2025届河北省衡水市阜城中学高考数学全真模拟密押卷含解析

2025届河北省衡水市阜城中学高考数学全真模拟密押卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
4
1π
- D ．4
2π
-
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45
B ．42
C ．25
D ．36
3．已知直线22+=mx ny ()0,0m n >>过圆()()2
2
125x y -+-=的圆心，则11
m n
+的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．双曲线C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的离心率是3，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的焦距为（ ）
A ．3
B ．32
C ．6
D ．62
5．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为
A ．240，18
B ．200，20
C ．240，20
D ．200，18
6．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
7．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）
A ．800
B ．1000
C ．1200
D ．1600
8．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x >
D ．x R ∀∈，sin 1x >
9．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．
A ．7?S ≥
B ．21?S ≥
C ．28?S ≥
D ．36?S ≥
10．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数
2i
z
的点是（ ）
A ．E
B ．F
C ．G
D ．H
11．已知数列{}n a 中，121,2a a ==，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+．则此数列的前20项的和为（ ）
A ．1133902-+
B ．11331002-+
C ．1233902-+
D ．12331002
-+
12．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，则对于下列判断： ①直线2
x π=
是函数()f x 图象的一条对称轴；
②点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()3512
12y f x x π
π⎛⎫=-
≤≤ ⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π.
其中正确的判断是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在某批次的某种灯泡中，随机抽取200个样品.并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下： 寿命（天）
频数 频率
[)200,300
40
a
[)300,400
60 0.3
[)400,500 b
0.4
[)500,600
20 0.1 合计
200
1
某人从灯泡样品中随机地购买了()*n n N ∈个，如果这n 个灯泡的寿命情况恰好与按四个组分层抽样．．．．．．．．所得的结果相同，则n 的最小值为______.
14．3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖．甲、乙两人同时各抽取1张奖券,两人都未抽得特等奖的概率是__________．
15．已知数列{}n a 满足11,a =对任意2N*n n ≥∈,，
11
11
2n n n a a ---=，则数列{}n a 的通项公式n a =__________. 16．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，已知2AC =，26PB =，则当PA AB +最大时，三棱锥P ABC -的体积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为3的菱形，DE ⊥平面,,//,3ABCD AB AD AF DE DE AF ⊥=.
（1）求证：AC ⊥平面BDE ；
（2）若BE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角F BE D --的正弦值.
18．（12分）如图,设点2(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点，圆222:(),C x a y a -+=过2F 且斜率为
(0)k k >的直线l 交圆C 于,A B 两点，交椭圆E 于点,P Q 两点，已知当3k =时，2 6.AB =
（1）求椭圆E 的方程. （2）当210
3
PF =
时，求PQC ∆的面积. 19．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、
、、、、、、共8个等级。

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为
、
、
、
、
、
、、
.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，
分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属
等
级.而
等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得
.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布
.
（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的
物理成绩；
（ii ）求物理原始分在区间
的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布
列和数学期望. （附：若随机变量
，则，
，
）
20．（12分）已知{}n a 是各项都为正数的数列，其前n 项和为n S ，且n S 为n a 与1
n
a 的等差中项． （1）求证：数列{}2
n
S 为等差数列；
（2）设(1)n
n n
b a -=，求{}n b 的前100项和100T ．
21．（12分）已知12F F ，为椭圆E 22
22:+1(0)x y a b a b
=>>的左、右焦点，离心率为12，点()2,3P 在椭圆上.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A C 、和B D 、，且12l l ⊥，问是否存在常数λ，使得11
,,AC BD
λ成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
22．（10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，12BC AA ==，O 为BC 的中点，点M 在线
段1AA 上，且OM
平面11CB A ．
（1）求证：1AM A M =；
（2）求平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ
--===-，故选C ． 2、D 【解析】
由等差数列的性质可知1928a a a a ,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.
