高一数学(人教A版)8.5空间直线、平面的平行习题课-ppt课件

E B
⑤当容器倾斜如右图所示时，BE×BF是定值．
G D H
C
其中所有正确命题的序号是_____，为什么？
①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；
分析：如何判断有水部分呈棱柱形？棱柱的定义是什么？
一般地，有两个面互相平行，其余 A1
D1
各面都是四边形，并且相邻两个四边形 B1
C1
的公共边都互相平行，由这些面所围成
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的
中点，求证：EF//平面CD1．
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
线线平行
线面平行
如何在平面CD1内得到 一条直线，使得这条直
线与直线EF平行？
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的
C
因此命题③错误．
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
解析：因为BC//FG，
根据基本事实4可得，FG//A1D1， 又因为A1D1不在平面EFGH内， FG在平面EFGH内，
所以棱A1D1始终与水面所在平面平行， 所以命题④正确；
A1 B1
FE A
B
D1 C1
GH D
C
⑤当容器倾斜如右图所示时，BE×BF是定值．
此题通过线面平行得出线线平
b
行，再由基本事实4得出另一组线线平 β a
行，最后得到线面平行．方法是通过
a′ α
“由已知想可知，由求证想需知”来实
现线线平行与线面平行关系的转化．
命题3 如果两条直线同时与一个平面平行，那么这两条 直线平行．
例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱CC1，
系的转化．
例题 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内
灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面，再将容器倾斜．
随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
A1
D1
①有水的部分始终呈棱柱形；
B1
C1
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
E
H
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
E为AD1中点， EP是ΔADD1的中位线， EP//DD1，同理FP//AB． 又 AB//CD，
FP//CD．
EP 平面CD1，DD1⊂平面CD1， EP//平面CD1，同理FP//平面CD1．
证法三：（接上页）
EP与FP交于点P，且均在平面EFP内， 平面EFP//平面CD1． EF⊂平面EFP， EF//平面CD1．
已知：a ，b ，a / /b，a / /，求证：b//α．
分析：
b
β
a
线面平行
线线平行
线面平行
a′ α
如何在平面α内得到一条直 线，使得它与直线b平行？
命题2 平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行 于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
已知：a ，b ，a / /b，a / /，求证：b//α．
例题 探究性问题：直线和平面作为空间中的几何元素，我 们考虑三个几何元素的平行关系．命题：“如果有两组几何 元素均具备平行关系，那么第三组几何元素也具备平行关 系”，该命题正确吗？如果命题不正确，请举反例；如果命 题正确，请证明．
解析：我们一共能生成几个命题？ 三条直线（一个）；两条直线和一个平面（两个）；一条 直线和两个平面（两个）；三个平面（一个）．
线线平行
线面平行
如何在平面CD1内得到 一条直线，使得这条直
线与直线EF平行？
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的 中点，求证：EF//平面CD1．
证法一：连接AC， 底面ABCD为正方形，点F是BD中点， AC与BD交于点F，且点F是AC中点．
连接CD1，则有EF//CD1．
中点，求证：EF//平面CD1．
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
线线平行
线面平行
如何在平面CD1内得到 一条直线，使得这条直
线与直线EF平行？
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的 中点，求证：EF//平面CD1．
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
③水面EFGH所在四边形的面积为定值； 解析：因为长方体的左右两个侧面平行，
所以两个侧面与水面的交线平行，
A1
因此四边形EFGH为平行四边形． 因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥EF，
B1
所以FG⊥EF，因此四边形EFGH为矩形． F
D1
C1 G
A E
D H
故水面EFGH的面积随GH的变化而变化． B
⑦
①
③
⑤
② 线线平行
④
线面平行
⑥
③直线与平面平行的判定定理
a ，b ，a / /b a / /
a
b
α
面面平行
⑦
①
③
⑤
② 线线平行
④
线面平行
⑥
④直线与平面平行的性质定理
a / /，a ， b a / /b
a
β
b α
面面平行
⑦
①
③
⑤
② 线线平行
④
线面平行
⑥
⑤两个平面平行的判定定理
面面平行
解析：这个变式相当于过棱DD1上一点H作
A1
与底面不平行的截面，截面与四条侧棱
D1
B1
C1
都相交．由于棱DA和DC与截面均不平行，
所以DA与EH，DC与GH，AB与EF，
H E
BC 与 FG 均 不 平 行 ， 因 此 不 满 足 棱 柱 的 定
义，所以有水部分的几何体不是棱柱．
FA B
G D
C
变式：如果长方体底面顶点D着地，其它顶点均离开地
总结：第一和第二种方法，利用了线面平行的判定定理及 逆向思考的方法，过EF作与平面CD1相交的平面，我们分 别作了三角形和平行四边形，用两种方法得到了交线．第
三种方法是利用面面平行得出线面平行，因此需要构造一 个与平面CD1平行的平面．本题利用了线面平行的判定定 理和面面平行的定义和判定定理，并且多次进行了平行关
空间直线、平面平行习题课
高一年级 数学
一、三种平行的定义
线线平行
线面平行
a a
b
α
a//b
a//α
面面平行
α β
α//β
一、三种平行的定义
二、三种平行关系之间的转化
①
③
② 线线平行
④
⑦ 线面平行
⑤
⑥
面面平行
①
③
② 线线平行
④
⑦ 线面平行
⑤
⑥
面面平行
①平行线的定义以及平面几何中判定两直线平行的定理 ②基本事实4
的多面体叫做棱柱．
FE
A
有水部分有两个面平行吗？其余的面都是四
B
边形吗？相邻四边形的公共边互相平行吗？
GH D
C
解析：显然有水的部分左右两个面平行，其它面都是四边形．
因为棱BC在地面上， 所以BC与水面平行．因此BC//FG． 因为前后两面平行， 且与水面分别交于FG，EH， 所以FG//EH．所以AD//EH． 因此有水部分呈棱柱形． 易得没水部分也是棱柱．
A1 B1
D1 C1
A1 B1
D1 C1
F E
A B
G H D
C
F
G
A
D
BE
CH
变式：如果长方体底面顶点D着地，其它顶点均离开地
面，且水面均与四条侧棱相交． (1)有水部分的几何体还是棱柱吗？ (2)四边形EFGH还是平行四边形吗？
A1 B1
D1 C1
请说明理由．
H E
G
FA
D
B
C
(1)有水部分的几何体是棱柱吗？
EF//MN．
MN⊂平面CD1，EF 平面CD1，
EF//平面CD1．
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的
中点，求证：EF//平面CD1．
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
线面平行
面面平行
如何过EF作与平面CD1平行的平面?
