2017年广东省佛山市高二上学期期末数学试卷与解析答案(文科)

2016-2017学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）过点A（2，1），且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣5=0
2．（5分）“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+1=0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）若命题“p∧（￢q）”与“￢p”均为假命题，则（）
A．p真q真B．p假q真C．p假q假D．p真q假
4．（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，则l平行于α内的所有直线
B．若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β
C．若l⊂β，l⊥α，则α⊥β
D．若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l
5．（5分）在两坐标轴上截距均为m（m∈R）的直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，则m=（）
A．B．7 C．﹣1或7 D．﹣或
6．（5分）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为60°，则此圆锥的表面积为（）
A．3πB．5πC．7πD．9π
7．（5分）已知直线x=1上的点P到直线x﹣y=0的距离为，则点P的坐标为（）
A．（1，﹣1）B．（1，3） C．（1，﹣2）或（1，2）D．（1，﹣1）或（1，3）8．（5分）已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）
A．48 B．54 C．24D．36
9．（5分）已知点A（，0）和P（，t）（t∈R），若曲线x2+y2=3上存在点B 使∠APB=60°，则t的最大值为（）
A．B．2 C．1+D．3
10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，
过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线的离心率为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）
A．B．C．2 D．3
12．（5分）矩形ABCD沿BD将△BCD折起，使C点在平面ABD上投影在AB上，折起后下列关系：①△ABC是直角三角形；②△ACD是直角三角形；③AD∥BC；
④AD⊥BC．其中正确的是（）
A．①②④B．②③C．①③④D．②④
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．
14．（5分）已知椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），并且过点（2，
），则该椭圆的标准方程是．
15．（5分）四面体ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，DB=5，AC=，AD=，则四面体ABCD外接球的表面积是．
16．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，直线l：ax﹣y﹣4a+2=0（a∈R）与圆C相交于M、N两点，设P（4，2），则|PM|+|PN|的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）已知某几何体如图1所示．
（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1），画出
几何图形的侧视图，并求该侧视图的面积；
（2）求异面直线AC与EF所成角的余弦
值．
18．（12分）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B坐标为（2，﹣1），C、D均在第一象限．
（I）求直线CD的方程；
（II）若|BC|=，求点D的横坐标．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点．
（I）证明：EF⊥CD；
（II）若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．
20．（12分）已知动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为．（I）求动点P的轨迹方程；
（II）若点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（﹣4，2），是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，AA1=2，AD=1，E、F 分别是AA1和BB1的中点，G是DB上的点，且DG=2GB．
（Ⅰ）求三棱锥B1﹣EBC的体积；
（Ⅱ）作出长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面（只要作出，说明结果即可）；
（Ⅲ）求证：GF∥平面EB1C．
22．（12分）已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，∠MFx=60°且|FM|=4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点P在y轴正半轴，直线PF交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，其中y1＞0，y2＜0，试问﹣是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
2016-2017学年广东省佛山市高二（上）期末数学试卷（文
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）过点A（2，1），且与直线x+2y﹣1=0垂直的直线方程为（）A．x+2y﹣4=0 B．x﹣2y=0 C．2x﹣y﹣3=0 D．2x+y﹣5=0
【解答】解：设要求的直线方程为：2x﹣y+m=0，
把点A（2，1）代入可得：4﹣1+m=0，解得m=﹣3．
可得要求的直线方程为：2x﹣y﹣3=0，
故选：C．
2．（5分）“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+1=0平行”的（）A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若“a=3”成立，则两直线的方程分别是3x﹣2y﹣1=0与6x﹣4y+1=0，k1=k2=．
所以两直线一定平行；
