人教版选修2-1第五章空间向量及其应用解析高中数学教学设计试卷分析.doc

重点列表:
重点名称重要指数
重点1空间向量坐标的基本运算★ ★★
重点2空间两直线的平行与垂直★ ★★★
重点3直线和平面的平行与垂直★ ★★★
重点4平面和平面的平行与垂直★ ★★★
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定
①直线的方向向量：/是空间一直线，A,〃是直线/上任意两点，则称乔为直线/的方向向量，与乔平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.
②平面的法向量可利用方程组求出：设⑦力是平面。

内两不共线向量，〃为平面。

的法向量，
n• &=0,
则求法向量的方程组为,八
n•力=0.
2.用向量证明空间屮的平行关系
①设直线人和厶的方向向量分别为匕•和妝，则厶〃厶（或厶与厶重合）o巾〃v2.
②设直线/的方向向量为r,与平面a共面的两个不共线向量旳和巾，则1// a或Az ao存在两个实数y,使\^= xv,-\-yv2.
③设直线/的方向向量为r,平面Q的法向量为u,则1// a或7c ci <=> vl. u.
④设平面a和卩的法向量分别为⑵,⑴,则a //⑺〃U2.
1.用向量证明空间中的垂直关系
①设直线Z和<2的力向向量分别为//和K?,则Z丄72<=> Vi-L Vi• v>=0.
②设直线/的方向向量为y,平面a的法向量为u,则AL a »〃u.
③设平面a和〃的法向量分别为⑺和出,则a丄Bo山丄u_Qih "4=0.
2.共线与垂直的坐标表示
设 &=（日1,型，&）, b=-（方1, b>., b.i）,则s//人 =久A, <5fe=久bp,越=久厶（久G R）,
日丄Zx=>日•方=0<=>日"i +型A+"厶=0（日，力均为非零向量）.
重点1：空间向量坐标的基本运算
【要点解读】
1.空间向量的坐标表示及运算
(1)数量积的坐标运算
设a= ($],越，日3)9 b= (A, b>y b} 9
则①a±b= (ai±Z?：,氐土b“ &3土厶)；
(§)久a=(人日i,人日“久&):
•方=&/?] + &/%+氐b—
(2)共线与垂直的坐标表示
设a= (c?i9 氏、aJ 9 b= (Z>；b“ b},
贝I」a// b<=>a= A快=>3= A b\、日2=人b“ &<=久厶(久GR),
£丄b<=>a• b=Ou><a"i + &仏+日厶=0(臼，力均为非零向量).
【考向1]平行垂直关系的应用
【例题】已知2=(1, 5, —1), b— (— 2, 3, 5). ⑴若(ka+b) // (a—3b),求实数&的值;
(2)若(ka+b)丄(曰一3®,求实数&的值.
解：左N+b—(左一2、5丘+ 3、— k+ 5)、
a-3A— (7?—4〉一16).
(1) ：■(鮎+ b) II (a— 3.6)、
.k~2 5左+3 一左+5 •_ _4 _ _16
(2)(左甘+ b) _L (a- 3b)、
A U-2)X7+ (5&+3)X (—4)+ ( —左+5)X ( — 16)=0〉解得上=丄~・
【评析】利用向量平行的性质：$〃方(bHO) <=>a= Xb^xy— Ax2f H=人％, z】= 久勿可求解第⑴问的斤值；利用向量垂直的性质：a±b^>a• b=0o简&+乃丿勺+ ?厶=0建立方程可求第(2)问的〃值.
【考向2】向量所成角的应用
【例题】已知空间三点弭(一2, 0, 2), 〃(一1, 1, 2), C( — 3, 0, 4),设日=
AB, b=AC.
⑴若|c|=3且c 〃宛求c；
⑵求已和b的夹角的余弦值；
⑶若ka+b与ka—2b互相垂直，求斤的值.
解：⑴丫甜葩
| c\—\〔一2血)2+ (—血)2+ ( 2nr) 2 —31 四| —3〉isr—土1 ・
/-c= (~2? ~1? 2)或匚=(2〉1〉一2).
(2)-/a=(l, b 0), b=(-l, 0, 2),
a ■ b— (1 ? 1 ? 0) ■ (―0〉2) —— 1.
xi al=^/r+r+o2=V2^ \b\= (-1) 2 + 02+22 = Vs、
Vio
(3)由(2)知&=辺，b =y[5,a • b=~l.
:• (ka~\~H)• (Aa—2b) = lest —ka • b—2B=2k+k—10 = 0,
5
解得k=2或k=—~
