2025届贵州省六盘水市高三第五次模拟考试数学试卷含解析

2025届贵州省六盘水市高三第五次模拟考试数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B 的真子集的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．3
2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A ．i -
B ．i
C ．1
D ．1- 3．已知函数()x a f x x e
-=+，()()ln 24a x g x x e -=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）
A ．ln21--
B ．1ln2-+
C ．ln 2-
D ．ln 2 4．已知集合2{|1}M x x ==．N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ）
A ．1M ∈
B ．{1,1}M =-
C ．M ∅⊆
D ．M N ⊆
5．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ）
A ．13i +
B ．13i -
C ．13i -+
D ．13i --
6．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不修要条件
7．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x >
，若在ABC ∆中，34A π∠=，则（ ） A ．()()22sin sin sin sin f A B f B A < B ．()()22sinC sin sin sin f B f B C
< C ．()()22cos sin sin cos f A B f B A > D ．()()22
cosC sin sin cos f B f B C > 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是
A ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
B ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
C ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．[]0,1
9．双曲线
的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( ) A ．
B ．2
C ．3
D ．6
10．在一个数列中，如果*n N ∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且11a =，22a =，公积为8，则122020a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．4711
B ．4712
C ．4713
D ．4715
11．如图，平面α与平面β相交于BC ，AB α⊂，CD β⊂，点A BC ∉，点D BC ∉，则下列叙述错误的是（ ）
A ．直线AD 与BC 异面
B ．过AD 只有唯一平面与B
C 平行
C ．过点
D 只能作唯一平面与BC 垂直
D ．过AD 一定能作一平面与BC 垂直
12．已知0x >，a x =，22
x b x =-，ln(1)c x =+，则（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量(2,1)a =-，(1,)m =b ，若向量+a b 与向量a 平行，则实数m =___________．
14．已知数列{}n a 的前n 项和为12
n n S m +=+，且145,,2a a a -成等差数列，()()111n n n n a b a a +=--，数列{}n b 的前项和为n T ，则满足20172018
n T >的最小正整数n 的值为______________. 15．已知M 是抛物线22y x =上一点，N 是圆22(2)1x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线C 上任意一点，则MN
16．已知函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则n 为________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在四边形ABCP 中，2,3AB BC P π==
∠=，2PA PC ==；如图，将PAC 沿AC 边折起，连结PB ，
使PB PA =，求证：
（1）平面ABC ⊥平面PAC ；
（2）若F 为棱AB 上一点，且AP 与平面PCF 所成角的正弦值为34
，求二面角F PC A --的大小. 18．（12分）如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .
（1）证明：BP ⊥平面DCP .
（2）三棱锥D BPC -的体积最大时，求二面角B PD E --的余弦值.
19．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .
（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若60BAD ∠=︒，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -86，求菱形ABCD 的边长.
于点F ．求证：PDF ∆~POC ∆．
21．（12分）如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .
（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG .
（2）求二面角A BF D --的正弦值．
22．（10分）如图， 在四棱锥P ABCD -中， PA ⊥底面ABCD ， AD AB ⊥，//AB DC ， 2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.
（1）证明：BE DC ⊥：
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（3）若F 为棱PC 上一点， 满足BF AC ⊥， 求二面角F AB P --的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

转化条件得{}0,1A
B =，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解. 【详解】
由题意得()(){}{}
12012B x x x x x =+-<=-<<， ∴{}0,1A B =，∴集合A B 的真子集的个数为2213-=个.
故选：D.
【点睛】
本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.
2、D
【解析】
根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.
【详解】
因为复数z 满足()11z i i +=-， 所以()()()
211111i i z i i i i --===-++-， 所以z 的虚部为1-.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3、A
【解析】
令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ，
令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣12x +=12
x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，
故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）；
故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；
故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ．
集合{}2
{|1}1,1M x x ===-．N 为自然数集，由此能求出结果． 【详解】
解：集合{}2
{|1}1,1M x x ===-．N 为自然数集， 在A 中，1M ∈，正确；
在B 中，{}1,1M =-，正确；
在C 中，M ∅⊆，正确；
在D 中，M 不是N 的子集，故D 错误．
故选：D ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5、B
【解析】
先根据复数的乘法计算出z ，然后再根据共轭复数的概念直接写出z 即可.
【详解】
由()()1213z i i i =++=+，所以其共轭复数13z i =-.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.
6、B
【解析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：a ，b ，c 为正数，
∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，
若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，
，即a b c +>，成立，即必要性成立，
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．
7、D
【解析】
根据()()2'f x f x x >的结构形式，设()()2f x g x x =，求导()()()32xf x f x g x x
'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=，得到04π<∠<B ，04π<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解.
