—高三年级信息卷.docx

开始
Y
N
4
a ≥1
,5←←S a a
S S ⨯←
高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷
数 学 试 题 2015．5
数学Ⅰ 必做题部分
（本部分满分160分，时间120分钟）
参考公式：锥体的体积公式：1
3V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．
一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡上．．．．． 1．已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}|,B x x a a =∈R ≤，若(],5A B =-∞，则a 的值是 ▲ ．
2．若复数
i
1i
a ++是实数（i 为虚数单位），则实数a 的值是 ▲ ． 3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员36人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，42，则这四个社区驾驶员的总人数N 为 ▲ ．
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。

4．若抛物线2
8y ax =的焦点与双曲线22
21x y a
-=的右焦点重
合，则双曲线的离心率为 ▲ ．
5．如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．
6．某校有,A B 两个学生食堂，若,,a b c 三名学生各自随机选择其 中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 7．在ABC ∆中，若2,23,3
a b B π
===
，则ABC ∆的面积为 ▲ ．
8．已知正四棱锥的底面边长是32，侧棱长为5，则该正四棱锥的体积为 ▲ . 9．已知1sin cos 2αα=
+，且(0,)2πα∈，则
cos2sin()4
α
πα-的值为 ▲ ． 10．已知函数3
2
()2f x x x mx =-++，若对任意12,x x ∈R ，均满足[]1212()()0x x f x f x -->（），
则实数m 的取值范围是 ▲ ． 11．已知
22:1O x y +=．若直线2y k x =+上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线互
相垂直，则实数k 的最小值为__▲__．
12．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*
n ∈N ，总有31
4
n n n S T +=， 则
3
3
a b = ▲ ． 13．已知正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点
为F ．若AD AB λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，则FG 的取值范围为 ▲ ．
14．已知二次函数2
()(21)2f x ax b x a =++--在区间[3,4]上至少有一个零点，则22
a b +的最
小值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
函数π
()cos(π)(0)2
f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示． （1）求出ϕ及图中0x 的值；
（2）求()f x 在区间11[,]23
-上的最大值和最小值．
x 0
y
x
O
32
第15题图
A
B
C
D S
E
第16题图
D
B
O
A
C
第17题图
16．（本题满分14分）
如图，边长为2的正方形ABCD 是圆柱的中截面，点E 为线段BC 的中点，点S 为圆柱的下底面圆周上异于A ，B 的一个动点．
（1）在圆柱的下底面上确定一定点F ，使得//EF 平面ASC ；
（2）求证：平面ASC ⊥平面BSC ．
17．（本小题满分14分）
如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设
C O B θ∠=．
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，
观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．
（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，
在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．
18．（本小题满分16分）
.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右顶点分别为
()(
)
12
2,0,2,0A A -，若直线3450x y ++=上有且仅有一
个点M ，使得1290F MF ︒
∠=．
⑴ 求椭圆C 的标准方程；
⑵ 设圆T 的圆心()0,T t 在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点．点P ，Q 分别为椭圆C 和圆T 上的一动点．若0PQ QT ⋅=时, PQ 取得最大值为5
2
，求实数t 的值．
19．（本小题满分16分）
已知函数()f x 满足()2(2)f x f x =+，且当()0,2x ∈时，1
()ln ()2f x x ax a =+<-，当()
4,2x ∈--
时，()f x 的最大值为4-．
（1）求实数a 的值；
（2）设0b ≠，函数31
()3g x bx bx =-，()1,2x ∈．若对任意()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使
()()12f x g x =，求实数b 的取值范围．
20．（本小题满分16分）
在数列{}n a ，{}n b 中，已知12a =，14b =，且n a ，n b -，1n a +成等差数列，n b ，n a -，1n b +也成等差数列．
（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）设m 是不超过100的正整数，求使
114
4
n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n ．