=(—2JJJ>—迅,2is) I：®€R)■
故3和D的夹角的余弦值为-
重点2：空间两直线的平行与垂直
【要点解读】
证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直，而直线与平面垂直，平面与平而垂直 可转化为直线与直线垂直证明.
要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证 明两线垂直的基木方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础. 【考向1］平行垂直的判定
【例题】设2,方是不相交的两条直线人，厶的方向向量，试判断下列各条件下两 条直线Z, Z 的位置关系：
⑵a=(5, 0, —2),
(3)a= (_2, 1, 4),
解：⑴由 尸（2> -1, 3）= -2（-1,务一》=一2毎得a/l 又两条直线 儿厶没有交点，所以
5
⑵由于a ・A=5Xl + 0X3—2X-=0^所以ad_爲从而Z 丄Z ・ ⑶由3=（-2, 1, 4）,片（3, 2, -1）可知，不存在任何实数 心使 尸 且a •洋0,则这两条直
线Z 不相交、不平行也不垂直〉故两条直线h h 是不垂直的异面直线.
【评析】先考察两个方向向量是否平行或者垂直，将空间几何问题代数化，用直线 的方向向量之间的计算代替传统的空间几何推理，这是空间向量的最基本的作用, 使用得当非常简便.
【考向2】建立坐标系判定直线位置关系
【例题】如图所示，正方体ABCD-A f B' C D f
的棱长为1, E,尸分别是〃C, CD 上的点，且处'=CF=々（0〈曰<1）,则〃 E 与F 〃、的位置关系是（
A.平行
解：建立如图所示空间直角坐标
b=(3, 2, —1).
(l)a=(2,
B.垂直
系，则〃(0, 0, 1), £(l-a, 1, 0), B' (b
1, 1), AO, l-a, 0),
/. D' E— (1 —a, 1, —1), B' F= l—1, —a,—1).
：.1TE・旷F=(\_a) X ( — 1)+1 X (—日)+ (—1) X (—1)=曰一1一日+1 =
0. ：.lTE丄旷F,即〃E_LB r尺故选B.
心重点3：直线和平面的平行与垂直
【要点解读】
证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量•的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题.
【考向1］判断平行垂直的关系
【例题】如图，在直三棱柱ABC-A^G中，AC=3, BC=4, AB=5, M=4,点〃是力〃的中点.
⑴证明ACA.BQ,
(2)证明/G〃平面CDI人
解：・・•直三棱柱ABC-A^G的底面边长分别为M=3, BC=4, AB=5, :. f\ABC为直角三角形，ACVBC. :.AC, BC, GQ两两垂直.
如图，以C 为坐标原点，直线以，CB, %分别为/轴，F 轴，N 轴建立空间直角 坐标系，则
C(0, 0, 0), J(3, 0, 0), 〃(0, 4, 0), 61(0, 0, 4), 4(3, 0, 4), 3(0, 4, 4),
n •励=#x+2尸0,
丄• CS=4y+4z=0.
取 y=3 得/=—4, z= —3, .\n= ( — 4, 3, —3)・
•••旋• /?=-3X (-4)+0X3+4X (-3)=0.
又 AC& 平面 CDB 、, :. AQ//平面 CDB 、.
【评析】用向量证明直线与平面平行，可以通过证明直线的方向向量与平面内某直 线的方向向量平行，也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，当然， 直线要在平面外.用向量证明直线和平面垂直，可以通过证明直线的方向向量和平
z
|, 2,
(1)证明：・・•兀=(—3, 0, 0),庞=(0, -4, 4), :.AC-^ = 0, AC±BC }. (2)证法一：设個与的交点为氏 连抵DE, 则 £(0, 2, 2), DE=
|, 0, 2),疋=(—3, 0, 4),・・・庞=詠,
DE//AG.
•: DEu 平面 CDB 、, ACA 平面 CDB 、, ・・・/!G 〃平面CDB\.
证法二:易知AC\= (—3, 0, 4), ,2, 0 ,励=(0, 4, 4).设平面。