【详解】
设()()2
f x
g x x =， 所以 ()()()
32xf x f x g x x '-'=，
因为当0x >时，()()2'f x f x x
>， 即()()
20xf x f x x '->，
所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，
在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫∠=+∠ ⎪⎝⎭
C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ， 所以sin sin 4π⎛⎫∠<+∠ ⎪⎝⎭
B B ， 即cos sin ∠>∠
C B ，
所以()
()22cos sin s sin f C f B co C
B >， 即()()22cos
C sin sin cos f B f B C >
故选：D
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
8、A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用分离变量法可得31a x x -≤≤-，求得3x -的最大值和1x
-的最小值即可得到结果. 【详解】 ()()f x f x =- ()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称
又()f x 在()0,∞+上是增函数 ()f x ∴在(),0-∞上是减函数
()()21f ax f +≤- 21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤
121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立 31a x x
∴-≤≤-在[]1,2上恒成立
312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 本题正确选项：A
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
9、A
【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.
【详解】
双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r ＝. 答案：A
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.
10、B
【解析】
计算出3a 的值，推导出()3n n a a n N
*+=∈，再由202036731=⨯+，结合数列的周期性可求得数列{}n
a 的前2020项和.
【详解】 由题意可知128n n n a a a ++=，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，则1238a a a =，312
84a a a ∴==， 由128n n n a a a ++=，得1238n n n a a a +++=，12123n n n n n n a a a a a a +++++∴=，3n n a a +∴=，
202036731=⨯+，因此，()1220201231673673714712a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++=⨯+=.
故选：B.
【点睛】
本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
11、D
【解析】
根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.
【详解】
A.假设直线AD 与BC 共面，则A ，D ，B ，C 共面，则AB ，CD 共面，与AB α⊂，CD β⊂矛盾， 故正确.
B. 根据异面直线的性质知，过AD 只有唯一平面与BC 平行，故正确.
C. 根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.
D. 根据异面直线的性质知，过AD 不一定能作一平面与BC 垂直，故错误.
故选：D
【点睛】
本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.
12、D
【解析】 令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭
，求()f x '，利用导数判断函数为单调递增，从而可得2ln(1)2x x x +>-，设()()ln 1g x x x =+-，利用导数证出()g x 为单调递减函数，从而证出0,ln(1)x x x ∀>+<，即可得到答案.
【详解】
0x >时，2
2
x x x >- 令2()ln(1)2x f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝
⎭，求导2
1()111x f x x x x '=-+=++ 0x ∀>，()0f x '>，故()f x 单调递增：()(0)0f x f >= ∴2
ln(1)2
x x x +>-， 当0x >，设()()ln 1g x x x =+-，
()11011x g x x x -'∴=
-=<++ ， 又()00g =，
()()ln 10g x x x ∴=+-<，即0,ln(1)x x x ∀>+<， 故2
ln(1)2
x x x x >+>-. 故选：D
【点睛】
本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、12
- 【解析】 由题可得(1,1)m +=-+a b ，因为向量+a b 与向量a 平行，所以2(1)1(1)0m -⨯+-⨯-=，解得12m =-
． 14、1
【解析】
本题先根据公式11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩初步找到数列{}n a 的通项公式，然后根据等差中项的性质可解得m 的值，即可确定数列{}n a 的通项公式，代入数列{}n b 的表达式计算出数列{}n b 的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前项和n T ，再代入不等式20172018n T >
进行计算可得最小正整数n 的值． 【详解】
由题意，当1n =时，111124a S m m +==+=+．
当2n 时，11222n n n n n n a S S m m +-=-=+--=．
则44216a ==，5522230a -=-=．
1a ，4a ，52a -成等差数列，
15422a a a ∴+-=，即430216m ++=⨯，
解得2m =-．
12a ∴=．
2n n a ∴=，*n N ∈． ∴111211(1)(1)(21)(21)2121
n n n n n n n n n a b a a +++===-------． 12n n T b b b ∴=++⋯+
12231111111212121212121
n n +=
-+-+⋯+------- 11121
n +=--．
20172018n T >，1120171212018
n +∴->-． 即111212018n +<-， 1212018n +∴->，即122019n +>，
10210242019=<，11220482019=>，
111n ∴+，即10n ．
∴满足20172018
n T >的最小正整数n 的值为1． 故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前n 项和，考查了转化思想、方程思想，考查了不等式的计算、逻辑思维能力和数学运算能力．
15
1
【解析】
由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN 的最小值.
