现代信号处理第6章连续小波变换

高倍工频分量影响已剔除，轴心
轨迹光滑度提高，不规则度减少， 其分形盒维数1.3536相对原始轴 心轨迹也有所减少
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谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
第3层谐波小波 包分解后，第0、 1频段合成轴心 轨迹及分形盒 维数
图(d)分形盒维数1.2604
较前图有所减少，但其分
形盒维数为明显比正常机
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6.1.4 谐波小波滤波
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6.1.4 谐波小波滤波
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6.1.4 谐波小波滤波
为了对信号的某一特定频段的成分进行研究，在对信号的 谐波小波分解进行重构时可将其它频段的谐波小波系数置 为“0”，只保留该段的小波系数，由于谐波小波的正交性， 如此重构的结果只包含信号该频段的成分，其它成分都被 剔除了。这个算法与本节开始所给出的算法是一致的，实 际是谐波小波重构算法的延伸，是对信号进行了滤波，我 们称这一过程为谐波小波滤波。
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
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小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
分形
小波
分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同， 小波变换从低Biblioteka 辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总
体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和 分形都具有自相似性，两者结合是可行的。
因此，w(t)及其伸缩平移函数族构成信号的正交基。以谐波小
波作为基函数系就可以将信号既不交迭，又无遗漏地分解到相
互独立的空间，实现将信号成整理分pp分t 解到不同频段 。
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6.1.2 Newland快速算法
谐波小波构成了L2 ( R ) 空间的规范正交基，则任何信号x ( t ) L2 ( R ) 都可以表示为谐波小波的线性和，即
分解是一种小波分解
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6.1.1谐波小波的定义及正交性
当j 0，W()与V()在频域中总处于不同的频段，因而总有
说明处于不同层的谐波小波总是正交的 对于处于同层的谐波小波w(t)，w(t – k) , 其中(k 0, k Z)，
说明处于第零层的谐波小波也是正交的。对其它层，以上 结论可以类似得到 。
aj,k为函数x(t)的小波展开系数
用求内积的方法计算小波展开系数运算量太大，是很不实用的。 因此谐波小波的提出者Newland给出了一种快速算法，可以 快速而精确地求得谐波小波分解，对谐波小波运用于工程实践 有很大好处。
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6.1.2 Newland快速算法
Newland快速算法是通过信号的快速傅里叶变换FFT和快速 傅里叶逆变换IFFT实现。设有离散信号x (r)，r = 0,…, N – 1,其中N = 2n，其谐波小波分解为as , s= 0,…, N – 1。令
组大，这说明低频喘振的
确是一种低频不平稳性振
动。图(f)的1.3501盒维数
说明低频喘振不但自身是
不平稳的晃动，而且影响
着二倍频区的稳定性，导
致二倍频区也有晃动现象
发生
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6.2 Laplace小波特征波形相关滤波
6.2.1 Laplace小波及其特性 6.2.2 Laplace小波基函数相关滤波 6.2.3 应用实例
由于离散信号的最高分辩率为采样间隔Δ t，所以上式的极 限是无法按其定义Δ→0求出。实际计算时一般采用近似方 法，即将Δ网格视为最小网格，然后逐步放大为kΔ网格， k∈Z+，令
则网格宽度为kΔ的信号x(j)的网格计数为
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小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
在lg kΔ~ lg NkΔ图中确定线性好的一段为信号无标度区 ，如 果无标度区的起点和终点分别为k1，k2，则在此区域内，应 该满足线性回归模型 这样，用最小二乘法可求得信号x(j)的盒维数为
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冲击响应信号检测的意义
振动信号中出现冲击响应波形往往标志着旋转机械设备发生 松动、碰撞、冲击等故障。如何从强大的工频振动、谐波振 动和背景噪声中提取出冲击响应信号的发生时刻、振荡频率 和阻尼比等参数对设备故障的诊断和定位至关重要。
在往复机械中，活塞、连杆、气阀等运动部件对系统具有相
同的激励频率，在频谱上频率特征互相重叠，很难分辨。然
而，各个运动部件对系统施加的冲击并非同时发生，即相互
之间有一定的相位差，因此在时域上表现为一系列有一定时
间间隔的冲击响应波形，每一个冲击频率与某个特定运动部
件相对应，如果将这些单个冲击响应波形提取出来，分别用
特征参数表示，即可对往复机械机构的状态进行趋势分析和
诊断，因此，冲击响应信号的提取对往复机械故障诊断意义
轴心轨迹较为复杂且不规则，加之
较小的高倍工频分量影响使得轴心
轨迹有一些局部能量突变点，且其
整理p分pt 形盒维数也比较大。
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谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
X方向、Y方向信号的第2层谐波小波包分解 与第0频段合 成轴心轨迹及其分形盒维数
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第0频段小波对应的是低频喘振、 工频振动和二倍频振动的特征，
谐波小波滤波计算过程并未采用基于隔二抽取的Mallat算
法，因此保证了信号各频段成分点数不变，采样频率不变，
这样就可以实现机组同一截面互相垂直两个方向振动信号
的轴心轨迹合成。
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6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波包变换
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6.1.5 谐波小波应用
小波变换只是把信号从时间域变换到时间—尺度 域或时间—频率域，如何从小波变换后的信号中提取 机械动态信息和故障特征才是工程应用领域最关心的 问题。因此，为了使小波分析技术达到工程实用化， 必须研究开发小波变换信号再处理技术
第六章 连续小波变换及其工程应用
6.1 谐波小波变换及其工程应用 6.2 Laplace小波特征波形相关滤波 6.3 Hermitian连续小波变换与信号奇异性识别
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引言
小波分析中被广泛使用的Daubechies类小波与样 条小波都是实小波，它们没有明确的解析表达式， 对信号的小波分解是通过构造相应的正交滤波器系 数{hk}和{gk}运用Mallat快速算法实现的。 除了这两类小波，其它类型的小波基函数也被陆续 构造出来并且得到了深入研究和工程运用。
