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ∈R ，i
a 的值为（ ） A ．1- B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】
则10a -=，即1a =，故选C ． 2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位）
，其中x ，y 是实数，则i x y +等于（
） A ．5 B
C ．
D ．2
【答案】A 【解析】由
()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，
∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得3
4x y =-=⎧⎨⎩
，∴i 34i 5x y +=-+=．选A ．
3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是（ ）
7
9
8
8569
8
88
62
1
甲乙
2
3
A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 【答案】D
【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是727879858692
826
+++++=，
乙的平均数是
788688889193
876
+++++=，所以乙的平均数大于甲的平均数，即x x <甲乙，
从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D ．
4．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（ ）
A ．
11
+22AB AD B ．11
22AB AD --
C ．11
22AB AD -+
D ．11
22
AB AD -
【答案】D
【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =
，点F 是BC 的中点，所以11
22
CF CB AD ==-， 所以11
22
EF EC CF AB AD =+=
-，故选D ． 5．已知双曲线()22
2210,0x y a
b a b
-=>>，左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与
双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若OMN △的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
128
x y -=
B ．22
148
x y -=
C ．22
182
x y -=
D ．22
184
x y
-=
【答案】A
【解析】由c a
=225c a =，∴222
5a b a +=，故2
24b a =．
∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --，
∴1
4202
OMN S c c =
⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， 此
卷
只
装
订
不
密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
∴双曲线的方程为22
128
x y -=．选A ．
6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．5π
C ．8π
D ．9π
【答案】D
【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：
在图中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2BC =，1BD =，2AB =．
由于BCD △是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E
，且12r CD ==，
设外接球的球心为O
，如图所示，由题得22
29
1(
24
R =+=， 所以该几何体的外接球的表面积为29
4π4π9π4
R =⨯
=，故选D ． 7．执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）
A ．3.2
B ．3.6
C ．3.9
D ．4.9
【答案】C
【解析】运行框图中的程序可得
①1k =，2
122S =+
=，不满足条件，继续运行； ②2k =，28
2=33S =+，不满足条件，继续运行；
③3k =，8219
+=346S =，不满足条件，继续运行；
④4k =，192107
6530S =+=
，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117
=+==3930630
S ．，满足条件，停止运行，输出=39
S ．．选C ． 8．已知函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，若对于任意()0x ∈+∞，，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
，则
15f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
【答案】B
【解析】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()1
2f n n n
=+=，解得1n =，所以()11f x x =+
，所以165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故选B ． 9．己知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）
A ．αβ∥，且l α∥，l β∥
B ．αβ⊥，且l α∥，l β∥
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
【答案】D
【解析】m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以l α∥， 又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以l β∥，
由直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，
则α与β相交，否则，若αβ∥则推出m n ∥，与m 、n 异面矛盾，
故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．
10．已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面
ABC ，5AB =，12BC =，13AC =，则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦值为（ ）
A
．
52
B
．
52
C
．
26
D
．
26
【答案】C
【解析】由5AB =，12BC =，13AC =，得2
2
2
+AB BC AC =，∴AB BC ⊥．
