四川省旺苍东城中学高三年级12月考试(理科)

四川旺苍东城中学高三年级12月考试
数 学 试 题（理科）
考试时间：120分钟 试卷分值：150分
第Ⅰ卷 （选择题共60分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，集合{}
23<-∈=x Z x A ，则集合A C U 等于 （ ） A ．{1，2，3，4 } B ．{2，3，4} C ．{1，5} D ．{5} 2．函数)1(11≥+-=
x x y 的反函数是 （ ）
A ．)1(222<+-=x x x y
B ．)1(222≥+-=x x x y
C ．)1(22≤-=x x x y
D ．)1(22≥-=x x x y 3．已知数列{}n a 为等差数列，且3
895π
=
+a a ，则7tan a ＝ （ ） A ．3 B ．－3 C ．3± D ．3
3-
4．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫
=-
⎪3⎝⎭
的图象 （ ） A ．向右平移
π
3个单位 B ．向右平移
π
6个单位 C ．向左平移π
3
个单位
D ．向左平移π
6
个单位
5．设n m l ,,均为直线,其中n m ,在平面”“”“,n l m l l a ⊥⊥⊥且是则内α的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．设b a ,为实数，且3=+b a ,则b
a 22+的最小值为 （ ）
A ．6
B ． 8
C ． 10
D ．42
7．若函数()f x 的导函数2
()43f x x x '=-+，则函数(1)f x +的单调递减区间是 （ ）
A ．(4,2)--
B ．(3,1)--
C ．(1,3)
D ．(0,2)
8．对任意实数[]2,2-∈x ，不等式032
<-+a ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()+∞,0
B ．()+∞,4
C ．()12,-∞- Ｄ．()0,12-
9．若)1
111(lim ,156lim 32221n n x a
a a a a x x x ++++=-+-∞→→ 则的值为 （ ）
A ．3
1
-
B ．－2
C ．2
1-
D ．3
10．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式n x
x )2(2
+
展开式中常数项是（ ）
A ．第8项
B ．第7项
C ．第10项
D ．第9项 11．已知函数()cos
6
x
f x π=,集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9A =,现从A 中任取两个不同的元素m,n ,则
()()0f m f n ⋅=的概率为 ( )
A ．
512 B ．712 C ． 1436 D ．19
36
12．设方程022=++x x
和方程02log 2=++x x 的根分别为p 和q ,函数
()()2)(+++=q x p x x f ，则 （ ）
A ． )3()2()0(f f f <<
B ．)3()0()2(f f f <=
C ． )2()0()3(f f f =<
D ． )2()3()0(f f f <<
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分；
13．已知集合A =｛5｝,B =｛1,2｝,C =｛0,3,4｝，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点
的坐标，则确定的不同点的个数为 ．
14．如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2,AA 1=1,则BC 1与 平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为
15．设函数)(x f 的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数)(1
x f
-，)4(f ＝0，
则)4(1
-f ＝ . 16．已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足条件：)()1(x f x f -=+，且在[－1，0]上是增函数，给出下面关于)(x f 的命题：①)(x f 是周期函数； ②)(x f 的图象关于直线1=x 对称； ③)(x f 在[0，1]上是增函数；④)(x f 在[1，2]上是减函数；⑤)0()2(f f = 其中正确的命题是
A
A 1
B
C
D
D 1
C 1
B 1
旺苍东城中学高三年级12月考试数学试题
答 题 卷（理科）
一、选择题：
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：本题共有6小题，共74分；写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数21()cos cos 1()2f x x x x x R =
+⋅+∈ （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时的x 取值集合；
18．如图所示，在直棱柱ABC ——A 1B 1C 1的底面△ABC 中,CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA 1=2，
M ，N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点。

（1）求证：A 1B ⊥C 1M ；（2）求><11,cos CB 的值；（3）求点C 到面ABC 1的距离。

A
A 1
B
C
M N C 1
B 1
19．一个盒子中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域均为R 的函数：
6)(5cos )(4sin )()()(6
5
4
3
32
2
1
====
=
=x x x x x x x x f f f x f x
f f
，，，
，，
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得函数为奇函数的概率；
（2）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行。

求抽取次数ξ的分布列和数学期望。

20．已知3ln )(2
++-=bx x x x f 。

（1）若函数)(x f 在点()y ,2处的切线与直线022=++y x 垂直，
（1）求函数)(x f 在区间[1，3]上的最小值；
（2）若)(x f 在区间[1，m ]上单调，求b 的取值范围。

21．已知向量()()C B B A A 2sin ,sin ,cos ,cos ,sin =⋅==，且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边
c b a ,,所对的角。

（1）求角C 的大小；
（2）若B C A sin ,sin ,sin 成等差数列，且()
18=-⋅，求c 的值。

22．已知定义在R 上的函数)(x f ，满足条件：①2)()(=-+x f x f ；②对任意一个非零实数x ，都有31
2)1()(2++
=+x
x x f x f 。

（1）求函数)(x f 的解析式； （2）设函数)0(2)()(2>-=
x x x f x g ，直线x n y -=2分别与函数)(x g y =，反函数)
(1x g y -=交于n n B A ,两点（其中*
N n ∈）。

设n n n B A a =（n n B A 表示n n B A ,两点间的距离），求数列{}1+⋅n n a a 的前n 项和n T ；
（3）是否存在无限集合M ，使得当M n ∈时，总有10
1
1<-n T 成立。