【详解】 由题,192899()9()9(210)36222
a a a a S ++⨯-+====. 故选:D 【点睛】
本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和. 3、D 【解析】
圆心坐标为(1,2)，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】
圆2
2
(1)(2)5x y -+-=的圆心为(1,2)，
由题意可得222m n +=，即1m n +=，m ，0n >， 则
1111()()24n m m n m n m n m n +=++=++，当且仅当n m
m n =且1m n +=即12
m n ==时取等号， 故选：D ． 【点睛】
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 4、A
根据焦点到渐近线的距离，可得b ，然后根据2
2
2
,c
b c a e a
=-=，可得结果. 【详解】
由题可知：双曲线的渐近线方程为0bx ay ±= 取右焦点(),0F c ，一条渐近线:0l bx ay -=
则点F 到l =222b a c +=
所以b =
222c a -=
又222
2399c c c a a a =⇒=⇒=
所以22
3292
c c c -=⇒=
所以焦距为：23c = 故选：A 【点睛】
本题考查双曲线渐近线方程，以及,,,a b c e 之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为b ，属基础题. 5、A 【解析】
利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】
样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：150
24040%18.150250400
⨯⨯=++
故选A ． 【点睛】
本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用． 6、D 【解析】
根据复数相等，可得,a b ，然后根据复数模的计算，可得结果.
由题可知：()11i a bi +=+， 即1a ai bi +=+，所以1,1a b ==
则212a bi i +=+==故选：D 【点睛】
本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题. 7、B 【解析】
由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数. 【详解】
由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题. 8、C 【解析】
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【详解】
全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，
00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.
故选：C . 【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 9、C
根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时. 【详解】
第一次循环：0,1S i == 第二次循环：1,2S i == 第三次循环：3,3S i == 第四次循环：6,4S i == 第五次循环：10,5S i == 第六次循环：15,6S i == 第七次循环：21,7S i == 第八次循环：28,8S i ==
所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8. 故选：C 【点睛】
此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目. 10、C 【解析】
由于在复平面内点Z 的坐标为(1,1)-，所以1z i =-+，然后将1z i =-+代入2i
z
化简后可找到其对应的点. 【详解】 由1z i =-+，所以22(1)11i i i i i z i
==--=--+，对应点G . 故选：C 【点睛】
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题. 11、A 【解析】
根据分组求和法，利用等差数列的前n 项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前n 项和公式求出前20项的偶数项的和，进而可求解. 【详解】
当n 为奇数时，22n n a a +-=，
则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，()2131n n a a ++=+，
则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列. 所以201232013192420S a a a a a a a a a a =+++
+=+++++++
()()()2420109
1012111102
a a a ⨯=⨯+
⨯++++++-
()11013131001013
33902
-=+
--+=-.
故选：A 【点睛】
本题考查了数列分组求和、等差数列的前n 项和公式、等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 12、C 【解析】
分析：根据最低点，判断A=3，根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T ，再代入最低点可求得解析式为
()3sin 26f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，依次判断各选项的正确与否．
详解：因为5,012M π⎛⎫
⎪⎝⎭
为对称中心，且最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以A=3，且254312T πππ⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
由222T ππωπ
=
== 所以()()3sin 2f x x ϕ=+，将2,33N π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
带入得 6
π
=ϕ ，
所以()3sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
由此可得①错误，②正确，③当3512
12x π
π-
≤≤
时，0266
x π
π≤+≤，所以与1y = 有6个交点，设各个交点坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，则1234567x x x x x x π+++++=，所以③正确
所以选C
点睛：本题考查了根据条件求三角函数的解析式，通过求得的解析式进一步研究函数的性质，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、10 【解析】
先求出a ，b ，根据分层抽样的比例引入正整数k 表示n ，从而得出n 的最小值. 【详解】
由题意得，a =0.2，b =80，由表可知，灯泡样品第一组有40个，第二组有60个，第三组有80个，第四组有20个，所以四个组的比例为2:3:4:1，所以按分层抽样法，购买的灯泡数为n =2k +3k +4k +k =10k (*k N ∈)，所以n 的最小值为10. 【点睛】
本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题. 14、
13
【解析】
利用排列组合公式进行计算,再利用古典概型公式求出不是特等奖的两张的概率即可. 【详解】
解:3张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖, 甲、乙两人同时各抽取1张奖券,
则两人同时抽取两张共有：22
326C A = 种排法
排除特等奖外两人选两张共有：22
222C A =种排法.
故两人都未抽得特等奖的概率是：2163
P == 故答案为：13
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率公式的应用,是基础题. 15、
1
21
n
- 【解析】
利用累加法求得数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，由此求得{}n a 的通项公式.
