刚体角动量 功能例题.ppt

l 6
3g l l 3g 6l
1 6 1 2
3gl，水平向左． g，竖直向上．
第四章 刚体的转动
9
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
思考：如何用刚体定轴转动的动能定理解第二问？
Md
0
1 2
J 2
1 2
J0 2
2
mg
l
cosd
1
J 2
06
2
1 mgl 1 1 ml22
6
29
得 3g
4-3 角动量 角动量守恒定律
v1 2a1h 2h
R1
R1
R1
解得
2h
2(m1R1 m2R2 )g
R1 (M1 2m1)R12 (M 2 2m2 )R22
方法二：Rh机1 械能守h恒 定R2律求RR解12 h
同轴圆柱体、两重物（含绳）、地球组成的系统，机械能守恒。
m1gh
m2 g
mg 1 l 1 J2 1 1 ml22
62
29
得 3g
＝M 0
l
J
(3) vA
rA
l 3
3g 1 l3
3gl，水平向右．
aAn
rA 2
l 3
3g l
g，竖直向下．
vB rB
aBn rB 2
2l 3 2l
3
3g l 3g l
2 3
3gl，水平向左．vC rC
2g，竖直向上． aCn rC 2
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
例1：留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴在水平面内以
角速率ω 作匀速转动．放上唱片后，唱片将在摩擦力作用下
随转盘一起转动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转盘间
的摩擦系数为µ，求：(1)唱片与转盘间的摩擦力矩； (2)唱
片达到转盘的角速度ω 时需要多长时间；(3)在这段时间内，
4M 9 ml
3 4
第四章 刚体的转动
15
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
（2）细棒和子弹向右摆
3
l
2
1
Ml 2
2
mg 3 l(1 cos ) Mg l
(1 cos )
2 4 3
4
2
M 9 ml 2 cos 1 3 16 0.074 得 94012
R2 R1
h
1 2
1 2
M 1 R12
1 2
M
2 R22
2
1 2
m1v12
1 2
m2 v2 2
m1g
dh dt
m2 g
R2 R1
dh dt
1 1 22
M1R12
1 2
M
2
R2 2
2
d
dt
1 2
m1
2v1
dv1 dt
1 2
m2 2v2
dv2 dt
第四章 刚体的转动
13
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
v2
R2 R1
v1
(M1
2(m1R1 2m1 ) R12
m2R2 )g (M 2 2m2 )R22
下略
第四章 刚体的转动
14
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
教材P145例5.4.3
如图所示，有一质量均匀分布的细棒，质量
M 1.0kg，长l 40cm，可绕光滑水平定轴 在竖直面内转动，开始时棒竖直悬挂．如果
速度；（2）棒在竖直位置时的角速度和角加速度；（3）棒
在竖直位置时两端A、B和质心C的线速度和法向加速度．
M
J
解 : (1) M
mg
l 6
得 3g
2l
J
JC
m
l 6
2
1 12
ml 2
1 36
ml 2
1 9
ml 2
第四章 刚体的转动
8
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
（2）细棒和地球组成的系统，机械能守恒
方法一：用定轴转动定律和牛顿定律联解
m1g T1 m1a1 m1R1
T2 m2 g m2a2 m2R2
T1R1
T2R2
J
(1 2
M1R12
1 2
M 2R22 )
解得
(M1
2(m1R1 2m1 ) R12
m2R2 )g (M 2 2m2 )R22
第四章 刚体的转动
12
物理学
第五版
转盘的驱动力矩做了多少功？
df
解（1）唱片受到的摩擦力矩
M (dm)g r ( 2rdr)g r
2
m
R 2
g
R r 2dr
0
得 M 2 mgR
3
dr
or
R
第四章 刚体的转动
1
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
(2) 由定轴转动的角动量定理求时间
Mt J
M
3 2
mgl(1 cos )
第四章 刚体的转动
17
力．质量为m的人站在转台边缘，
人和台原来静止．试求：如果人沿台的边缘跑一圈，人相对
于地和转台相对于地各转过的角度为多大？
解：人和转台的系统，角动量守恒．
0 J人 J台 （以地为参考系）
J人 m2Rm2，J 台 12
MR 2
定轴刚体的反转现象 （类似于质点平动的反冲现象）
M
第四章 刚体的转动
第四章 刚体的转动
4
物理学
第五版
4-3 角动量
教材P144例5.4.1
如图所示，A为机器的飞轮，B为
角动量守恒定律
减速制动轮，A、B共轴，两飞轮可利
用摩擦啮合器互相带动．设A轮的转动
惯量J A 10kg.m2，B轮的转动惯量J B 20kg.m2，开始时A轮的转速
0 600r.min 1 B轮静止．试求：两轮啮合后的共同转速是多少？
6