羽的
亠个法向量为n=
(x, y, z),
面内的两条札I交直线的方向向量分别垂直，也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行.
【考向2】寻找合适的直角坐标系
【例题】如图，在多面体/比0站屮，四边形/磁是正方形，EF//AB. EFLFB, AB = 2EF, ZBFC=90° , BF= FC,〃为比的中点.
(1)求证：旳〃平面卯
(2)求证：丄平面宓
证明：・・•四边形昇〃〃为正方形, :.ABVBC.
人EFH AB、:・EFIBC.
又EFIFB,:・EFA_平面飙：
:・EF丄FH, ABX.FH.
又BF= FC,〃为臆的中点，
:.FHLBC :. FHI平面ABCD.
设弭。

与血交于点G以〃为坐标原点，HB, GH,护所在射线为尢y, z轴，建立如图所示空间直角坐标系.
设BH=\,则水1, -2, 0), 〃(1, 0, 0), C(—l, 0, 0), 〃(一1, -2, 0),
E(0, -1, 1), M0, 0, 1), 0(0, -1, 0).
⑴••彷=(0, 0, 1),產=(0, 0, 1), HF// GE. 乂唸平面妙，HFI面层矽，:.FH//平面切
5. (2)・.・花=(—2, 2, 0),亦=(0, 0, 1), •••疋•亦=0.
:.ACVGE.
又ACA.BD, EGC BD= G, :. AC A.平面妙
重点4：平面和平面的平行与垂直
【要点解读】
用向量证明两个平面平行与垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量的平行与垂直. 【考向1】求二面角
【例题】如图，四边形昇彩为正方形，〃丄平面弭财，PD// QA, QA=AB=gpD.
(1)证明：平面"0CL平面必忍
(2)求二面角Q-BP-C的余弦值.
解：如图，以〃为坐标原点，线段刃的长为单位长，射线如DP, DC为x, y, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz,
(1)证明：依题意有 0(1, b o), CO, 0, 1),尸(0, 2, 0). 则疋u(l, 1, 0), DC=(O ? 0, 1),
商=(「 -b 0)・ 所以姦・乔=0, PQ ・范=0・ 即 PQ V DQ , PQ V DC . 又更故FQ 丄平面DCQ.
又憨:平面PQC,所以平面丄平面DCQ.
(2)依题意有 〃(1, 0, 1),看=(1, 0, 0), 丽=（—1, 2, —1）.
设刀=（简，71, zj 是平面丹C 的一个法向量, n •彥=0,
f^i = 0,
则| 即|
［刀•胁=（）, l-%1+2y,-z 1 = 0. 因此可取刀=（0, —1, —2）・
设加=（&,乃，Z2）是平面磁的一个法向量, 则F 妇’即
h •丙=（）,5_比=0・
由图可知，二面角Q-BP-C 为钝角， 故二面角Q-BP-C 的余弦值为一爱
【评析】由于是常见图形，并且有典型的“墙角”结构，所以利用空间直角坐标系 求解.建系之后又因为垂直关系明显，所以每个点的坐标都很容易标岀，从而给证 明与计算带來方便•须注意的是，此二面角是钝二面角，受部分资料为避免“观
察”，直接令学生求锐二面角的值这一定势思维的影响，不少学生会写错结果，此 题便是一个警示.
【考向2】判定平面与平面的位置关系
【例题】如图，在直三棱柱力处//仏中，ZABC=90° , BC=2, % = 4,点F 在
可取m= (1
1, 1).所以 cos 〈仍，ri)=—或E
O
线段〃3上，且EE = \, D, F,GA的中点.
(1)求证：平面平面外血;
(2)求证：平面以沪〃平面应力
证明：以$为坐标原点，關BC,蹈所在直线分别为I乃屛由建立如图所示空间直角坐标系，贝打(0, 0, 0),负0, 2, 2), R(0, 0, 4), 5(0, 0, 3)； AO； 1, 4).
设BA— a?则£(曰，0, 0),
4(3〉0, 4)・
(1) *：BA= (a, 0, 0), 丽(0, 2, 2),
励
=(0, 2, -2),
・••恥丄鬲，KDLBD,即EDIBA, B\DIBD・又BAC BgB,:・B\D1面/加
・・・§胆面・・・平面力必〃丄平面肋ZZ
(2)T菇螢〉1, 1) £F=(0? 1, 1),
B\.D— (0^ 2 ?—2) ?
••孟・佥二0> K D・赤二0・
二玖DlEG, RD!甌即玖吐EG,玖D］瓯
.•坯「\引=£〉•■厨Dl平面EGF.
又由(1)知氏E丄平面也/ 二平面EGFH平面ABD.难点列表：
难点
名称难度指数
难点1空间角度★ ★★★
难点2空间距离★ ★★★★
难点详解：1•两条异面直线所成的角
①定义：设日，方是两条异面直线，过空间任一点0作直线刃//a, H〃方，则灯与R所夹的锐角或直和叫做臼与血所成的和.
7T
②范围：两异面直线所成心的取值范圉是(。