【详解】
由题，
112211
11111111n n n n n a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21122221n n -=+++⋅⋅⋅+=-
所以1
21
n n
a =- 故答案为：1
21
n - 【点睛】
本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题. 16、4 【解析】
设x BC =
，则PC ==
，PA ==
，AB =
8PA AB +=≤=，当且仅当22284x
x -=+，即x =立
.
1111
243232
P ABC V AC BC PC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=,
故答案为4
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1
）证明见解析（2 【解析】
（1）由已知线面垂直得DE AC ⊥，结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直；
（2）由已知知,,DA DC DE 两两互相垂直.以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，由已知线面垂直知BE 与平面ABCD 所成角为60DBE ∠=︒，这样可计算出,DE DF 的长，写出各点坐标，求出平面的法向量，由法向量夹角可得二面角． 【详解】
证明：（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE AC ⊥. 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.
又因为BD DE D ⋂=，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ， 所以AC ⊥平面BDE .
解：（2）据题设知，,,DA DC DE 两两互相垂直.以,,DA DC DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，
因为BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，所以3DE
DB
=又3,3AD DE AF ==，所以36,6DE AF ==
所以()()((()3,0,0,3,3,0,6,0,0,36,0,3,0A B F E C 所以(
)(0,3,
6,3,0,26BF EF =-=-
设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z =，则360
3260
y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令6z =(4,6m =.
因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，且()3,3,0CA =-
所以
()
()2
2
2222
34320613
cos ,426
330m CA m CA m CA
⨯+-⨯+⋅<>=
=
=
++
⋅+-+，
239
sin ,13
m CA <>=
． 所以二面角F BE D --239
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，考查用向量法求二面角．立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角，这样可减少思维量，把问题转化为计算．
18、（1）
22198
x y （2）
409
【解析】
（1）先求出圆心(),0C a 到直线l 的距离为()
2
33
31
a d -=
+26AB =()2
23164
a a -+
=，解之即得a
的值，再根据c=1求出b 的值得到椭圆的方程.(2)先求出81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，716,39Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭，再求得PQC ∆的面积()2140
29
Q P S CF y y =⋅-=.
【详解】
(1)因为直线l 过点()21,0F
，且斜率k =
所以直线l
的方程为)1y x =-
0y --=，
所以圆心(),0C a 到直线l 的距离为
d =
又因为AB =C 的半径为a ，
所以2
22
2AB d a ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭，即()2
23164
a a -+=， 解之得，3a =或9a =-（舍去）. 所以2228
b a
c =-=，
所以所示椭圆E 的方程为22
198
x y += .
(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为:9m x =，离心率1
3
c e a =
=， 则点P 到右准线的距离为2
1031013
PF d e
=
==， 所以910P x -=，即1P x =，把1P x =-代入椭圆方程22
198
x y +=得，83P y =±，
因为直线l 的斜率0k >，
所以83P y =-，81,3P ⎛
⎫∴-- ⎪⎝
⎭
因为直线l 经过()21,0F 和81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 所以直线l 的方程为()4
13
y x =
-，
联立方程组()22
41,3
1,9
8y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得23470x x --=， 解得1x =-或7
3
x =， 所以716,39Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭， 所以PQC ∆的面积()21116840
222939
Q P S CF y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 19、 (1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析. 【解析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足
，结合正态分布的对称性即可求得
内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结
合数学期望的公式即可求解。

【详解】
（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得
.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii ）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间
的人数为
（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则
.
，
，
，
，
.
的分布列为 0 1 2 3 4
数学期望.
【点睛】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。

20、（1）证明见解析； （2）10. 【解析】
（1）利用已知条件化简出2
21n n n S a a -=，当1n =时，11S =，当2n ≥时，再利用1n n n a S S -=-进行化简，得出
2211,(2)n n S S n --=≥，即可证明出{}2n S 为等差数列；
（2）根据（1）中，求出数列{}n a 的通项公式1=-n a n n (1)(1)(1)1
n n
n n n b n n a n n -===----，可直接求出{}n b 的前100项和100T ．
【详解】
解：（1）由题意知12n n n
S a a =+
，即2
21n n n S a a -=，① 当1n =时，由①式可得11S =； 又2n ≥时，有1n n n a S S -=-，
代入①式得()()2
1121n n n n n S S S S S -----=，
整理得22
11,(2)n n S S n --=≥， ∴{}2
n
S 是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得2
11n S n n =+-=，
∵{}n a 是各项都为正数，∴n S ，
∴12)n n n a S S n -=-=≥， 又111a S ==，
∴n a
则(1)(1)
n n
n n n b a -===-，
10011)T ∴=-+-+⋅⋅⋅-+
10==，
即：10010T =.
