向量组的秩
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1 行变换 0 A ~ 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
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1 0 A~ 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
故列向量组的最大无关组含3个向量 个向量. 知R(A) = 3, 故列向量组的最大无关组含 个向量. 而三个非零行向量的非零首元在1, , 三列 三列, 而三个非零行向量的非零首元在 ,2,4三列, 为列向量组的一个最大无关组. 故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组. 这是因为 1 1 1 思考:行向量 思考 行向量 行变换 的最大无关 0 1 1 (a1, a2 , a4 ) ~ , 组怎么求? 组怎么求 0 0 1
0 1 1 1 0 0 0 0 4 0 3 , 1 3 0 0 0
a 即得 3 = a1 a2 ,
2 1 1 1 1 1 2 1 A 请参看 = 4 6 2 2 3 6 9 7
a5 = 4a1 + 3a2 3a4 .
2 4 . 4 9
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Ex.
2 3 5 1 0 设A = 2 6 2 0 2, 3 6 0 4 3
a 故 1 , a2 , a4 为A 的列向量组的一个最大无关组 ( 不
且有: 唯一 ) .且有:a3 = 2a1 + a2;a5 = 5a1 + 2a2 .
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�
注:今后向量组 a1 , a2 ,, am 的秩也记作 今后向量组
R(a1 , a2 ,, am )
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例1
2 1 1 1 1 1 2 1 设矩阵 A = 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 , 4 9
求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组, 求矩阵 的列向量组的一个最大无关组,并把不属 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 解 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵. 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵.
§4.3 向量组的秩
★向量组的最大无关向量组 ★向量组的秩
请同学们注意向量组的秩与矩阵的秩 的密切联系
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向量组的秩
中有r 若向量组 A中有 个向量组成的向量组 中有 A :α1 ,α2 ,,αr , 满足 0 定义1 定义1 向量组A 线性无关; (1) 向量组 0 线性无关; 向量组A 个向量( (2) 向量组 中任意 r +1 个向量(如果存在 的话)都线性相关, 的一个最 的话)都线性相关,那么称 A0 是向量组 A 的一个最 大无关向量组,简称最大无关组; 大无关向量组,简称最大无关组;最大无关组所含向 量个数 r 称为向量组 A 的秩. 规定: 规定:只含零向量的向量组的秩为 0 .
R(a1, a2 , a4 ) = 3,故a1, a2 , a4线性无关 . 注:极大线性无关组不是唯一的
0 0 0
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线性表示, a 为把 3 , a5用a1 , a2 , a4 线性表示, 再变成行最简形矩阵. 把 A 再变成行最简形矩阵. 1 行变换 0 (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ) ~ 0 0
r2 r1
可 a1, a2; a2 , a3; a1, a3都 向 组 1, a2 , a3 知 是 量 a 的 大 关 . 最 无 组
但向量组的秩不变. 向量组的秩不变.
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矩阵的秩与向量组的秩的关系是 矩阵的秩与向量组的秩的关系是: 定理1 矩阵的秩等于它的行向量组的秩, 定理1 矩阵的秩等于它的行向量组的秩,也 等于列向量组的秩. 等于列向量组的秩.
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向量组的最大无关组一般不是唯一的. 如例 , 向量组的最大无关组一般不是唯一的.
可见
, R(a1 , a2 , a3 ) = 2, 知a1 , a2 , a3线性相关 而R(a1 , a2 ) = R(a2 , a3 ) = R(a1 , a3 ) = 2,
1 0 2 r3 r1 1 0 2 (a1, a2 , a3 ) = 1 2 4 ~ 0 2 2, 1 5 7 r 5 r 0 0 0 3 2 3
的列向量组的一个最大无关组及A 求A 的列向量组的一个最大无关组及 的其余列向量 用它们线性表示的表达式. 用它们线性表示的表达式. 解 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵. 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵.