寸
H • h
③向量求法：设直线臼，力的方向向量为⑦b、其夹几为e,则冇COS&=|COS0冃 ~ I.
\aV\b\
直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面。

的法向量为〃，直线/与平面。

所成的角为0,两向量e与
力的夹角为“，则有sin g=|cos 0丨=］气•
求二面角的人小
⑴如图1, AB.仞是二面角a_l- 0的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的人小0 =
<AB f CD).
Z z
(2)如图2、3, q昇乙分别是二面角a —/—0的两个半平面a, 0的法向量，则二面角的大小
6 =<n A,n2 > (或7i- <n},n2 >).
模、夹角和距离公式
设£= (ril 9戲)9 b=(Z?；9 hu b},
则|曰| =yja・2=寸£+云+云,
/ a ■ b+
cos & b}二丽r彷+云+云・曲+外疾
设/(日i, bi9 ci) 9 b“ Ci)
则"AB -I AB 1= J(°2 — Q| )2 + @2 — b] )2 + (c? — C] )2 .
点面距的求法
如图，设血/为平面G的一条斜线段，刀为平面a的法向量，则〃到平面G的距离d」•"
4点I:空间角度
【要点解读】
1 .求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹和或其补角，无论哪种求法，都应注总和的范围的限定.
2.利用直线的方向向量的夹和求异血直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹和为锐角或直和时，就是此异面直线所成的和；当异面直线的方向向量的夹介为钝角时，其补和才是异面直线所成的角.
1.利用向量法求线面角的方法
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
（2）通过平面的法向量來求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐和（钝角吋取其补
角），収其余角就是斜线和平面所成的角.
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向
量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.
【考向1]求角度
【例题】数列&｝的前/7项和S n=Ari+Bn（A9〃是常数）是数列&｝是等差数列的什
么条件？
解：当门＞1 时〉S D~ 5L-i=2An+ B~
当Ji— 1 时〉3|.= 51=£+后适务=2X4D+B —A,
所以绻=2如+B-显然｛韵是等差数列，故充分性成立.
反之，若&｝是等差数列，则有$=门31 + " 为公差），即+（3l_^）n-
设Qai — g 即得S=An + Bn 因此，必要性成立.
所以S=An +刚（£, B是常数）是数列｛a,｝是等差数列的充要条件•
【评析】在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：①张冠李戴，证明过程中把充分性与必要性搞反了；②证明充分性或必要性时，没有把“Q”（或“/）分别作为条件，推出'V （或“刀”）・如图，在三棱柱AAC、中，〃是正方形AA^B的中心，AA｛= 2y[2f G〃丄平面加//，且C、H=y^・
（1）求异面直线与月&所成角的余弦值；
（2）求二面角0 403的正弦值；
⑶设艸为棱EG的中点，点M在平面AA^B内，且妳丄平面力/G,求线段別的长.