设球半径为R ，1AA x =，则由1AA ⊥平面ABC 知1AC 为外接球的直径，
在1Rt A AC △中，有()2
22132x R +=，又24π194πR =，∴24194R =，∴5x =．
∴11AB C S =△1
25
2
ABB S =△． 设点B 到平面11AB C 的距离为d ， 则由1111B AB C C ABB V V --=
，得1125123
3
2
d ⨯=⨯⨯，
∴2d =
，又113BC =，∴直线1BC 与平面11AB C
所成角正弦值为126
d BC =C ． 11．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是椭圆
的左、右焦点，且1F AB △
P 为椭圆上的任意一点，则1211
PF PF +的取值范围为（ ） A ．
[]12
， B
．
C
．⎤⎦
D ．
[]14
， 【答案】D
【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △
的面积为
22
-， ∴
(
)1222
a c
b -=
，∴2a c -=()()222
1a c a c a c b -=-+==， ∴2a =
，c =()122
12121111
1124
44PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，
又122PF ≤，∴2
11144PF PF ≤-+≤，∴
12
11
14PF PF ≤+≤． 即
12
11PF PF +的取值范围为[]14，．选D ． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若不等式
()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对任意[]13x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A ．12ln 3e
3
+⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
， B ．1e e
⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
， C ．1e
⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
， D ．[]2e ，
【答案】A
【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0+∞，上递减，所以()f x 在()0-∞，上单调递增， 若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对于[]13x ∈，上恒成立， 则()()2ln 121f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立， 即()()ln 11f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，
所以1ln 11ax x -≤--≤对于[]13x ∈，上恒成立，即0ln 2ax x ≤-≤对于[]13x ∈，上恒成立， 令()ln g x ax x =-，则由()10g x a x =-
='，求得1
x a
=， （1）当1
1a
≤时，即0a <或1a ≥时，()0g x '≥在[]13，上恒成立，()g x 单调递增，
因为最小值()10g a =≥，最大值()33ln 32g a =-≤，所以2ln303a +≤≤，综上可得2ln3
13
a +≤≤；
（2）当13a ≥，即1
03
a <≤时，()0g x '≤在[]13，上恒成立，()g x 单调递减，
因为最大值()12g a =≤，最小值()33ln 30g a =-≥，所以ln3
23
a ≤≤，综合可得，a 无解，
（3）当113a <
<，即113a <<时，在11a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，上，()0g x '<恒成立，()g x 为减函数， 在13a ⎛⎤
⎥⎝⎦
，上，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增， 故函数最小值为111ln g a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()1g a =，()33ln 3g a =-，()()312ln 3g g a -=-，
①若2ln30a ->
，即1a <，因为()()310g g ->，则最大值为()33ln 3g a =-， 此时，由11ln
0a -≥，()33ln 32g a =-≤，求得12ln3
e 3
a +≤≤
，综上可得1a <；
②若2ln30a -≤
，即11
ln332a <≤=()()310g g -≤，则最大值为()1g a =，
此时，最小值11ln 0a -≥，最大值为()12g a =≤，求得12e a ≤≤
，综合可得1
e
a ≤≤
综合（1）（2）（3）可得2ln313a +≤≤
或1a <
或1e a ≤≤12ln3
e 3
a +≤≤．故选A ．
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知实数x ，y 满足条件4022000x y x y x y +-≤-+≥⎪≥≥⎧⎪
⎨⎩
，，若z ax y =+的最小值为8-，则实数a =__________．
【答案】2-
【解析】作出不等式组表示的可行域，为如图所示的四边形OABC ，且()00O ，，()01A ，，()22B ，，()40C ，．
由z ax y =+得y ax z =-+，
①当0a <时，平移直线y ax z =-+，结合图形得当直线经过点()40C ，时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，且min 4z a =，由48a =-，得2a =-，符合题意．
②当0a >时，平移直线y ax z =-+，结合图形得当直线经过点()00O ，时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，且min 0z =，不合题意． 综上2a =-．
14．若实数x ，y 满足20
x y y x y x b -≥≥≥-+⎧⎪
⎨⎪⎩
且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为__________．
【答案】
9
4
【解析】画出可行域，
当目标函数2z x y =+过点B 时取得最小值，由20y x b x y =-+⎧⎨-=⎩
得2,33b b B ⎛⎫
⎪⎝⎭，则22333b b ⨯+=，解得94b =．
15．已知平行四边形ABCD 中，2AD =，120BAD ∠=︒，点E 是CD 中点，1AE BD ⋅=，则B D B E ⋅=_________．
【答案】13
【解析】由1AE BD ⋅=，得22111
()()1222
AD AB AD AB AD AB AD AB +
⋅-=-⋅-=， 设AB m =，∴211
4122
m m +-=，解得3m =．
∴22131()()+222BD BE AD AB AD AB AD AD AB AB ⋅=--