行变换 1 0 2 0 5 A ~ 0 1 1 0 2, 知 ( A) = 3, R 0 0 0 1 0
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1 0 A~ 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 , 0 0 1 3 0 0 0 0
故列向量组的最大无关组含3个向量 个向量. 知R(A) = 3, 故列向量组的最大无关组含 个向量. 而三个非零行向量的非零首元在1, , 三列 三列, 而三个非零行向量的非零首元在 ,2,4三列, 为列向量组的一个最大无关组. 故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组. 这是因为 1 1 1 思考:行向量 思考 行向量 行变换 的最大无关 0 1 1 (a1, a2 , a4 ) ~ , 组怎么求? 组怎么求 0 0 1
0 1 1 1 0 0 0 0 4 0 3 , 1 3 0 0 0
a 即得 3 = a1 a2 ,
2 1 1 1 1 1 2 1 A 请参看 = 4 6 2 2 3 6 9 7
a5 = 4a1 + 3a2 3a4 .
2 4 . 4 9
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2 3 5 1 0 设A = 2 6 2 0 2, 3 6 0 4 3
a 故 1 , a2 , a4 为A 的列向量组的一个最大无关组 ( 不
且有: 唯一 ) .且有:a3 = 2a1 + a2;a5 = 5a1 + 2a2 .
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注:今后向量组 a1 , a2 ,, am 的秩也记作 今后向量组
R(a1 , a2 ,, am )
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例1
2 1 1 1 1 1 2 1 设矩阵 A = 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 , 4 9
求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组, 求矩阵 的列向量组的一个最大无关组,并把不属 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示. 解 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵. 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵.
§4.3 向量组的秩
★向量组的最大无关向量组 ★向量组的秩
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中有r 若向量组 A中有 个向量组成的向量组 中有 A :α1 ,α2 ,,αr , 满足 0 定义1 定义1 向量组A 线性无关; (1) 向量组 0 线性无关; 向量组A 个向量( (2) 向量组 中任意 r +1 个向量(如果存在 的话)都线性相关, 的一个最 的话)都线性相关,那么称 A0 是向量组 A 的一个最 大无关向量组,简称最大无关组; 大无关向量组,简称最大无关组;最大无关组所含向 量个数 r 称为向量组 A 的秩. 规定: 规定:只含零向量的向量组的秩为 0 .
R(a1, a2 , a4 ) = 3,故a1, a2 , a4线性无关 . 注:极大线性无关组不是唯一的
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线性表示, a 为把 3 , a5用a1 , a2 , a4 线性表示, 再变成行最简形矩阵. 把 A 再变成行最简形矩阵. 1 行变换 0 (a1, a2 , a3 , a4 , a5 ) ~ 0 0
r2 r1
可 a1, a2; a2 , a3; a1, a3都 向 组 1, a2 , a3 知 是 量 a 的 大 关 . 最 无 组
但向量组的秩不变. 向量组的秩不变.
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矩阵的秩与向量组的秩的关系是 矩阵的秩与向量组的秩的关系是: 定理1 矩阵的秩等于它的行向量组的秩, 定理1 矩阵的秩等于它的行向量组的秩,也 等于列向量组的秩. 等于列向量组的秩.
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向量组的最大无关组一般不是唯一的. 如例 , 向量组的最大无关组一般不是唯一的.
可见
, R(a1 , a2 , a3 ) = 2, 知a1 , a2 , a3线性相关 而R(a1 , a2 ) = R(a2 , a3 ) = R(a1 , a3 ) = 2,
1 0 2 r3 r1 1 0 2 (a1, a2 , a3 ) = 1 2 4 ~ 0 2 2, 1 5 7 r 5 r 0 0 0 3 2 3
的列向量组的一个最大无关组及A 求A 的列向量组的一个最大无关组及 的其余列向量 用它们线性表示的表达式. 用它们线性表示的表达式. 解 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵. 对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵.
行变换 1 0 2 0 5 A ~ 0 1 1 0 2, 知 ( A) = 3, R 0 0 0 1 0