本章介绍三种在工程实际应用中取得了理想效果的 连续小波基函数，它们都具有明确的解析表达式。 这三种连续小波分别是谐波小波、Laplace小波和 Hermitian小波。
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6.1 谐波小波变换及其工程应用
6.1.1谐波小波的定义及正交性 6.1.2 Newland快速算法 6.1.3 谐波小波时频图 6.1.4 谐波小波滤波 6.1.5 谐波小波应用
小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解 到正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号 的盒维数， 用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂 程度
由于一维离散信号的盒维数是介于1和2之间的一个实数， 信号越复杂维数越大
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小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
设离散信号 x(j)X,X是n维欧氏空间Rn上的闭集。将Rn划分 成尽可能细的Δ网格，若是网格宽度N Δ为Δ的离散空间上集 合X的网格计数。盒维数定义为 :
as由Fs经分段、对每一段作IFFT得到，下两式为其表达式：
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6.1.2 Newland快速算法
下图表示一数据长度为16的实序列的谐波小波分解示意图
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6.1.3 谐波小波时频图
谐波小波分解结果一般用 小波时频图（Wavelet Time-Frequency Map）直 观表示。 在各网格以as模的平方为高 作柱体就构成了谐波小波 时频图。小波时频图是随 |as|2起伏的面。这里高度取 lg|as|2。
谐波小波分解系数，低频频带内的数据点数少，高频频带内 的数据点数多。
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6.1.4 谐波小波滤波
旋转机械状态监测与故障诊断利用机组同一截面两路相互 垂直振动信号的合成轴心轨迹来监测其运行状态和识别故 障类型。当设备出现故障时，信号表现出非平稳特性，而 小波变换对处理非平稳信号是非常有效的，我们可以用相 互垂直的X方向与Y方向的小波分解结果来合成轴心轨迹。
即盒维数是最小二乘法拟合直线斜率的估计值
小波分解l次后第i频带信号 xl,i (n)
的盒维数分别记为
d
l B
,
i
，可
以作为无量纲指标来描述振动信号在不同尺度下和不同频
带内的复杂性和不规则性，从而提取出故障出现时信号的
非平稳特征。
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谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
某大型化肥厂CO2压缩机发生喘振时，高压缸水平方向（X 方向）和垂直方向（Y方向）由涡流式位移传感器拾取的振 动信号，转子转速6530r/min，采样频率2000Hz，数据 长度1024点。
重大。
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Laplace小波的引入
使用与信号波形最匹配的基函数对信号进行分解、提取出 隐含故障特征是故障诊断专科门诊思想的精髓。
自从将小波分析引入到机械故障诊断领域以来，我们就一 直在寻找一种小波，它在满足小波的基本条件的同时，应 该具备与冲击响应信号类似的单边衰减性质。
对一个二阶欠阻尼系统进行Laplace反变换，Strang G.构 造出了Laplace小波，该小波在复数空间内为螺旋衰减曲线， 其实部和虚部与单自由度结构系统的自由衰减响应函数非 常相似。Lawrence C. Freudinger等人将Laplace小波成功 应用于无人驾驶飞机机翼模态参数的识别，取得了良好的 效果
Mallat算法分解时要隔二抽一，从而使得小波分解各层的 数据点数和采样频率随分解层次增加而逐渐减小。这样， 直接对运行转子垂直、水平方向振动信号进行小波分解， 采用同一尺度同一频段的分解数据合成轴心轨迹，将使轴 心轨迹不但不具有可比性，而且由于数据点数减少、采样 频率降低会使合成的轴心轨迹失真，这种直接合成轴心轨 迹的方法是不合适的。
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的
数据点数。
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6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下 面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m， 当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明 显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序 列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于 转子轴心轨迹分析
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6.1.1谐波小波的定义及正交性
根据小波理论对谐波小波进行伸缩、平移就生成谐波小波 函数族（j, kZ）：
设w (t)伸缩平移得到函数族为v(t)，即 其频谱为
随着小波层（即j）的变 大，谐波小波的频谱宽 度倍增而幅值降低
分析频宽从高频到低频是以1/2关系逐渐减小的，对信号的低
频部分划分比较细，而高频部分划分比较粗，这说明谐波小波
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算 谐波小波轴心轨迹阵列的实现及其不规则度描述
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6.1.1谐波小波的定义及正交性
谐波小波(harmonic wavelet)是由剑桥大学D. E. Newland教授在1993年提出的。 谐波小波是一种复小波，在频域紧支，有明确的函 数表达式，其伸缩与平移构成了L2(R)空间的规范 正交基。 谐波小波小波具有完全“盒形”的频谱。 谐波小波分解算法是通过信号的快速傅里叶变换 （FFT）及其逆变换（IFFT）实现的，算法速度快， 精度高，因而具有很好的工程应用价值。
由Parseval公式得到 ，谐波小波分解结果表明不同频率和 时间的谐波小波能量对整个信号能量贡献的大小
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6.1.3 谐波小波时频图
下图为信号x (r) = sin(2×15tr)，( r = 0 , … , 511；tr = r / 320 )的波形及谐波小波分解时频图。该信号是单一频率的， 所以谐波小波分解只有一个层有值，在小波时频图上表现 为对应的层有峰值。
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6.1.1谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
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6.1.1谐波小波的定义及正交性
W()所对应的函数w (t) = we (t) + iwo (t)由W()的傅里叶逆 变换得
w (t)函数为谐波小波，它是复小波，在频域紧支，且具有完全 “盒形”的频谱。