若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由。

数学（理）参考答案
一、选择题：
1～5 ：CBABA 6～10 ：BABAD 11～12：AB 二、填空题： 13： 36 14： 5
10
15： －2 16：①②⑤ 三、解答题：
17．解：（1
）由已知可得11cos 21115()sin 21(cos 22)22222224
x f x x x x +=
⨯++=++ 即 15
()sin(2)264f x x π=
++， )(x f 的最小正周期是π ………………………6分 （2）当,6x k k Z ππ=+∈时,max 7
()4
f x =
所以)(x f 取得最大值时的x 取值集合是⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+
=Z k k x x ,6π
π ．
．．．．．．．12分 18．18．（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，依题意得A （1，0，0）,B （0，1，0），N （1,0,1）,A 1（1,0,2），C （0，0，0），B 1（0，1，2），C 1（0,0,2）,M （21,2
1,2）， 则()2,1,11--=A ,⎪⎭
⎫
⎝⎛=0,21,211C ∴011=⋅C A ，于是A 1B ⊥C 1M ；
（2）解：由（1）知，()2,1,11-=BA ,()2,1,01=CB , ∴311=⋅CB BA
6=
5=,
∴10
30,cos 11=
>=
<CB BA （3）解：令平面ABC 1的法向量为()z y x n ,,=，于是有01=⋅B C n ，0=⋅AB n 即()()022,1,0,,=-=-⋅z y z y x ，()()00,1,1,,=+-=-⋅y x z y x 令2=y ，则1,2==z x ，∴()1,2,2=，又()2,0,01=CC
x y
因此，点C 到面ABC 1
的距离3
212222
22=
++=
=
d 19．解：（Ⅰ）记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到函数为奇函数”。

∵共有3个奇函数，∴P (A )=5
126
23=
C
C
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（Ⅱ）ξ的可能值为1，2，3，4，
P （ξ=1）=
，2116
13
=C C P （ξ=2）=，103·15
1
316
13=C C C C P （ξ=3）=，203··14
1
315
1
216
1
3=C C C C C C P （ξ=4）=。

201 (131)
31
4
1
115
1
216
1
3=C
C C C C C C C
∴ξ的分布列为：
故Eξ=1×4
72014203310322
1=⨯+⨯+⨯
+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：
（1）1
()2f x x b x '=-+ 直线022=++y x 斜率为－2，
令)2(/f = 1
2
得b =4，∴34ln )(2++-=x x x x f
21241()240x x f x x x x x -++'∴=-+===
得
∵63ln 6>+， ∴x =1时 ，)(x f 在[1，3]上最小值6.………………………… 6′
（2）令1()2f x x b x '=
-+≥0得b ≥2x －1x ，在[1，m ]上恒成立而y =2x －1
x 在[1，m ]上单调递增，最大值为2m －
1m ，∴b ≥2m －1
m
令1()2f x x b x '=
-+≤0 得b ≤2x －1x ，在[1，m ]上恒成立而y =2x －1
x
在[1，m] 单调递增， 最小值为y =1，∴b ≤1 故b ≥2m －
1
m
或b ≤1时)(x f 在[1，m ]上单调.……………………………12分 21．解：（1）∵()(),sin ,cos ,cos ,sin B B A A ==
∴)sin(sin cos cos sin B A B A B A +=⋅+⋅=⋅
∵A 、B 、C 分别为△ABC 的三个内角，∴A+B+C=π,即[]()B A B A C +=+-=sin )(sin sin π 又∵C 2sin =⋅，C C sin 2sin ==⋅,∴2
1
cos =C , 而π<<C 0，∴3
π
=
C ………………………………6分
（2）由B C A sin ,sin ,sin 成等差数列得B A C sin sin sin 2+=,由正弦定理得b a c +=2 ∵,18)(=-⋅∴18=⋅，即18cos =C ab ，∴36=ab
根据余弦定理得()ab b a C ab b a c 3cos 22
222-+=-+=，
∴363422⨯-=c c ，解得362
=c ，∴6=c ………………………………… 12分
22．解：（1）∵对任意一个非零实数x ，都有31
2)1
()(2++
=+x
x x f x f …………………① ∴32
)()1(2++=
+x x
x f x f ……………………………② 联立方程①②得)0(1)(≠+=x x x f ，∵2)()(=-+x f x f ，即有1)0(=f ， ∴函数)(x f 的解析式为1)(+=x x f ………………………4分 （2）由（1）可得()121)(22+=
-+=x x x x g
又∵直线x n y -=
2分别与函数)(x g y =，反函数)(1x g y -=交于n n B A ,两点，
∴由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=x n y x y 212得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n n A n 2212,221222，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=x
n y x y 21
2得交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n B n 2212,221222，
∴n n n n n n n n n B A a n n n 122122212221222122
2
22
2
2=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
= ∵11
1)1(11+-
=+=
⋅+n n n n a a n n ， ∴1
111)111()3
12
1()2
1
1(+=+-=++++-+-=n n n n n T n ……………………10分 （3）令10
111111<+=-+=
-n n n T n 得9,101>>+n n 。

故满足条件的M 存在，{}
*
,9N n n n M ∈>=是一个这样的集合。

………………14分。