证法三：取棱AD的中点P，连接EP，FP．
过直线a作平面β交平面α于直线a′ ，
∵ a//α，∴ a//a′．
β
∵ a//b， ∴ b//a′．
∵ b ，a ' ，
b a a′ α
∴ b//α．
命题2 平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行 于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
已知：a ，b ，a / /b，a / /，求证：b//α．
FA B
GD C
例题 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内 灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面，再将容器倾斜．
随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终呈棱柱形；
A1
D1
②没有水的部分始终呈棱柱形；
B1
C1
③水面EFGH所在四边形的面积为定值； F A
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
面，且水面均与四条侧棱相交．
(2)四边形EFGH还是平行四边形吗？ 请说明理由．
A1 B1
D1 C1
H
容器前后两面平行 面面平行
线线平行
E
G
容器左右两面平行 面面平行
线线平行
FA B
D C
总结：本题是一道利用线线、线面、面面平行的判定和性 质解决的实际问题，我们用到了棱柱的定义，还有基本事 实4、线面平行的判定定理和性质定理，以及面面平行的性 质定理．在解题过程中，我们不断进行平行关系的转化， 大家要掌握好转化的方法．
DD1的中点．
A1
D1
B1C1 与A1B1相交； B1C1 与A1D1平行；
B1
C1 F
B1C1与EF异面． 因此该命题不正确．
E
A
D
B
C
命题4 一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其
中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行．
已知：α//β，l//α，l β，求证：l//β．
分析： 线面平行
解析：前面已得“有水部分的几何体
为直棱柱”，由于水的体积没有产生 A1
D1
变化，且该直棱柱的高BC是定值， B1
C1
因此底面BEF的面积是定值． 所以命题⑤正确．
FA E
G D H
综上所述，正确的命题有①②④⑤．
B
C
可以将上述问题归结为：过平面BB1C1C内平行于BC的 一条线段FG作截面，研究截得的几何体的性质问题．
a ，b ，a b P，a / /，b / / / /
a
b
α
P
β
①
③
② 线线平行
④
⑥面面平行的定义
α//β，a⊂α⇒a//β
a α
β
⑦
线面平行
⑤
⑥
面面平行
⑦两个平面平行的性质定理
α//β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒a//b
a
α
γ
b
β
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的
中点，求证：EF//平面CD1．
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的
中点，求证：EF//平面CD1．
⑦
① ②
线线平行
③ ④
线面平行
⑤ ⑥
面面平行
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的
中点，求证：EF//平面CD1．
A1 B1
FE A
B
D1 C1
GH D
C
解析：当有水部分如右图所示时，
由于棱BC在地面上，所以BC始终与水面平行，
由线面平行的性质定理可得：
A1
D1
BC//FG，BC//EH， 因此FG//EH． 所以有水部分始终呈棱柱形．
B1
C1
FA E
G D H
没有水部分容易判断出也是呈棱柱形．
B
C
因此命题①，②正确．
线线平行
l
α
如何在β内找到这条 与l平行的直线呢？
β
线面、面面平行
命题4 一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其
中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行．
已知：α//β，l//α，l β，求证：l//β．
分析： 线面平行
线线平行
l
α
如何在β内找到这条 与l平行的直线呢？
β
线面、面面平行
已知：α//β，l//α，l β，求证：l//β．
由基本事实4可知该命题正确．
命题2 平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行 于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
已知：a ，b ，a / /b，a / /，求证：b//α．
分析：
b a
线面平行
线线平行
线面平行
α
如何在平面α内得到一条直 线，使得它与直线b平行？
命题2 平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行 于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
例题 探究性问题：直线和平面作为空间中的几何元素，我 们考虑三个几何元素的平行关系．命题：“如果有两组几何 元素均具备平行关系，那么第三组几何元素也具备平行关 系”，该命题正确吗？如果命题不正确，请举反例；如果命 题正确，请证明．
解析：命题1 如果两条直线均与第三条直线平行，那么这 两条直线也平行．
证明：过直线l作平面γ分别交平面α、平
面β于直线l′，l′′，
∵ l//α，∴ l//l′．
∵ α//β，∴ l′//l′′ ．
α
∴ l//l′′．
∵ l β，l′′⊂β，
β
∴ l//β．
γ l l′
l′′
命题4 一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其 中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行．
EF 平面CD1，CD1⊂平面CD1，
EF//平面CD1．
证法二：取DD1中点M，CD中点N，连接 EM，MN，NF，
∵ EM是ΔADD1中位线，
∴
EM//AD，且EM=
1 2C，
2
∴ EM//FN，且EM=FN，
∴ 四边形EFNM为平行四边形．
证法二：（接上页）