解：如图所示，建立空间直角坐标系，点〃为坐标原点，依题意得水2农，0,
0）, 〃（0, 0, 0）, C （迈，-^2, &）, 4 （2迈，2边，0）, 5（0, 2型,0）, G （辺，£，^5）.
⑴易得朮 =（一乜,—边，质），AyB {— （ — 2^/2, 0, 0）,于是 cos （AC,心〉=
4
_^2
厂3><2迈—3
所以异面直线/ic 与弭&所成角的余弦值为乂2
（2）易知茲=（0, 2晶 0）,
花=（一垃，一晶 诟）. lw ・4G=0,
可得
0, ^2)・
同样地,设平面4砒的一个法向量尸（矶兀逐），则 即{-严竝-爲1+很_0,不妨
q •茲1=0, 1航=0・
设平面血Q 的一个法向量k （岭乃动,则S
9=0,
J —寸^才―寸^召=0・
不妨令Q\民
令"=晶可得冲（0,晶血.
所以二面角04G-R 的正弦值为薛・
（3）由用为棱AG 的中点,
【评析】（1）在空间直角坐标系屮，因为两条异面直线的夹角与它们的方向向量的 夹角是相等或互补的，所以可以通过求出两方向向量的夹角G （Q G （0, □））来求 两异面直线的夹角（0,
但要注意0与a 的区别与联系，这里
关系，所以可通过它们的法向量的夹角来求二面角的大小・（3）直线与平面垂直， 即直线的方向向量与平面内两相交直线垂直，可以确定点必的位置，再利用空间向 量的模求出线段鹿V 的长.
【考向2】动点问题
【例题】如图，個力是边长为3的正方形，DE 丄平面亦BCD, AF//DE, DE=3AF, BE 与平面〃磁所成角为60°・
（1） 求证：/1C 丄平面鬼冯 （2） 求二面角F-BE-D 的余弦值;
由胚V 丄平面佔G,得
>•初=0,
即
乖=0,
（近） --- a 2 \ 7 （近、 --- a x
X （-2A /2）=0 卜（一忑）+（| 血一勺x （W ）+¥ 解得< x^5 =0 日一2， L 因此扇Q ,1/1
r 4・
cos 0 = cos a ・（2）因为二面角的大小与它们的法向量的夹角是相等或者互补的
所以线段冏孑的长
(3)设点必是线段劭上一个动点，试确定点対的位置，使得甸『〃平面砒；并证明 你的结论.
解：(1)证明：因为加丄平面力磁，所以DEI AC.
因为/处9是正方形，所以ACLBD,从而应?丄平面宓
⑵因为処DC,血两两垂直,
所以建立空间直角坐标系阳■呂如图所示.
因为必与平面的处所成角为60° 、即ZZ>55=60°、所以律 ="廳. 由曲=3可知函=3晶如=&・
则弭(3, 0, 0), F(3, 0,托)，£(0, 0, 3托)，方(3, 3, 0), C(0, 3, 0),所以 >=(0, -3,托)，>=(3, 0, 一2&).
设平面〃防的法向量为刀=(%, y, z), —3y+托 z=0,
3x_2 托犷=0.
刀・B 卜'=0, 即
77 • ZF=0,
令 z=&,则 n= (4, 2, &)・
因为北丄平面册；所以鬲为平面宓的法向量，CA= (3, -3, 0),
6 V13 所以cos 〈刀，CA}=
n- CA n
鬲 ~y[26X3y[2~ 捋 * 因为二面角为锐角，所以二面角F-BE-D 的余弦值为亨. 13
(3)可设屈&, t, 0),则如/=(L3, t, 0).
因为仙〃平面BEF, 所以劝• 22=0,即4（Z—3）+2t=0,解得Z = 2・
此时，点必坐标为（2, 2, 0）, BM=*D,符合题意.
难点2：空间距离
【要点解读】
点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如木题，事实上，作肋丄平面6W于H.由丽=丽+•诵及丽・n=n •色,得丨丽•川=| 〃•而| = |丽|・|川，所以|丽= I n • B^f\ nrl, | n • BM\十厂，即