【详解】
假设圆心()0,2关于直线0x y -=对称的点为()00,x y ， 则有000021202
2y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解方程组可得0020x y =⎧⎨=⎩， 所以曲线C 的方程为()2
221x y -+=，圆心为()2,0C ， 设(),(0)M x y x >，则()2
222MC x y =-+， 又22y x =，所以()()22
2222=2413MC x y x x x =-+-+=-+， 2
min 3MC ∴=
，即min MC =
，所以min 1MN =-，
1.
【点睛】
该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.
16、4
【解析】
根据题意得出()0n f '=，由此可得出实数n 的值.
【详解】
()314sin 3
f x x x =+，()24cos f x x x '∴=+，直线60nx y --=的斜率为n ， 由于函数()314sin 3
f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行， 则()04n f '==.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见详解；（2）
6π 【解析】
（1）由题可知，等腰直角三角形ABC 与等边三角形PAC ，在其公共边AC 上取中点O ，连接OB 、OP ，可得,OB AC OP AC ⊥⊥
，可求出OP =在OPB △中，由勾股定理可证得OP OB ⊥，结合OP AC O ⋂=，可证明OB ⊥平面PAC .再根据面面垂直的判定定理，可证平面ABC ⊥平面PAC .
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由点F 在线段AB 上，设(01)AF mAB m =<<，得出CF 的坐标，进而求出平面PFC 的一个法向量n .用向量法表示出AP 与平面PCF 所成角的正弦值，由其等于
n .再结合OB 为平面PAC 的一个法向量，用向量法即可求出n 与OB 的夹角，结合图形，写出二面角F PC A --的大小.
【详解】
证明：（1）在PAC ∆中，2,3PA PC P π
==∠=
PAC ∴△为正三角形，且2AC =
在ABC 中，AB BC ==ABC ∴为等腰直角三角形，且AB BC ⊥
取AC 的中点O ，连接0,B OP
,OB AC OP AC ∴⊥⊥
1,2OB OP PB PA ====，
222PB OB OP ∴=+，
OP OB ∴⊥
OP AC O =，,AC OP ⊂平面PAC
OB ∴⊥平面PAC
OB ⊂平面ABC
..平面ABC ⊥平面PAC
（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则
(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),A B C P -，
(1,1,0),AB AP ==，
(0,1,3),(0,2,0)CP CA =-=-，
设(01)AF mAB m =<<.则(,2,0)CF CA AF m m =+=-
设平面PFC 的一个法向量为(,,)x y z =n .则
00n CF n CP ⎧⋅=⎨
⋅=⎩
(2)00
mx y m y +-=⎧⎪∴⎨-
=⎪⎩，
令y =1
x z ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
n ⎫∴=⎪⎭
AP 与平面PFC
||||2n AP n AP ⋅∴==
整理得2344
0m m +-
=
解得23
m =或2m =-(含去) n ∴=
又OB 为平面PAC 的一个法向量
3cos ,2n OB n OB n OB ⋅∴〈〉==,6n OB π
∴〈〉=，
二面角F PA C --的大小为
6π.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.
18、（1）见解析（215 【解析】
（1）利用面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BPC ，由此证得DC BP ⊥，根据圆的几何性质证得BP PC ⊥，由此证得BP ⊥平面DCP .
（2）判断出三棱锥D BPC -的体积最大时P 点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD 和平面EPD 的法向量，计算出二面角B PD E --的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形，
所以DC ⊥平面BPC .
因为BP ⊂平面BPC ，所以DC BP ⊥.
因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥.
又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .
（2）解：显然，当点P 位于BC 的中点时，BCP ∆的面积最大，三棱锥D BPC -的体积也最大.
不妨设2BC =，记AD 中点为G ，
以E 为原点，分别以,,EB EP EG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，
则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)E B D P -，(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BD ED PD =-=-=--
设平面BDP 的法向量为()111,,m x y z =， 则11111220,20,BD m x z PD m x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩
令11x =，得(1,1,1)m =. 设平面DEP 的法向量为()222,,n x y z =，
则2222220,20,ED n x z PS n x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩
令22x =，得(2,0,1)n =， 所以2115cos ,||||535
m n m n m n ⋅+〈〉===⨯. 由图可知，二面角B PD E --为锐角，故二面角B PD E --的余弦值为
155.