反之，当“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+1=0平行”成立时，有=，所以a=3；所以“a=3”是“直线ax﹣2y﹣1=0与直线6x﹣4y+1=0平行”的必要充分条件，
故选：A．
3．（5分）若命题“p∧（￢q）”与“￢p”均为假命题，则（）
A．p真q真B．p假q真C．p假q假D．p真q假
【解答】解：∵命题“￢p”为假命题，
∴p为真命题，
又∵“p∧（￢q）”为假命题，
故命题“￢q”为假命题，
∴q为真命题，
故选：A．
4．（5分）已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（）A．若l∥α，则l平行于α内的所有直线
B．若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β
C．若l⊂β，l⊥α，则α⊥β
D．若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l
【解答】解：由线面平行的性质定理：若l∥α，l⊆β，α∩β=m，则l∥m可知，A错误；
若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α、β位置关系不确定，B错误；
根据平面与平面垂直的判定定理，可知C正确；
由平面与平面平行的性质定理，可知D不正确．
故选C．
5．（5分）在两坐标轴上截距均为m（m∈R）的直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，则m=（）
A．B．7 C．﹣1或7 D．﹣或
【解答】解：设直线l1的方程为2x+2y﹣2m=0，
∵直线l1与直线l2：2x+2y﹣3=0的距离为，
∴=，
∴m=﹣或，
故选D．
6．（5分）已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为60°，则此圆锥的表面积为（）
A．3πB．5πC．7πD．9π
【解答】解：设母线长为l，则，
解得：l=6．
∴圆锥的表面积为π•1•6+π•12=7π，
故选：C．
7．（5分）已知直线x=1上的点P到直线x﹣y=0的距离为，则点P的坐标为（）
A．（1，﹣1）B．（1，3） C．（1，﹣2）或（1，2）D．（1，﹣1）或（1，3）【解答】解：设P（1，b），则=，
∴b=﹣1或3，
∴P（1，﹣1）或（1，3），
故选D．
8．（5分）已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）
A．48 B．54 C．24D．36
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，
则m≥2，
则m取最小值2时，阴影部分的面积最小，
由得，即C（2，﹣6），
由得，即A（2，12），
由得，即B（﹣4，0），
则三角形的面积S=[2﹣（﹣4）][12﹣（﹣6）]==54，
故选：B．
9．（5分）已知点A（，0）和P（，t）（t∈R），若曲线x2+y2=3上存在点B 使∠APB=60°，则t的最大值为（）
A．B．2 C．1+D．3
【解答】解：由题意，PB与圆相切，∠APB=60°，t取得最大值或最小值，
t取得最大值时，tan30°=，∴t=3，
故选D．
10．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，
过F作垂直于x轴的直线与双曲线相交于B、C两点，若△ABC为直角三角形，则双曲线的离心率为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意，当x=﹣c时，y=±
∵△ABC为直角三角形，
∴=a+c
∴c2﹣a2=a（a+c）
∴c﹣a=a
∴c=2a
∴e==2
故选：A．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）
A．B．C．2 D．3
【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；
又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．
设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，
则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，
∴0≤k≤
∴k的最大值是．
故选B．
12．（5分）矩形ABCD沿BD将△BCD折起，使C点在平面ABD上投影在AB上，折起后下列关系：①△ABC是直角三角形；②△ACD是直角三角形；③AD∥BC；
④AD⊥BC．其中正确的是（）
A．①②④B．②③C．①③④D．②④
【解答】解：已知如图：折起后C记为P点，
由P（C）O⊥底面ABD，可得P（C）O⊥AD，
又由AB⊥AD，
可得：AD⊥平面P（C）AB，
进而AD⊥P（C）B，
又由PD（CD）⊥PB（CB），
故PB（CB）⊥平面P（C）AD，
故PB（CB）⊥P（C）A，
即：△ABP是直角三角形；
即：△ABC是直角三角形；
故①正确；
由①中，AD⊥平面P（C）AB，
可得：AD⊥P（C）A，
即②△APD是直角三角形，
即△ACD是直角三角形，
故②正确；
AD与BC，异面，故③错误；
由①中，AD⊥平面P（C）AB，
可得：AD⊥P（C）B，
即AD⊥BC，
故④正确；
故选：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．
【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：
∃x∈R，x2+x+1≤0．
故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．
14．（5分）已知椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），并且过点（2，
），则该椭圆的标准方程是．
【解答】解：椭圆的两焦点坐标分别是（﹣2，0）、（2，0），可得c=2，
设椭圆方程为：，椭圆经过点（2，），
可得：，解得a=4，
则该椭圆的标准方程是：．
故答案为：．
15．（5分）四面体ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，DB=5，AC=，AD=，则四面体ABCD外接球的表面积是29π．
【解答】解：由题意，DC⊥AC，DC⊥BC，AB⊥BC，
将四面体扩充为长方体，体对角线长为=，
∴四面体ABCD外接球的表面积是=29π．
故答案为29π．
16．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，直线l：ax﹣y﹣4a+2=0（a∈R）与圆C相交于M、N两点，设P（4，2），则|PM|+|PN|的取值范围是（4，4] ．【解答】解：把直线l的参数方程，