【考向1】点到面的距离
【例题】如图，正方体ABCD-AMD,的棱长为4,动点"在棱上・
⑴当4片*/时，求CP与平面DM所成角的止弦值;
3
⑵当川4/1/时，求点C到平面〃莎的距离.
解：如图，以〃为坐标原点，建立如图空间直角坐标系D-xyz.
由题设知正方体棱长为4,则〃(0, 0, 0),昇(4, 0, 0), 3(4, 4, 4),川(4, 0, 4), 〃(0, 0, 4), C(0, 4, 0).
(1)由题设可得P(4 2> 4),故寿=(4, 一2, 4).
\'AD1_平面玖DCg
・••茹=（4, 0, 0）是平面几呢G 的法向量，设所求角为J
2
・••少与平面鸟现匕所成角的正弦值为彳
(2)・・•庞、=(0, 4, 0),设平面〃必的法向量门=(x, y, z),・・・P(4, 3, 4), DI)} =
(0, 0, 4),彥=(4, 3, 4).
的一个取值为（一3, 4, 0）.
【评析】（1）彷与平面〃ZTG 所成角的正弦值等于弟平面的法向量励所成角的余 弦值，这两个角互为余角；⑵求C 到平面〃莎的距离转化为求庞（平面〃〃的一 条斜线段）在平面的法线上的射影的长. 【考向2］二面角问题
【例题】如图，△〃（力与△沏力都是边长为2的正三角形，平面.忧》丄平面滋
■'■sin 8—遇〈竝序〉
n ・场=0,
刀■ DP=0, Z=0 y
即 J+3y+4z=0 令—，
则 y=4.
•:点Q 到平面〃刃7
的距离为d=
n- DC 16
n\ ~ 5*
9, 丄平面沏，AB=2y^.
I X / \\ lx/ X\ I X /
(1)求点力到平面沏咒的距离；
(2)求平面与平面跑所成二面角的正弦值.
解：取Q中点0,连接〃，0M,则加丄皿，OMVCD.
又平面』亿Z?丄平面BCD,则脸丄平面BCD.
以0为原点，直线如B0,如为/轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标
系.
易舟OB=OM=£,则各点坐标分别为0（0, 0, 0）, c（i, 0, 0）, J/（0, 0,羽）, 〃（0, —羽，0）,昇（0, —羽，2^3）.
⑴设平面磁的一个法向量 >=（七y>动-
（1,晶 0）〉萌〉巒,
” + 岛=0,
[£_^+小呂=0・
取呂=1,则尸（呦，-1, 1）・
又壶=（0, 0, 一2寸5）,
・•・点丄到平面磁的距
离
⑵设平面北掰的一个法向量n= （^, y”刃・
・・•页-（一1, 0,萌），鬲=（一1, 一萌，
2羽）,
刀・爲-0, 刀•鬲=0, _加 即
1 — ^1 +寸5乙=0, —萌力+
2羽力=0.
即 AB ■
d=
取 Zi=l,则 /]=(£, 1, 1).
又畀〃丄平面BCD,：而是平面跑的一个法向量.
・：cos 〈厂,AB) o
・・・平面九掰与平面跑所成二面角的正弦值为討^ 刀•而 一2七 _逅 ］刀| |為|书X2书 5
/•sin
〈
/b AB)
PA = AD = i ,求顾、反的坐标.
4.如图，在三棱柱ABC — AQG 中，面ABB.A.为矩形，AB = BC = \,AA } =V2,D 为人人的
证明：CD 丄
5.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底^ABCD 为直角梯形，AD//BC, ZADC = 905,平面
PAD 丄底面ABCD, 0为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA = PD = AD = 2, BC = 1, CD = y/3.
(II)
若。