淮安市2014—2015学年度高三年级信息卷
数 学 试 题 2015.5
数学Ⅱ 附加题部分
注意事项
1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。

本卷满分为40分，考试时间为
30分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2． 作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一
律无效。

21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，BAC ∠的
平分线AD 交⊙O 于D ，过点D 作DE AC ⊥交AC 的延长线 于点E ，OE 交AD 于点F ．若35
AC AB =，求AF
FD 的值．
B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A ＝21a b ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦，属于特征值4的一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵A －
1．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
A
B C
D
E F
O
第21-A 题图
已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕ
ϕ
sin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；
（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB ⨯的最大值与最小值．
D ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知x ，y ，z 均为正数．求证：111y
x z yz zx xy x y z
≥++++．
【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A P A λ=（∈λR ）． （1）证明：PN ⊥AM ；
（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．
23．在自然数列1,2,3,
,n 中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到
不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ． ⑴ 求()31P ； ⑵ 求
()4
40
k P k =∑；
⑶ 证明
()()11
n n n
n k
k kP k n P k --===∑∑，并求出()0
n
n
k kP k =∑的值．
第22题图
A
B
C
D S
E
淮安市2014—2015学年度高三年级第一次调研测试
数学试题参考答案与评分标准
数学Ⅰ部分
一、填空题：
1．5 2．1 3．300 4．2 5．20 6．34
7．23 8．24
9．14
2- 10．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 11．1 12．9 13．17,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
14．1100 二、解答题：
15．（1）由图可知，当()()0302f f x ==
，即()033
sin ,sin 22
x ϕπϕ=+=，………………2分 又0,2πϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，00x >，所以ϕ=π6．0x =53．…………………………………………………6分
（2）由（1）可知：π
()cos(π)3f x x =+．因为 11[,]23x ∈-，所以 ππππ362
x -+≤≤． 所以 当ππ03x +=，即1
3
x =-时，()f x 取得最大值1； 当πππ62
x +
=，即1
3x =时，()f x 取得最小值0． …………………………………14分
16．（1）点F 为线段AB 的中点，又点E 为线段BC 的中点，
故//EF AC ，…………………………………………2分 又AC ⊂平面ASC ，EF ⊄平面ASC ，
所以//EF 平面ASC ．………………………………6分 （2）因为正方形ABCD 是圆柱的中截面，所以BC ⊥底面ASB ， 而AS ⊂底面ASB ，故BC ⊥AS ，…………………8分
因为点S 为圆柱的下底面圆周上异于A ，B 的一个动点， 所以BS ⊥AS ，………10分 又BC
BS B =，且BC BS ⊂, 平面BSC ，所以AS ⊥平面BSC ，…………………12分
又AS ⊂平面ASC ，所以，平面ASC ⊥平面BSC ．…………………………………14分
17．（1）由题COD θ∠=，2AOD πθ∠=-，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
M
D
B O A
C
取BC 中点M ，连结OM ．则OM BC ⊥，2
BOM θ
∠=．
所以22sin 2
BC BM θ
==．
同理可得2sin 2
CD θ
=，22sin
2cos 2
AD πθ
θ-==．
所以222sin
2sin
2cos 212sin 4sin 22
222l θ
θ
θθθ⎛
⎫=+++=-++ ⎪⎝
⎭．………………………4分 即2
14sin 5,0,222l θπθ⎛⎫⎛⎫
=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．所以当1sin 22θ=，即3πθ=时，有max 5l =．……6分
（2）1sin 2BOC S θ∆=，()1sin 2sin cos 2AOD S πθθθ∆=-=，12
COD S θ=扇形．
所以11sin sin cos 24
S θθθθ=++． …………………………………………………………8分 所以()()22111
'cos cos sin 4cos 32cos 1244
S θθθθθ=+-+
=+- ………………………10分 因为0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，随意解'0S =得3πθ=，列表得
θ
0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
