2016届甘肃省兰州第一中学高三最后一次模拟(三模)考试数学(文)试题

兰州一中2016届高三第三次模拟考试试题
数学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．函数f (x )
( ) A ．(0,2) B ．(0,2] C ．(2,)+∞
D ．(,2)-∞
2．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则(3)f ＝ ( )
A ．3 B
C
D ．1
3．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” B ．若“p q ∧”为假命题，则p ，q 均为假命题 C ．回归直线y bx a =+一定过样本中心点(,)x y D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件
4．圆2
2
(2)(1)2x y -+-=与x 轴交于A ,B 两点，则弦AB 所对劣弧 AB 的弧长为( )
A ．
3π B
C ． 2π D
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x =
， ④1()lg 1x
f x x
-=+， 则输出的函数是 ( )
A ．()sin f x x =
B ．()cos f x x =
C ．1()f x x =
D ．1()lg 1x f x x
-=+ 6．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．8－2π
B ．8－π
C ．8－π2
D ．8－π
4
7．设2log 3
1()3a =，5log 4
1()
3
b =，ln 3
3
c =，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )
A ． c a b >>
B ．c b a >>
C ．a b c >>
D ．a c b >>
8．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC →
的最大值为 ( )
A ．1
B ．
12 C D ．2 9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且 4S ＝(a ＋b )2－c 2，则sin()4
C π
+等于 ( )
A ．1
B ．2-
C ．2
D 10．已知抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ，若其准线经过双曲线22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>的左焦点，点M 为这两条曲线的一个交点， MF p =，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．22
B 2
C 1
D ．1
2
11．已知函数22
4,0
()4(3),0x x f x x x a x +≥⎧
=⎨
-+-<⎩，其中a R ∈.若对任意的正实数1x ，存在唯一的非零实数212()x x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[1,5] B ．(0,2) C ．(2,5] D ．(,1][5,)-∞+∞ 12．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(,0)-∞ B ．(0，1
2
) C ．(0,1) D ．(0,)+∞
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知复数z ＝－2i ，则复数
1
+1
z 虚部为_________. 14．在平面上，正三角形的内切圆与外接圆的半径之比为1:2；类似地，在空间，正四面体的内切球与外接球半径之比为___________.
15．已知函数32()21f x x ax x =-++在区间[1,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.
16．关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 有以下四个结论：
①函数f (x )的最大值为2；
②把函数h (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π
4个单位可得到函数f (x )的图象；
③函数f (x )在区间75[
,]84
ππ
上单调递增； ④函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k 2π＋π
8，－1(k ∈Z )．其中正确的结论是___________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题12分）
已知正项等差数列{a n }前三项的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 1、b 2、b 3.
(1)求数列{a n },{b n }的通项公式； (2)令21
1
n n n c b a =
+-，求数列{n c }的前n 项和n S .
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点． (1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；
(2)试在线段PC 上确定一点M ，使P A ∥平面MQB ，并求出PM
PC
的值.
19．（本小题12分）
某校为了解学生每天参加体育运动时间的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名，下面是根据调查结果绘制的学生日均体育运动时间的频率分布直方图: 将日均体育运动时间不低于40分钟的学生称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女生．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有90%的把握认为“体育迷”与性别有关？
迷”中有2名女生．若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女生的概率． 附：K
2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋
d )
，
已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝6
3，A ，B 是椭圆C 上两点，N (3，1)是线段AB
的中点.
(1)求直线AB 的方程；
(2)若以AB 10y +-=相切，求出该椭圆方程.
21. （本小题满分12分）
设函数()x
f x e x =-，()()ln h x f x x a x =+-.
(1)求函数()f x 在区间[1,1]-上的值域； (2)证明：当a >0时，()2ln h x a a a ≥-.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ， CFD ，CGE 都是
O 的割线，已知AC=AB .
(1)求证：FG//AC ； (2)若CG=1，CD=4，求GF
DE
的值.
23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223 (t 为参数)．在极坐标系(与
直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为θρsin 52=.
(1)求直线l 及圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点B A ,.若点P
||||PB PA +.
24.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
（1）求不等式1123-≥---x x 的解集；
（2）已知1,,=+∈+
b a R b a ，求证：
2
25)1()122≥+++
b b a a （.
兰州一中2016届高三第三次模拟考试数学
参考答案（文科）
一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.A;
2.C;
3. B;
4.D;
5.D;
6.B;
7.B;
8.A;
9.C; 10.C; 11.A; 12B. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.
25; 14. 1：3 ; 15. 13
[,)8
+∞; 16. ③④ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)设等差数列的公差为d ，由已知得a 1+a 2＋a 3=15，则a 2＝5. 所以{b n }中的b 1、b 2、b 3依次为7－d ，10，18＋d .
依题意有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去). 故a n ＝2n +1. 又b 1=5，b 2=10，所以b n ＝b 1·q n －
1＝5·2n －
1.
(2)∵a n ＝2n +1，b n ＝5·2n －
1，
∴c n ＝
1
2152(21)1
n n -+⨯+-=14n （n ＋1）+152n -⨯＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1+152n -⨯ ∴S n ＝14⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1+51
(122)n -+++ ＝
5254(1)
n n
n +⋅-+.