C 斗，求BC 与平面ACD 所成角的正弦值.
〃=角 + 2e 2 + 3©，d = xa + yb + zc , 则x, y, z 的值分别为（ ）
A. r _L 4
B.
C-
D. 2. 卜•列各组向量中不平行的是（
A. a = (1.2-2), b=(-2-4A)
B. c = (1,0,0), d = (-3,0,0)
C. 0 = (230)，/ = (0,0,0)
D. g = (—2,3,5), A =(16,24,40) 3. 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,
W 分别是AB. PC 的中点，并且
中点, BD 与AB 、交于点Q BC 丄AB 、.
H
(1)求证：平面PQB丄平面PAD；
(2)若PM =3MC ,求二面角M-BQ-C的大小.
6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA = PB = AB = 2y BC = 3,ZABC = 90°,平面丄平
面ABC.D. E分别为AB. AC中点.
(1)求证：DE//平面PBC；
(2)求证：A〃丄PE；
(3)求二面角A-PB-E的大小.
7.如图1,在乙4 = 45。

的平行四边形ABCD中，DO垂直平分AB t且= 现将△ADO沿
DO 折起(如图2) , ® AC = V6 •
ra I re:
(I )求证：直线AO丄平面OBCD；
(II)求平面AOD与平面ABC所成的角(锐角)的余弦值.
8.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD丄底面ABCD, PD=DC. E是PC 的中点，作EF丄PB交PB于点F.
(1)证明PA〃平面EDB；
(2)证明PB丄平面EED；
(3)求二面角C-PB-D的大小.
9.如图，在直三棱柱ABC-A.B.C,中，AB = 2, AC = AA, =4, ZABC = 90°.
(1)求三棱柱ABC — AdG的表面积s；
(2)求异面直线AB与AC所成角的余弦值.
10.如图，己知长方形ABCD中，AB二2, AD=1, M为DC的屮点.将△ADM沿AM折起，使得平面ADH 丄平面ABCM, E为BD的中点.
(1)求证：BM丄平面ADM；
(2)求直线AE与平面AD\I所成角的正弦值.
亲爱的同学:
经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地
示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想
的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考岀好成绩！你有没有做到这些呢？
是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成
怎样调整好考试心态
心态就是一个人的心情。

心情的好坏，会直接地影响我们工作、学习的效果。

你也能看到，在体育比赛中，由于心理状态的
起伏，参赛选手的发挥会跟着有较大的起伏。

同样的道理，心理状态的正常与否对参加考试的同学来说也至关重要。

心理方面的任何失衡都会使你手忙脚乱，得分率降低，平时掌握的内容也有可能发挥不出来；相反，保持良好的心态，则会使你如虎添翼，发挥出最佳水平。

加强心理调整，保持考前状态
考试中的心理偏差有两种：一是过于放松，难以集中注意力，总是想起别的东西；二是过于紧张，心跳加快，手心出汗，有头晕的感觉。

那么如何进行考前的心理状态调整呢？考前应该按照一定的时间顺序进行自身的心理状态调整。

在考前10天：每个学生的实力已经定型，一般无论怎么用功，水平也不会有显著地提高。

所以，考生在这个时段主要应该进行一些提纲挈领的复习，即考前复习要有所侧重，特别是检查一下重点内容的掌握情况，如老师明确指定和反复强调的重点内容，自己最薄弱的、经常出错的地方。

所以，考前10天考生宜看书而不宜做题。

通过看书可以温习已有的知识，增强自信心，而做题则不同，一旦题目太难，就会挫伤自信心。

另外，考试前人的精神往往高度集中，理解力和记忆力在短期内急剧提高，因此在这个时段内应该加强记忆方面的知识，如历史、地理、政治、
英语等，但是也不可过度紧张而耗费考试时的精力。

在考前3天：这个时间很多学生认为万事大吉，完全不沾书本，这是十分错误的。

重要内容虽然已经掌握了，但还是要适当浏览一下，如历史、地理、政冶的基本知识、语文的文学常识、英语的单词、数学的公式等。

对自己已经考过的试题应该看一看，把经常出错的地方再强化一下，适当地做一点“热身题”。

所以，在考前3天还要适当地翻阅一下书本，这样做不仅使这些重点内容始终在大脑中处于待提取的激活状态，而且可以使自己心里踏实。

在这3天，应该调整自己的心理状态，切不要把弦绷得太紧，应该适当地放松自己，如通过散步、和家人聊天、听音乐等方式调整自己的心态。

此外，还应该做好考试的物质准备，如文具、准考证、换冼的衣物、考试中提神的香水等。

在考前1天：考试前1天仍然有许多准备要做，不要认为“万事俱备，只欠东风”，也不要“破罐子破摔”，听天由命。

在这天应注意以下问题，第一，注意自己的饮食，考前1天应该遵循自己平时的饮食习惯，可以多加几个菜，适当增加肉蛋类食品，但不要为了补充能量而暴饮暴食，以免消化不良，直接影响第二天的考试；第二，不要参加剧烈的运动，以免体能消耗过大或发
生其他的意外，从而影响第二天的考试。

也不要长时间地玩棋牌、上网打游戏，以免过度兴奋。

适当的放松和休息应该是最后一天的主旋律；第三，熟悉考场，应该仔细考察通往考场所在地的交通线路，选择路程最短、干扰最少、平时最熟悉的路线，还应该考虑如果发生交通堵塞后的应对措施。