代入x2+y2﹣4x=0，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，
由△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，
又α∈[0，π），∴α∈（0，），
∴t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．
∴t1＜0，t2＜0．
∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4sin（α+），
由α∈（0，），可得α+∈（，），∴＜sin（α+）≤1，
∴|PM|+|PN|的取值范围是（4，4]．
故答案为（4，4]．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）已知某几何体如图1所示．
（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1），画出几何图形的侧视图，并求该侧视图的面积；
（2）求异面直线AC与EF所成角的余弦
值．
【解答】解：（1）侧视图如图所示：
其中S=3×4+×4×3=18；
（2）∵AC∥DF，
∴AC与EF所成的角即为∠DFE，
在△DEF中，DF=4，
又AB=2，
则DE=，
∵△DEF为等腰三角形
∴cos∠DFE==，
∴异面直线AC与EF所成角的余弦值为
18．（12分）如图，面积为8的平行四边形ABCD，A为坐标原点，B坐标为（2，﹣1），C、D均在第一象限．
（I）求直线CD的方程；
（II）若|BC|=，求点D的横坐标．
【解答】解：（I）由题意，k AB=k CD=﹣，
∴直线CD的方程为y=﹣x+m，即x+2y﹣2m=0，
∵S=8，|AB|=，
∴=，
∴m=±4，
由图可知m＞0，∴直线CD的方程为y=﹣x+m，即x+2y﹣8=0；
（II）设D（a，b），若|BC|=，则|AD|=，
∴，∴点D的横坐标a=1.2或2．
19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，BC⊥CD，AD⊥平面BCD，E、F分别为BD、AC的中点．
（I）证明：EF⊥CD；
（II）若BC=CD=AD=1，求点E到平面ABC的距离．
【解答】（I）证明：取CD的中点G，连接EG，FG，
∵E为BD的中点，∴EG∥BC，
∵BC⊥CD，∴EG⊥CD，
同理FG∥AD，AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，∴FG⊥CD，
∵EG∩FG=G，∴CD⊥平面EFG，
∴EF⊥CD；
（II）解：S
==，S△BCE==，
△ABC
设点E到平面ABC的距离为h，则，∴h=，
即点E到平面ABC的距离为．
20．（12分）已知动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为．（I）求动点P的轨迹方程；
（II）若点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（﹣4，2），是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（I）设P（x，y），则
∵动点P与两个顶点M（1，0），N（4，0）的距离的比为，
∴2=，
∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；
（II）由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x+4）2+（y﹣2）2=36，
∴3x2+3y2+16x﹣12y+32=0，
∵x2+y2=4，
∴4x﹣3y+11=0，
圆心到直线4x﹣3y+11=0的距离d=＞2，
∴直线与圆相离，
∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．
21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，AA1=2，AD=1，E、F 分别是AA1和BB1的中点，G是DB上的点，且DG=2GB．
（Ⅰ）求三棱锥B1﹣EBC的体积；
（Ⅱ）作出长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面（只要作出，说明结果即可）；
（Ⅲ）求证：GF∥平面EB1C．
【解答】解：（Ⅰ）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=，AA1=2，AD=1，E、F分别是AA1和BB1的中点，G是DB上的点，且DG=2GB，
∴，
点E到平面B1BC的距离为AB=，
∴三棱锥B 1﹣EBC的体积V=××AB=．
（Ⅱ）取AD的中点M，连结EM，MC，
则EMCB1是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EB1C所截的截面．
证明：（Ⅲ）设MC∩DB=N，连结B1N，
依题意知AD∥BC，∴△DMN∽△BCN，
∴，
又∵DG=2GB，∴DN=NG=GB，
又∵B1F=FB，∴FG∥B1N，
∵FG⊄平面EB1C，∴B1N⊂平面EB1C，
∴GF∥平面EB1C．
22．（12分）已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线的焦点，∠MFx=60°且|FM|=4．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点P在y轴正半轴，直线PF交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，其中y1＞0，y2＜0，试问﹣是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线的准线方程为l′：x=﹣，过点M作MN⊥l′交于点N，连接NF，
由抛物线的定义可知|MN|=|FM|，
又∠NMF=∠MFx=60°，
所以△MNF为等边三角形，
所以|NF|=4，于是p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x，
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），
联立y2=4x，消去y可得k2x2﹣（2k2+4）+k2=0，
因为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2=1，x1+x2==2+
又=，=，
所以﹣=﹣===﹣1，
即﹣为定值，且定值为﹣1．
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【模型三】
双垂型：图形特征：
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P
2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

C
D
B。