3
π ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
'S ＋ 0 － S
递增
极大值
递减
所以当3
π
θ=
时，有面积S 取得最大值．
答：（1）当3
π
θ=时，观光道路的总长l 最长，最长为5km ；
（2）当3
π
θ=
时，鲜花种植面积S 最大． …………………………………………14分
18．⑴ 因为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>左，右顶点分别为()(
)
12
2,0,2,0A A -，
所以2
=2a ． ………………………………………………………………………………1分 又因为直线3450x y ++=上恰存在一个点M ，使得1290F MF ︒
∠=，
即以原点O 为圆心，半径为1r OF c ==作圆O ，使得圆O 与直线3450x y ++=相切即可．
又圆心O 到直线3450x y ++=的距离2
2
30405
134
d ⨯+⨯+=
=+， …………………3分
所以 1c =，2221b a c =-=，………………………………………………………………5分
所以椭圆C 的标准方程为2
212
x y +=； …………………………………………………6分 ⑵设()00,P x y ，因为点P 在椭圆上，所以有22
0012
x y +=,……………………………………7分 因为圆T 的圆心()0,T t 在x 轴上方，且圆T 经过椭圆C 两焦点．
所以圆T 的方程为()2
221x y t t +-=+, ()0t >，…………………………………………8分 由0PQ QT ⋅=得2
2
2
PQ PT QT =-()(
)
2
2
2
001x y t t =+--+，
又22
0012
x y +=，所以()22201PQ y t t =-+++， …………………………………………10分 ①当1t --≤即1t ≥时,当01y =-时,PQ 取得最大值2t , 因为PQ 的最大值为
5
2，所以522t =,解得58
t =,又1t ≥，故舍去. ……………12分 ②当1t ->-即01t <<时,当0y t =-时,PQ 取最大值21t +, 所以2
512t +=
，解得214t =，又01t <<，所以1
2t =. ……………………………14分 综上,当1
2
t =
时,PQ 的最大值为52.………………………………………………16分
19．（1）当x ∈(0，2)时，11
()(2)(4)24
f x f x f x =
-=-， 由条件，当x - 4∈(-4，-2)，(4)f x -的最大值为 - 4，
所以()f x 的最大值为 - 1．……………………………………………………………2分 因为11()ax
f x a x x
+'=
+=
，令()0f x '=，所以1x a =-．……………………………3分 因为12a <-，所以1
(0,2)a -∈．当x ∈(0，1a -)时，()0f x '>，()f x 是增函数；
当x ∈(1
a
-，2)时，()0f x '<；()f x 是减函数．
则当x =1a -时，()f x 取得最大值为11
()ln()11f a a
-=--=-．所以a = - 1．……6分
（2）设()f x 在()1,2x ∈的值域为A ，()g x 在()1,2x ∈的值域为B ，则依题意知A ⊆B ．
因为()f x 在()1,2x ∈上是减函数，所以A = (ln 22,1)--．
A
B
C
D
E
F
O
又22()(1)g x bx b b x '=-=-，因为()1,2x ∈，所以()210,3x -∈． ① b > 0时，()g x '> 0，g (x )是增函数，B = 22
(,)33b b -．
因为A ⊆B ，所以2ln 223b --≤．解得3
3ln 22
b -≥．
② b < 0时，()g x '< 0，g (x )是减函数，B = 22
(,)33b b -．
因为A ⊆B ，所以2
ln 223
b -≤．33ln 22b -+≤．
由①，②知，33ln 22b -+≤，或3
3ln22
b -≥．……………………………………………16分
20．（1）由n a ，n b -，1n a +成等差数列可得，12n n n b a a +-=+，①
由n b ，n a -，1n b +成等差数列可得，12n n n a b b +-=+， ② ①+②得，113()n n n n a b a b +++=-+，
所以{}n n a b +是以6为首项、3-为公比的等比数列．………………………………………6分 （2）由（1）知，16(3)n n n a b -+=⨯-，③ ①-②得，112n n n n a b a b ++-=-=-，④
③+④得，116(3)2
3(3)12n n n a --⨯--==⨯--， ……………………………………………8分
代入1144
n m n m a m a a m a ++-+=-+，得113(3)13(3)3
3(3)13(3)3n m n m m m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+，
所以11[3(3)1][3(3)3][3(3)1][3(3)3]n m n m m m --⨯---⨯-+=⨯---⨯-+，
整理得，(1)(3)3(3)0m n m +-+⨯-=，所以11(3)n m m -++=-，……………………………10分 由m 是不超过100的正整数，可得12(3)101n m -+-≤≤，所以12n m -+=或4， 当12n m -+=时，19m +=，此时8m =，则9n =，符合题意； 当14n m -+=时，181m +=，此时80m =，则83n =，符合题意． 故使
114
4
n m n m a m a a m a ++-+=-+成立的所有数对(,)m n 为(8,9)，(80,83)．………………………16分
数学Ⅱ部分
21．A ． 连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M ．
因为OA =OD ，所以∠OAD =∠ODA ； 又因为∠OAD =∠DAE ，所以∠ODA =∠DAE
所以OD //AE ；又 因为AC ⊥BC ，且DE ⊥AC ，所以BC //DE ．
所以四边形CMDE 为平行四边形，
所以CE MD =，…………………………………………………………………………………5分 由
35AC AB =，设AC =3x ，AB =5x ，则OM =32x ，又OD =5
2
x ， 所以MD 52x =
-3
2