对考场所在学校、楼层、教室、厕所以及你的座位位置都要亲自查看，做到心中有数，以防止不测事件的发生；第四，要认真检查考试时所使用的准考证、文具等，并把它们全部放在文具盒内，以保证第二天不出现慌忙现象；第五，如果有的同学不看书心里就不踏实，还要临阵磨枪，那就不妨把第二天所考科目的课本随意翻阅一遍，但不可太动脑筋。

如果有的同学不愿再看书，那就听一些轻松欢快的音乐，以放松一下自己；第六，严格按照平时的作息时间上床睡觉，不应太晩，也不宜太早，以免成太早或太晚上床而又不能及时入睡。

睡前可用温水洗脚，以帮助自己睡眠，如数数、深呼吸等。

切不要服用安眠药，因为安眠药会抑制人的大脑，导致第二天考试不够兴奋。

要增强自信心
要获取好成绩，一定要有自信心。

这如同体育运动员一样，要在比赛中获取好的名次，应该具有良好的竞技状态，以保证自
己能够发挥出最好的水平。

考生在进入考场之前，多想一些有把握获取好成绩的条件，如“自己已经全面和系统地复习了”，“考试就像平时测验，无非在这里多做几道题而已”，尽量回忆和憧憬一些美好的事情，设法使大脑皮层产生兴奋中心，产生一种积极的情绪。

自我放松，缓和紧张的心理状态
常用的自我放松训练有以下几种：
呼吸松弛训练。

坐在座位上，双目微闭，两脚着地, 双手自然放在膝上，脚与肩同宽。

然后进行腹式呼吸3~4 次。

吸气时用鼻慢慢地吸，先扩张到腹部，在扩张到胸部，吸足气后屏一屏气，然后用鼻和嘴将气慢慢地吐出，这个过程连续多次就可以达到平静的心理状态，消除紧张和忧虑的效果。

肌肉松弛训练。

考试时，坐姿要放松，一旦双手发生颤抖或有紧张情绪，可迅速拉紧所有的肌肉，然后立即解除紧张、也可马上做深呼吸，反复两三次，这时全身肌肉必会放松，就可避免生理、心理紧张加剧而引起的恶性循环。

转移想象训练。

转移也是保持良好心境的一种方式。

如涂抹一点清凉油，听听音乐，从事散散步、游泳等不剧烈的体育运动，使心态平衡，头脑清醒，紧张缓解。

自我暗示训练。

要善于利用自我暗示语的强化作用。

如可以暗示自己“今天精神很好”，“考出好成绩是有把握的”等等。

自我
暗示语要简短、具体和肯定，要默默或小声对自己说（不让他人听见，不影响他人答题），这样，可以通过听觉说话运动觉等渠道，反馈给大脑皮层的相应区域，形成一个多渠道强化的兴奋中心，能够有效抑制怯场。

情景模拟训练。

同学们参加模拟考试时，或在平时考试过程中，有意识地进行练习和放松训练，从而保证高考
时有良好的心态。

浏览全卷，制定答题方案
考试时一般是提前5分钟发卷，考生应充分利用好这5 分钟，首先把整个考卷浏览一遍，对题目难度、题量、题型、答题要求、分值等做到心中有数。

然后确定自己的答题方案，即对自己答题的
做出全局性的安排, 同时还应预留检查全卷的时间。

浏览
顺序和在各个题目上的时间分配全卷可以对所有的题目在头脑中留下一个印象，在答题时有助于各个题目之间的相互联想，这对于开阔思路，消除记忆堵塞现象有好处。

在浏览全卷的过程中，发现自己熟悉的不要过分狂喜，发现自己不会的也不要过分紧张，要保持镇定的心态，应该想到：“我难人亦难，我易人亦
审清题意，细心答题
做题前首先要认真审题，明确题目的要求，避免盲目答题。

审题的内容包括：看清题型和题目的具体要求，还包括审准题目所提供的信息。

尤其是文科课程的考试，能否从阅读材料中准确地找到所需信息，合理演绎，大胆猜测，反复推敲词意句意，往。