江苏省南京市高考数学(苏教版,理)一轮题库：第5章 第1讲 平面向量的概念及线性运算

第五章 平面向量
第1讲 平面向量的概念及线性运算
一、填空题
1．已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C.若OA →－3OB →＋2OC →
＝0，则|AB →||BC →|等于________．
解析 由已知得，OB →－OA →＝2(OC →－OB →
)， ∴AB →＝2BC →
，∴|AB →||BC →|
＝2.
答案 2
2．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c)∥b ，则k ＝________. 解析 依题意得a －c ＝(3－k ，－6)， 由(a －c)∥b 得－6＝3(3－k)，k ＝5. 答案 5
3．在▱ABCD 中，点E 、F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
解析 如图，设AB →＝a ，AD →
＝b ，则 AC →＝AB →＋AD →
＝a ＋b ， AF →＝AB →＋BF →
＝a ＋12
b ，
AE →＝AD →＋DE →＝12a ＋b ，所以AE →＋AF →＝3
2(a ＋b)＝32AC →，
即AC →＝23AE →＋23AF →
.所以λ＝μ＝23，λ＋μ＝43.
答案 4
3
4． 在△ABC 中，已知点D 为BC 边上的中点，点P 满足PA →＋BP →
＋CP →＝
0.AP →＝λPD →
，则实数λ的值为________．
解析 如图所示，由AP →＝λPD →，且PA →＋BP →＋CP →
＝0，则P 为以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →
，则λ＝－2.
答案 －2
5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c ，都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb(λ，μ为实数)，则m 的取值范围是________．
解析 本题考查平面向量基本定理．任意两个不共线的向量均可作为基底向量来表示平面内的任一向量，故本题需满足a ，b 不共线，当a ∥b ，即向量a ，b 共线时，满足3m －2＝2m ，解得m ＝2.故a ，b 不共线时，m ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)．
答案 (－∞，2)∪(2，＋∞)
6．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →
＝________.
解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →，因为E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →
.因为点F 为BC 的中点，
所以CF →＝12CB →.所以EF →＝EC →＋CF →＝12DC →＋12CB →＝12AB →＋12DA →＝12AB →－12AD →.
答案 12AB →－12
AD →
7．在△AOB 中，已知OA ＝4，OB ＝2，点D 是AB 的中点，则OD →·AB →＝________.
解析 特值法：设△ABO 为直角三角形，建立坐标系如图，OD →·AB →＝
12(OA →＋OB →)·AB →
＝12(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝12(OB2→－OA2→)＝－6.[ ] 答案 －6
8. 如图所示，在△ABC 中，BD →＝12DC →，AE →＝3ED →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则BE →
＝________(用a ，b
表示)．
解析 BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋34AD →
＝BA →＋34(AB →＋BD →)＝BA →＋34AB →＋34BD →
＝－14AB →＋34×13BC →＝－14AB →＋14(BA →＋AC →
)
＝－12AB →＋14AC →＝－12a ＋14b.
答案 －12a ＋14
b
9．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →
|，则△ABC 的形状为________．
解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →
|＝|AB →－AC →|.
故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．
答案 直角三角形
10．已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c
与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于________． 解析 ∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c.① 又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a.②
由①得：b ＝λ1c －a.∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0λ2＝－1，即⎩
⎪⎨⎪
⎧
λ1＝－1λ2＝－1，∴a ＋b
＋c ＝－c ＋c ＝0.
答案 0 二、解答题
11．如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →
、
MN →
.
解 OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16
b
12. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相
交于点P ，求AP ∶PM 的值． 解 设BM →＝e1，CN →
＝e2， 则AM →＝AC →＋CM →
＝－3e2－e1，
BN →＝2e1＋e2，因为A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，所以存在λ、μ∈R ，使AP →＝λAM →＝－λe1－3λe2，BP →＝μBN →＝2μe1＋μe2.故BA →＝BP →－AP →
＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2， 而BA →＝BC →＋CA →
＝2e1＋3e2，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，所以
⎩⎨⎧
λ＝45
，μ＝35，
所以AP →＝45AM →，所以PM →＝15AM →
，即AP ∶PM ＝4∶1.
13．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →
；
(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝ma ，OQ →
＝nb ，求证：1m ＋1n ＝3.
(1)解 因为GA →＋ GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →
＝0. (2)证明 因为OM →＝1
2(a ＋b)，且G 是△ABO 的重心，
所以OG →＝23OM →＝1
3
(a ＋b)．由P ，G ，Q 三点共线，
得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 又PG →＝OG →－OP →＝1
3(a ＋b)－ma ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →
＝nb －13(a ＋b)＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋1
3b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝
⎛⎭⎫n －13b . 又因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧
13－m ＝－13
λ，13＝λ⎝⎛⎭⎫
n －13，
消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1
n
＝3.
14. 如图所示，已知△ABC 的面积为14 cm2，D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且AD DB ＝BE
EC ＝2，求△
APC 的面积．
解 设AB →＝a ，BC →＝b ，则AE →＝a ＋23b ，DC →＝1
3
a ＋b.
因为点A ，P ，E 和点D ，P ，C 均三点共线，所以存在λ和μ，使得AP →＝λAE →＝λa ＋23λb ，DP →＝μDC
→
＝13μa ＋μb. 又因为AP →＝AD →＋DP →＝⎝⎛⎭⎫23＋13μa ＋μb ，所以有⎩⎨⎧
λ＝23＋1
3μ，2
3λ＝μ，解得λ＝67，μ＝4
7
，所以S
△PAB ＝47S △ABC ＝47×14＝8 (cm2)，S △PBC ＝14×⎝⎛⎭⎫1－67＝2 (cm2)， 故S △APC ＝14－8－2＝4(cm2).。