=-⋅319
42313222
=+⨯⨯⨯+=． 16．已知单位向量i ，j ，k 两两的夹角均为θ(0πθ<<，且π
2
θ≠
)，若空间向量a 满足()x y z x y z =++∈a i j k ，
，R ，则有序实数组(),,x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系O xyz -(O 为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作()x y z θ=a ，，，有下列命题： ①已知()132θ=-a ，，，()402θ=b ，，，则·
0=a b ； ②已知()π3
,,0x y =a ，()π3
0,0,z =b ，其中x ，y ，z 均为正数，则当且仅当x y =
时，向量a ，b 的
夹角取得最小值；
③已知()111x y z θ=a ，，，()222x y z θ=b ，，，则()121212x x y y z z θ+=+++a b ，，；
④已知()π3
100OA =，
，，()π3
010OB =，，，()3
001OC π=，，，则三棱锥O ABC -
的表面积S =真命题为__________．(写出所有真命题的序号) 【答案】②③
【解析】由题意，①若()132θ=-a ，，，()402θ=b ，，，
则()()3242126612cos θ⋅=+-⋅+=⋅-⋅+⋅=a b i j k i k i j k i k j ，则0⋅≠a b ，所以不正确； ②如图，设OB =b ，OA =a ，则点A 在平面xOy 上，点B 在z 轴上，由图易知当x y =时，AOB ∠取得最小值，即向量a 与b 的夹角取得最小值，所以是正确的；
③已知()111x y z θ=a ，，，()222x y z θ=b ，，，则()()()121212x x y y z z +=+++++a b i j k ， 所以()121212x x y y z z θ+=+++a b ，，，所以是正确的；
④由()π3
100OA =，
，，()π3
010OB =，，，()3
001OC π=，，，则三棱锥O ABC -为正四面体，棱长为1，其
表面积为1412S =⨯
=，所以不正确．故选②③． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC △中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，已知sin 1
2sin sin 2cos B A C C
=
-． （1）求角B 的大小；
（2）若1a =
，b =，求ABC △的面积．
【答案】（1）π
3
B =
；（2
．
【解析】（1）由sin 1
2sin sin 2cos B A C C
=
-及()sin sin A B C =+， 得()2sin cos 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-， 2cos sin sin B C C ∴=，又在ABC △中，sin 0C ≠， 1cos 2B ∴=
，0πB <<，π
3
B ∴=． （2）在AB
C △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即271c c =+-， 260c c ∴--=，解得3c =， ∴ABC △
的面积1sin 2S ac B ==
18．如图，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，AD BC ∥，6AD =，24BC AB ==，E ，F 分别在BC ，
AD 上，EF AB ∥，现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ．
（1）若1BE =，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，且AP PD λ=，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（2）当三棱锥A CDF -的体积最大时，求二面角E AC F --的余弦值．
【答案】（1）在AD 存在一点P ，且3
2
AP PD =
，使CP ∥平面ABEF ；
（2
． 【解析】（1）在折叠后的图中过C 作CG FD ⊥，交FD 于G ，过G 作GP FD ⊥交AD 于P ， 连结PC ，在四边形ABCD 中，EF AB ∥，AB AD ⊥，所以EF AD ⊥．
折起后AF EF ⊥，DF EF ⊥，
又平面ABEF
⊥平面EFDC ，平面ABEF 平面EFDC EF =，所以FD ⊥平面ABEF ．
又AF ⊂平面ABEF ，所以FD AF ⊥，所以CG EF ∥，PG AF ∥，3
2
AP FG PD GD ==， 因为CG
PG G =，EF AF F =，所以平面CPG ∥平面ABEF ，因为CP ⊂平面CPG ，
所以CP ∥平面ABEF ． 所以在AD 存在一点P ，且3
2
AP PD =
，使CP ∥平面ABEF ． （2）设BE x =，所以(04)AF x x =<≤，6FD x =-， 故()()
()2
21111266933233A CDF V x x x x x -⎡⎤=
⨯⨯⨯-⨯=-+=--⎣
⎦，
所以当3x =时，A CDE V -取得最大值．
由（1）可以F 为原点，以FE ，FD ，FA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则
()003A ，，，()030D ，，，()210C ，，，()200E ，，，所以()203AE =-，，，()213AC =-，，，()003FA =，，，()210FC =，，，设平面ACE 的法向量()1111x y z =n ，，，
则11·
0·
0AC AE ⎧⎪⎨⎪=⎩=n n ，即11111230230x y z x z +-=-=⎧⎨⎩，
令13x =，则10y =，12z =，则()1302=n ，，， 设平面ACF 的法向量()2222x y z =n ，，，
则22·0·0FA FC ⎧⎪⎨⎪=⎩
=n n ，即2223020z x y =+=⎧⎨⎩，
令21x =，则22y =-，20z =，则()2120=-n ，，，
所以121212·cos <=
==>n n n n n n ,
所以二面角E AC F --
． 19．（12分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构需要国内公司外派大量80后、90后中青年员工．该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度随机调查了100位员工，得到数据如下表：
（1）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过01．的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；
（2）该公司选派12人参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80后员工中用分层抽样方法抽出6名，组成80后组，在参与调查的90后员工中，也用分层抽样方法抽出6名，组成90后组． ①求这12人中，80后组、90后组愿意接受外派的人数各有多少?
