高考数学(苏教,理科)复习课件：第六章 不等式、推理与证明第二节 一元二次不等式及其解法

个常用结论 (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
a＝b＝0， c>0，
或a>0， Δ<0.
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
a＝b＝0， c<0，
或a<0， Δ<0.
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021
▪ 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/262021/7/26July 26, 2021
▪ 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/26
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第二节 一元二次不等式及其应用
角度三 形如 f(x)≥0(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围
3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒 大于零，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(a)的值恒大于零， ∴gg－1＝1＝ x－x－2＋2× x2－－4x1＋＋4x>20－，4x＋4>0， 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
cos 2α≤0，2sin2α－(1－2sin2 α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为
0≤α≤π，故α∈0，π6∪56π，π.
答案：0，π6∪56π，π
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第二节 一元二次不等式及其应用
角度二 形如 f(x)≥0，(x∈[a，b])，确定参数范围 2．对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒
第二节 一元二次不等式及其应用
▪ 14、。2021年7月26日星期一2021/7/262021/7/262021/7/26
▪ 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
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第二节 一元二次不等式及其应用
[典例] 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到 7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算， 该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格 的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．
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第二节 一元二次不等式及其应用
角度一 形如 f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围 1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin
α)x＋cos
2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________． 解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin2α－
第二节 一元二次不等式及其应用
只要f4－2 a＝4－2 a2＋(a－4)×4－2 a＋4－2a>0， 即a2<0，故有a∈∅； ③当4－2 a>1，即a<2时， 只要f(1)＝1＋(a－4)＋4－2a>0， 即a<1，故有a<1. 综上可知，当a<1时，对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－ 4)x＋4－2a的值恒大于零．
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第二节 一元二次不等式及其应用
[类题通法] 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件
(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参 数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围， 谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次 函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应 的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方.
▪ 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 ▪ 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 ▪ 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 ▪ 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
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第二节 一元二次不等式及其应用
[类题通法] 1．解一元二次不等式的一般步骤： (1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2 ＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层
2．当Δ<0时，易混ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R还是∅.
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第二节 一元二次不等式及其应用
[试一试] 1．(2013·苏中三市、宿迁调研)设集合A＝{x|x2－2x－
3≤0}，B＝{x|x2－5x≥0}，则A∩(∁RB)＝________. 解析：集合A＝[－1,3]，B＝(－∞，0]∪[5，＋∞ )．从
▪ 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021 4:25:32 AM
▪ 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/262021/7/262021/7/26Jul-2126-Jul-21
▪ 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/262021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
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第二节 一元二次不等式及其应用
借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为x|－2≤x＜－1或2＜x≤3. (2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0. 由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论． 当a＜0时，x＜5a或x＞－a； 当a＞0时，x＜－a或x＞5a. 综上，a＜0时，解集为 x|x＜5a或x＞－a ；a＞0时，解集 为x|x＞5a或x＜－a.
(a＞0)的解集
有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)
{x|x<x1或x>x2}
{x|x1＜x＜x2}
Δ＝0
Δ＜0
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba
没有实数根
{x|x≠－2ba}
R
∅
∅
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第二节 一元二次不等式及其应用
1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否 为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定 解集的形式．
3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围 是________． 解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a2－4×4>0，即a2>16. ∴a>4或a<－4. 答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
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第二节 一元二次不等式及其应用
1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两
大于零，求a的取值范围； 解：函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的对称轴为x＝－a－2 4＝4－2 a. ①当4－2 a<－1，即a>6时， f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(a－4)×(－1)＋4－2a>0， 解得a<3，故有a∈∅； ②当－1≤4－2 a≤1，即2≤a≤6时，
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即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2 ≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
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第二节 一元二次不等式及其应用
(2)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
因为a＞0，所以ax－1a(x－1)＜0. 所以当a＞1时，解为1a＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1时，解为1＜x＜1a.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x1＜x＜1a
；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为x1a＜x＜1
.
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第二节 一元二次不等式及其应用
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的 联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联 系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问 题，常根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符 号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有： 1形如 fx≥0x∈R确定参数的范围； 2形如 fx≥0，x∈[a，b]，确定参数范围； 3形如 fx≥0参数 m∈[a，b]确定 x 的范围
次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进
行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根
存在时，根据根的大小进行分类．
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第二节 一元二次不等式及其应用
[针对训练] 解下列不等式： (1)－3x2－2x＋8≥0； (2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)． 解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
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第二节 一元二次不等式及其应用
[典例] 解下列不等式：
(1)0＜x2－x－2≤4； (2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)． [解] (1)原不等式等价于
x2－x－2＞0， x2－x－2≤4
⇔xx22－－xx－－26＞≤00，
⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔x－＞22≤或x≤x＜3－. 1，
(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y与实际价 格x的函数关系式；
▪
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第二节 一元二次不等式及其应用
2．分类讨论思想 解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分 类讨论，分类要不重不漏．
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第二节 一元二次不等式及其应用
[练一练] 若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是 ________． 解析：①当m＝0时，1>0显然成立． ②当m≠0时，由条件知 m>0， Δ＝4m2－4m<0. 得0<m<1， 由①②知0≤m<1. 答案：[0,1)
第二节 一元二次不等式及其应用
第二节
一元二次不等式及其应用
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
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第二节 一元二次不等式及其应用
判别式
Δ＝b2－4ac 二次函数
Δ＞0
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0
而∁RB＝(0,5)，则A∩ (∁RB)＝(0,3]． 答案：(0,3] 2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是 －12，13
，则a＋b的值是
解__析__：__由__题．意知－12、13是ax2＋bx＋2＝0的两根．
则a＝－12，b＝－2.a＋b＝－14. 答案：－14
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第二节 一元二次不等式及其应用