18．解：(1)证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，
∴△ABD 为正三角形，又Q 为AD 的中点，所以AD ⊥BQ ；
又因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以AD ⊥PQ ； 又BQ ∩PQ ＝Q ，所以AD ⊥平面PQB ， 又AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)解 连接AC 交BQ 于N ，作NM ∥P A 交PC 于点M ,
因NM ∥P A ，NM MQB ⊂面,PA MQB ⊄面,所以P A ∥平面MQB . 由AQ ∥BC 可得，所以△ANQ ∽△CNB ，所以AN NC ＝AQ BC ＝1
2，
因为P A ∥MN ，所以PM PC ＝AN AC ＝1
3
.
19．解:(1)由所给的频率分布直方图知，
“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25，“非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：
将2×2列联表的数据代入公式计算： K 2
＝100(30×10－45×15)275×25×45×55
＝10033≈3.030.
因为3.030＞2.706，所以有90%的把握认为“体育迷”与性别有关．
(2)由所给的频率分布直方图知，“超级体育迷”人数为100×(10×0.005)＝5， 记a i (i ＝1,2,3)表示男生，b j (j ＝1,2)表示女生，从5名“超级体育迷”中任意选取2人，所有可能结果构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1) ，(a 1，b 2) ，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)， (a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2) }，共有10个基本事件组成，且每个基本事件出现是等可能的．用A 表示事件“任选2人，至少1名女生”，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 2)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共有7个基本事件组成，故任选2人，至少有1名女生观众的概率为P (A )＝7
10.
20. 解：(1)离心率e ＝
6
3
，设椭圆C ：x 2＋3y 2＝a 2(a ＞0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x －3)＋1，代入x 2＋3y 2＝a 2， 整理得(3k 2＋1)x 2－6k (3k －1)x ＋3(3k －1)2－a 2＝0.①
Δ＝4[a 2(3k 2＋1)－3(3k －1)2]＞0，②且x 1＋x 2＝6k （3k －1）
3k 2＋1，
由N (3，1)是线段AB 的中点，得x 1＋x 2
2
＝3.
解得k ＝－1，代入②得a 2＞12，∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0. (2)圆心N (3，1)
10y +-=
的距离d
AB ∴=当1k =-时方程①即22
424480x x a -+-=
122
1206124
x x a x x ⎧⎪∆>⎪
∴+=⎨⎪⎪⋅=-
⎩
12AB x ∴=-==224a =.
∴椭圆方程为22
1248
x y +
=. 21. 解：'()1x f x e =- ，'()=00f x x =令，得，
在(1,0)-上，'()0f x <，()f x 单调递减；在(0,1)上，'()0f x >，()f x 单调递增.
∴当x ∈[－1，1]时，min ()(0)1f x f ==，
又1(1)1,(1)1,(1)(1)f f e f f e
-=+=--<
[1,1]e ∴-函数的值域为.
（2）()ln x h x e a x =- ，'()0x
a h x e x =-
=，即(0)x a
e x x
=>， 当0a >时该方程有唯一零点记为0x ，即00
x
a e x =
， 0(0,)'()0,()x x h x h x ∈<当时，单调递减；0(,+)'()0()x x h x h x ∈∞>当时，，单调递增.
min
00()()ln x h x h x e a x ∴==-0
0001ln ln
x a a e a a x x x a
=+=+ 0000
ln ln ln 2ln x a a
a e a a ax a a a a a x x =
+-=+-≥-. 22. 解：(Ⅰ)因为AB 为切线，AE 为割线，
2AB AD AE =⋅，又因为AC AB =，
所以2
AD AE AC ⋅=．
所以
AD AC
AC AE
=，又因为EAC DAC ∠=∠，所以ADC △∽ACE △， 所以ADC ACE ∠=∠，又因为G ,E ,D ,F 四点共圆,所以ADC EGF ∠=∠，
所以EGF ACE ∠=∠，所以//FG AC . ………………………5分 (Ⅱ)由题意可得：F D E G ,,,四点共圆，
CED CFG CDE CGF ∠=∠∠=∠∴,. CGF ∆∴∽CDE ∆.
CG
CD
GF DE =∴
. 又 4,1==CD CG ，∴
GF
DE
=4. ………10分 23. 解：(1) 直线l 的直角坐标方程为053=--+y x
圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －5)2＝5. ……………5分 (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得(3－
22t )2＋(2
2
t )2＝5，即t 2－32t ＋4＝0. 由于Δ＝(32)2－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，
所以⎩⎨⎧
t 1＋t 2＝32，
t 1·
t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，
故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. ………10分 24. 解：（1）当1x ≤时，3221x x -+-≥-，221x x ∴≥-∴-≤≤
当13x <<时，3221x x --+≥-，362x x ∴≤∴≤，
12x ∴<≤ 当3x ≥时，32210x x x x φ--+≥-∴≤∴∈，
综上，原不等式的解集为[2,2]-. ……………5分
(2)证明：4
1
)2(
,1,,2=+≤∴=+∈b a ab b a R b a 且 . 2222221111()()4()()a b a b a b a b ∴+++=++++22
22
()24[()2]a b ab a b ab a b +-=++-+
225)4
1(41
21)4121(421)21(4222=⨯
-+
⨯-+≥-+-+=b
a a
b ab . （当且仅当2
1
==b a 时不等式取等号） (10)
分。