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
人沿台的边缘跑一圈，人相对台的角位移为2π
人相对于台的角速度
2m M 2m
M M 人沿台边缘跑一圈所需时间
t
2
M
2 2m
2M (M 2m)
M
人相对于地转过的角度 t 2M
M 2m
台相对于地转过的角度
t 2m 2M 4m M (M 2m) M 2m
第四章 刚体的转动
7
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
教材P141例5.3.1
如图所示，一根质量为m，长为l的质量均匀分布的
细棒AB，可绕一水平光滑定轴O在竖直平面内转动，O离
端点A的距离为1 l．如果使棒从静止开始，由水平位置绕 3
定轴O转动．试求：（1）棒在水平位置开始转动时的角加
mgh
1 2
mv2
1 2
J 2
J
1 2
MR2
解得v 2
v R
mgh M 2m
2mg
(M 2m)R
思 考1：滑轮的角加速度及 重物的加速度分别为多大？
a R 2mg
M 2m
第四章 刚体的转动
11
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
思考2：如果将滑轮换成质量分别为M1 和M2，半径分别为R1和R2的两个固连在一 起的同轴圆柱体，两根绳分别缠绕在大小 圆柱体上，并连接重物分别为m1和m2，如 图所示。已知m1≥m2．求m1下降h距离时， 圆柱体的角速度及m2 上升的距离．
解：A、B两轮的系统，角动量守恒．
J A0 （J A J B )
J A0 200（r.min 1)
JA JB
注意转动惯量的单位：kg.m2
第四章 刚体的转动
5
物理学
4-3 角动量 角动量守恒定律
第五版 教材P145例5.4.2
如图所示，质量为M、半径为
R的转台，可绕通过中心的定轴转
动．假设不计转轴与轴套间的摩擦
有一质量m 8.0g的子弹以速率v 20m.s1沿 水平方向射入细棒，入射点A离转轴O的距离
为 3 l．试求：（1）细棒开始转动时的角速度； 4
（2）细棒摆向右侧的最大偏转角．
解：（1）子弹打入细棒的过程，子弹和细棒的系统角动量守恒
mv
3
l
m
3
l
2
1
Ml
2
4 4 3
得
3mv
8.9(rad.s1)
l
第四章 刚体的转动
10
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
教材P142例5.3.2
如图所示，一质量为M的均质圆柱形滑轮，
半径为R，上面绕有一轻质的细绳，绳的一
端挂有一质量为m的重物．试求：重物m从
静止下降h距离时，重物的速度等于多少？
（各处摩擦和空气阻力忽略不计）
解：取滑轮M、重物m和地球组成的系统，机械能守恒．
t
J
1 2
mR2
3R
M 2 mgR 4g
3
(3) 由定轴转动的动能定理求力矩功
df
dr
or
R
A 1 J2 1 1 mR22 1 mR22
2
22
4
唱片所受摩擦力所做的功=？
第四章 刚体的转动
2
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
例2 一长为 l , 质量为 m/ 的杆可绕支点
O自由转动．一质量为m、速率为v 的 子弹射入杆内距支点为a 处，使杆的偏
m
mva
1 3
ml 20
(1 3
ml 2
ma2 )
v
3mva ml 2
ml 20
3ma 2
思考2：子弹打入后，杆能反向转动的条件？
v
ml 2 3ma
0
思考3 ：杆的最大摆角为多大？
1 (1 ml2 ma2 )2 mga(1 cos ) mg l (1 cos )
23
2
联解得 ......
23
2
得 v g(2 3)(ml 2ma)(ml2 3ma2 ) 6 ma
第四章 刚体的转动
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
思考1：本题中，若杆在子弹打入前
的瞬间绕O轴顺时针经过竖直位置，
o
角速度为 ω0，求子弹打入杆后的角速度。
关键：注意各个角动量的方向！以打入前子弹的
a
角动量方向为转轴正方向，则角动量守恒方程为
o 30
转角为30o . 问子弹的初速率为多少?
a
m
关键：分清子过程，选用合适的物理规律！ 解 子弹和杆的系统，
v
在子弹射入过程中角动量守恒
mva J (1 ml 2 ma2 )
3
3mva m'l2 3ma2
射入杆后，以子弹、杆和地球为系统，机械能守恒．
1 (1 ml 2 ma2 )2 mga(1 cos30o ) mg l (1 cos30o )
m1g
dh dt
m2 g
R2 R1
dh dt
1 2
1 2
M
1R12
1 2
M
2
R2
2
2
d
dt
1 2 m12v1
dv1 dt
1 2 m2 2v2
dv2 dt
m1gv1
m2 g
R2 R1
v1
1 2
1 2
M 1 R12
1 2
M
2 R22
2
v1 R1
1 2
m1 2v1
R1
1 2
m2
2v2
R2
h R2 h R1
M 3 mg 2
思考：能否将棒和子弹作为整体写重力势能？
lC
i
mili
m3lM 4
l 2
M
3 ml 2
mi
mM
2(M m)
i
第四章 刚体的转动
16
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
机械能守恒方程为
1 2
m
3 4
l 2
1 3
Ml2 2
(M
m)glC (1 cos )
1 2