x x =，所以4AE AC CE x =+=， 因为OD //AE ，所以
FD AF =48
552
AE x OD x ==． ………………………………………………10分
B ． 由矩阵A 属于特征值－1的一个特征向量为α1＝11⎡⎤
⎢
⎥-⎣⎦
可得， 21a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝111⎡⎤
-⎢⎥-⎣⎦
，即a －b ＝－1；……………………………………………………3分
由矩阵A 属于特征值4的一个特征向量为α2＝32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
可得21a b ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝342⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦，即3a +2b ＝12，…………………………………………………6分 解得23a b =⎧⎨=⎩.即A ＝2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，…………………………………………………………………8分 所以A 逆矩阵A -1
是1142314
2⎡⎤
-⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
……………………………………………………………10分 C ．（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得22
1259
x y +=，
因为5,3,4a b c ===,则点F 的坐标为(4,0).
因为直线l 经过点(,0)m ，所以4m =.………………………………………………4分 （2）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：
222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.……………………………………………6分
设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则
12||FA FB t t ⋅==
222
8181
.9cos 25sin 916sin ααα
=++ 当sin 0α=时，FA FB ⋅取最大值9； 当sin 1α=±时，FA FB ⋅取最小值
81
.25
……………………………………………10分
D ． 因为x ，y ，z 都是为正数，所以
12
()x y x y yz zx z y x z
+=+≥． ………………………………4分 同理可得
22
y z z x zx xy x xy yz y
++≥，≥，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得
111
x y z yz zx xy x y z
++++≥．………10分 22．（1）证明：如图，以AB ，AC ，AA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系A －xyz ．
则P （λ，0,1），N （12，12，0），M （0,1，1
2），
从而PN ＝（12－λ，12，－1），AM ＝（0,1，1
2），
P N A M ⋅＝（12－λ)×0＋12×1－1×1
2
＝0，所以PN ⊥AM ；…4分
（2）平面ABC 的一个法向量为n ＝1AA ＝（0,0,1）．
设平面PMN 的一个法向量为m ＝（x ，y ，z ），
由（1）得MP ＝（λ，－1，12
）．由00NP MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得11
02210
2
x y z x y z λλ⎧⎛⎫--+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+=⎪⎩
解得()213213y x z x λλ+⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，令3x =，得()3,21,22λλ=+-m ． ………………………………8分
因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45°， 所以cos ,⋅=
m n
m n m n ＝|2(1－λ)|9＋(2λ＋1)2＋4(1－λ)2＝22
，解得λ＝－12，
故点P 在B 1A 1的延长线上，且A 1P ＝1
2．……………………………………………………10分
23．⑴ 因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,23,2,12,1,3或或，
所以()313P =；………………………………………………………………………………2分 ⑵
()()()()()()4
4
4
4
4
4
4
01234k P k P P P P P ==++++∑
011112
433424=C C C +C C +C +0+1=9+8+6+0+1=24；……………………………………………4分
⑶ 把数列1,2,,n ⋅⋅⋅中任取其中k 个元素位置不动， 则有k
n C 种；其余n k -个元素重新排列，并且使其余n k -个元素都要改变位置，则有()()0k
n n
n k P k C P -=，………………………6分 故
()()0
0n n
k
n
n n k
k k kP k kC
P
-===∑∑，又因为11k k n n kC nC --=， 所以
()()()()1
1
11
10
00
00.n
n
n n k
k
n
n n k
n n k n k k k k kP k kC
P n C
P
n P k -------=======∑∑∑∑，……………………8分
令()0
,n
n n
k a kP k ==
∑则1,n
n a
na -=且1 1.a =
于是23411231234n n n a a a a a a a a na --⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯， 左右同除以2341n a a a a -⋅⋅⋅，得234!n a n n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯= 所以()0
!n
n
k kP k n ==∑ ………………………………………………………………………10分。