②为方便交流，在80后组、90后组中各选出3人进行交流，记在80后组中选到愿意接受外派的人数为
x ，在90后组中选到愿意接受外派的人数为y ，求x y <的概率．
参考数据：
参考公式：()()()()
2
2
(=n ad bc k a b c d a c b d -++++）
，其中n a b c d =+++．
【答案】（1）能在犯错误的概率不超过01．的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”； （2）①3，4．②1
2
．
【解析】（1）由列联表可得()2
210020204020400400100
2778270660406040
5760000
k ⨯⨯-⨯⨯⨯=
=
≈>⨯⨯⨯．．，
所以能在犯错误的概率不超过01．
的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄有关”． （2）①由分层抽样知80后组中，愿意接受外派人数为3，在90后组中，愿意接受外派人数为4． ②“x y <”包含“0x =，1y =”，“0x =，2y =”，“0x =，3y =”，“1x =，2y =”，“1x =，3y =”，“2x =，3y =”六种情况．
且()0312********C C C C 101C C 100P x y ===⨯=，，()0321
3342
3366C C C C 302C C 100
P x y ===⨯=，，
()033033423366C C C C 103C C 100P x y ===⨯=，，()12213342
33
66
C C C C 2712C C 100P x y ===⨯=，， ()123033423
366C C C C 913C C 100P x y ===⨯=，，()21303342
3366C C C C 923C C 100
P x y ===⨯=，． ∴13127991()1002P x y +++++<=
=．即x y <的概率为1
2
．
20．（12分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F 在y 轴的正半轴上，点A 是抛物线上的一点，以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ． （1）求抛物线的标准方程：
（2）设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点，连接QF 并延长交抛物线的准线于点
R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．
【答案】（1）24x y =；（2）直线m 的方程为162y x =+或1
62
y x =-+． 【解析】（1）设抛物线方程为22(0)x py p =>， ∵以A 为圆心，2为半径的圆与y 轴相切，切点为F ，
∴=2p ，∴该抛物线的标准方程为24x y =．
（2）由题知直线m 的斜率存在，设其方程为6y kx =+，
由264y kx x y
=+=⎧⎨⎩消去y 整理得24240x kx --=， 显然216960k ∆=+>．设()11P x y ，，()22Q x y ，，则12124•24x x k
x x +==-⎧⎨⎩．
抛物线在点2114x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，处的切线方程为()211
142x x y x x -=-，
令1y =-，得2114
2x x x -=，可得点211412x R x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，，
由Q ，F ，R 三点共线得QF FR k k =，
∴22
2
12
1
1
11442x
x x x ---=-，即()()
22121244160x x x x --+=， 整理得()2
212121212()4216160x x x x x x x x ⎡⎤-+-++=⎣⎦
，
∴()()()()22
24442241616240k ⎡⎤---⨯-++⨯-=⎣⎦，
解得214
k =
，即12k =±，
∴所求直线m 的方程为162y x =
+或1
62
y x =-+． 21．已知函数()323
43cos cos 16f x x x θθ=-+
，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤<． （1）当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值．
（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围．
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()f x 无极值；（2）ππ3π11π6226⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，；（3）(]4301⎡⎫+-∞⎪⎢⎪⎣⎭
，，． 【解析】（1）当cos 0θ=时，()3
4f x x =，x ∈R ，所以()2
120f x x ='≥，所以()f x 无极值．
（2）因为()2
126cos f x x x θ=-'，
设()0f x '=，得10x =，2cos 2
x θ
=，
由（1），只需分下面两情况讨论： ①当cos 0θ>时，