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 19、（1）证明见解析；（2）1
【解析】
（1）由菱形的性质和线面垂直的性质，可得AC ⊥平面BDE ，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）设AB x =，分别求得AC ，DG 和EB 的长，运用三棱锥的体积公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）四边形ABCD 为菱形，
AC BD ∴⊥，
BE ⊥平面ABCD ， AC BE ∴⊥，
又BD BE B ⋂=，
AC ∴⊥平面BDE ，
又AC ⊂平面AEC ，
∴平面AEC ⊥平面BED ；
（2）设AB x =，在菱形ABCD 中，由60BAD ∠=︒，
可得32
AG GC x ==，2x GB GD ==，3AC x =， AE EC ⊥，
∴在Rt AEC ∆中，可得32EG x =， 由BE ⊥面ABCD ，知⊥BE BG ，BEG ∆为直角三角形，可得2222BE EG BG x =-=
， 三棱锥E ACD -的体积311686··32243
E ACD V AC GD BE x -=⨯==， 4x ∴=，∴菱形的边长为1．
【点睛】
本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直转化，考查三棱锥的体积的求法，考查化简运算能力和推理能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
20、证明见解析
【解析】
根据相似三角形的判定定理,已知两个三角形有公共角P ∠,题中未给出线段比例关系,故可根据判定定理一需找到另外一组相等角,结合平面几何的知识证得PFD OCP ∠=∠即可.
【详解】
证明：∵AE AC =，所以CDE AOC ∠=∠，
又因为,CDE P PFD AOC P PCO ∠=∠+∠∠=∠+∠，
所以PFD OCP ∠=∠．
在PDF ∆与POC ∆中，P P ∠=∠，PFD OCP ∠=∠，
故PDF ∆~POC ∆.
【点睛】
本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.
21、（1）见解析；（2）70sin 35
θ=
【解析】
（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ;
（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,分别求出平面ABF 和DBF 的法向量,m n ,然后由cos ,||||
m n m n m n ⋅〈〉=
,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值.
【详解】
（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =,
因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形,
因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,
因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG .
因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .
（2）记AC ,BE 的交点为O ,再取FG 的中点P .由题意可知AC ,BE ,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB ,OC ,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.
因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ==
=,所以四边形ABCE 是菱形，且
60BAD ︒∠=, 所以(0,(1,0,0),(1,0,0),((1,0,2)A B E D
F ---,
则(1,3,0),(2,0,2),(3,AB BF BD ==-=-,设平面ABF 的法向量为()
111,,m x y z =, 则11110220
m AB x m BF x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取
11y =-,则(3,m =-, 设平面DBF 的法向量为()
222,,n x y z =,
则222230220
n BD x n BF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,不妨取21x =,则(1,3,1)n =,
故cos ,||||7m n m n m n ⋅〈〉===
⨯记二面角
A BF D --的大小为θ,故sin θ==
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.
22、（1）证明见解析 （23（3310 【解析】
（1）根据题意以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出,D BE C ，由空间向量数量积运算即可证明BE DC ⊥.
（2）先求得平面PBD 的法向量，即可求得直线BE 与平面法向量夹角的余弦值，即为直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（3）由F 点在棱PC 上，设CF CP λ=，再由BF BC CF =+，结合BF AC ⊥，由空间向量垂直的坐标关系求得λ的值.即可表示出BF .求得平面FBA 和平面ABP 的法向量，由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值，再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角F AB P --的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵PA ⊥底面 ABCD ，AD AB ⊥，
以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵2AD DC AP ===，1AB =，点 E 为棱 PC 的中点．
∴()1
00B ，，，()220C ，，，()020D ，，，(0,0,2),(1,1,1)P E ， (0,1,1),(2,0,0)BE DC ∴==，
0BE DC ⋅=，
BE DC ∴⊥.
（2）(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=-,
设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =.
则0
0BD m PB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，代入可得2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩
， 令1y =解得2,1x z ==，即()2,1,1m =，
设直线BE 与平面PBD 所成角为α，由直线与平面夹角可知 23sin cos ,362
n BE
n BE n BE α⋅=<>===⨯⋅ 所以直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为
33. （3）(1,2,0),(2,2,2),(2,2,0)BC CP AC ==--=，
由F 点在棱PC 上，设(2,2,2),(01)CF CP λλλλλ==--≤≤， 故(12,22,2)(01)BF BC CF λλλλ=+=--≤≤， 由BF AC ⊥，得2(12)2(22)0BF AC λλ⋅=-+-=，
解得34
λ=， 即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 设平面FBA 的法向量为(,,)n a b c =，
由00n AB n BF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得011302
22a a b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1c =，则(0,3,1)n =-
取平面ABP 的法向量(0,1,0)i =，
则二面角F AB P --的平面角α
满足||3cos 10||||10i n i n α⋅=
--
⋅， 由图可知，二面角F AB P --为锐二面角，
故二面角F AB P --. 【点睛】
本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计算量较大，属于中档题.。