∴{}n b 的前100项和10010T =． 【点睛】
本题考查数列递推关系的应用，通项公式的求法以及裂项相消法求和，考查分析解题能力和计算能力.
21、（1）22
11612
x y +=；
（2）存在，748. 【解析】
（1）由条件建立关于,,a b c 的方程组，可求得,,a b c ，得出椭圆的方程；
（2）①当直线AC l 的斜率不存在时，可求得68AC BD ==，，，求得λ，②当直线AC l 的斜率存在且不为0时，设
(2)AC l y k x =+： 联立直线与椭圆的方程，求出线段22
24(1)43k AC k +=+，再由12l l ⊥得出线段22
24(1)
43k BD k +=+，根据等差中项可求得λ，得出结论. 【详解】
（1）由条件得222222221216491124c e a a b a b c a b c ⎧==⎪⎧=⎪
⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩，所以椭圆E 的方程为：22
11612x y +=；
（2）1(20)F -，
， ①当直线AC l 的斜率不存在时，11117686824AC BD AC BD ==+=+=，，，此时7=
48
λ, ②当直线AC l 的斜率存在且不为0时，设(2)AC l y k x =+：,联立22
11612(2)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消元得
2222(43)1616480k x k x k +++-=，
设1122(,),(,)A x y C x y ，22121222
161648
,4343k k x x x x k k -+=-=++
2122
24(1)
43
k AC x k +∴-==+， 直线BD 的斜率为1k -，同理可得222
21241()24(1)1434()3k k BD k k ⎡
⎤+-⎢⎥
+⎣⎦==+-+ 2222221143437(1)724(1)24(1)24(1)24k k k AC BD k k k +++∴+=+==+++， 72=
24λ∴，所以7=48
λ， 综合①②，存在常数7=48
λ，使得11,,AC BD λ成等差数列.
【点睛】
本题考查利用椭圆的离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中的弦长公式的相关问题，当两直线的斜率具有关系时，可能通过斜率的代换得出另一条线段的弦长，属于中档题. 22、见解析 【解析】
（1）如图，连接1BC ，交1CB 于点N ，连接1A N ，ON ，则N 为1CB 的中点，
因为O 为BC 的中点，所以1ON BB ∥
， 又11MA BB ∥，所以1ON MA ∥
，从而O ，N ，1A ，M 四点共面． 因为OM
平面11CB A ，OM ⊂平面1ONA M ，平面1ONA M
平面111CB A NA =，所以1OM NA ∥．
又1ON MA ∥
，所以四边形1ONA M 为平行四边形， 所以11111
22
MA ON BB AA ==
=，所以1AM A M =
（2）因为AB AC =，O 为BC 的中点，所以AO BC ⊥， 又三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，1ON BB ∥
， 所以OA ，OB ，ON 互相垂直，分别以OB ，ON ，OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 因为2AB AC ==
12BC AA ==，所以(0,0,0)O ，11,()2,0B ，(0,1,1)M ，(1,0,0)C -，
所以10,1,)1(OM NA ==，11,2,0()OB =，12,2,0()CB =．
设平面1MOB 的法向量为(,,)x y z =m ，则1
0OM OB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即020y z x y +=⎧⎨+=⎩，
令1z =，可得1y =-，2x =，所以平面1MOB 的一个法向量为,1(2,)1=-m ． 设平面11CB A 的法向量为(,,)n a b c =，则11
0NA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0220b c a b +=⎧⎨+=⎩，
令1c =，可得1b =-，1a =，所以平面11CB A 的一个法向量为(1,1,1)n =-， 所以222222
22cos ,32
2(1)11(1)1〈〉=
==+-+⋅+-+m n ， 所以平面1MOB 与平面11CB A 所成二面角的正弦值为13
．。