当()0x ∈-∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当cos 02
x θ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当cos 2x θ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
，时，()0f x '>，()f x 单调递增．
所以当cos 2
x θ
=
时，()f x 取得极小值， 极小值3cos 13cos cos 2
416f θθθ⎛⎫=-+
⎪
⎝⎭
， 要使cos 02f θ
⎛⎫>
⎪
⎝⎭，则有3
13cos cos 0416θθ-+>， 所以0cos θ<<
， 因为02πθ≤<，故ππ62θ<<或3π11π
26
θ<<
； ②当cos 0θ<时， 当cos 2
x θ⎛⎫
∈-∞ ⎪⎝
⎭
，
时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当cos 02x θ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当()0x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增； 所以当0x =时，()f x 取得极小值． 极小值()3
0cos 16
f θ=
． 若()00f >，则cos 0θ>，矛盾．
所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零．
综上所述，要使函数()f x 在R 内的极小值大于零，参数θ的取值范围是：ππ3π11π6226⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，，．
（3）由（2）知，函数()f x 在区间()0-∞，与cos 2θ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
，内都是增函数，由题设，函数()f x 在()21a a -，内是增函数，则210a a a -<≤⎧⎨⎩或21cos 212a a
a θ-<⎧⎪
⎨-≥⎪⎩
．
由（2）参数ππ3π11π6226θ
⎛⎫⎛⎫
∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，时
0cos 2θ<<，要使cos 212a θ-
≥恒成立，必有214a -≥，
即
a ≥
且1a <． 综上：0a ≤1a ≤<． 所以a 的取值范围是(]43018⎡⎫
+-∞⎪⎢⎪
⎣⎭
，，．
请考生在22
、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知直线的参数方程为122
12
x t y t ⎧⎪⎪⎨=--=⎪⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，圆C 的极坐标方程为2π2cos 3ρθ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
． （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若(),P x y 是直线
l 与圆2π2cos 3ρθ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭y +的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为2π2cos 3ρθ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 2
2π2cos 3ρρθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，所以2
12cos 2ρρθθ⎫=-⎪⎪⎝⎭
， 又
222x y ρ
=+，cos x ρθ=，2cos y ρθ==，
∴22x y x +=-，∴圆C 普通方程为2
2
0x y x +-+=．
（2）圆C
的方程为22
0x y x ++=，即2
2
112x y ⎛⎛⎫+
+= ⎪
⎝
⎭⎝⎭， 将直线l 的参数方程122
12
x y t
⎧
⎪⎪⎨=--
=+⎪⎪⎩，（t 为参数)化为普通方程：12y
x ⎫=
+⎪⎝⎭，
∴直线l 与圆C 的交点为
A ⎝⎭和
B ⎛ ⎝
⎭，
)
1A
y
∴
+=，
)
1B
y
+=-．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设0a >，0b >，且222a b ab +=，求证： （1）332a b +≥；
（2）()()
554a b a b ++≥．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）0a >，0b >，222a b ab +=，
()()()333322222a b a b a b ab a a b b b a ∴+-=+--=-+-()()()()2
220a b a b a b a b =--=-+≥，
332a b ∴+≥．
（2）()()()2
5566553333552a b a b a b a b ab a b a b a b ab ++=+++=+-++
()()()()2
2
2
33422433222a b ab a a b b a b ab a b =++-+=++-，
0a >，0b >，332a b +≥，
()()55224a b a b ∴++≥=．。