2019届中考数学总复习第五章四边形课时20正方形及特殊四边形的综合课件

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重难点 ·突破
考点1 正方形的性质
例1
高频考点
(2018· 宜昌)如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别 ( B )
是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD， 垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于 A．1 1 C． 3
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1 B． 2 1 D． 4
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• ☞ 思路点拨 • (1)根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根 据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可 得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与 ∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性 质，即可得解； • (2)根据矩形的性质得到∠ABC＝∠C，由余角的性质得到∠BAM＝ ∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
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练习1
如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原 ( B )
点， 点A的坐标为( 3，1)，则点C的坐标为 3 A．(－ ，1) 2 3 C．( ，1) 2 B．(－1， 3) 3 D．(－ ，－1) 2
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考点2 特殊四边形的综合 难点
• 例2 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上， AE⊥BF于点M，求证：AE＝BF； • (2)如图2，将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝2，BC＝3， AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．
∠CDF＝90° ，可得△BCE≌△CDF， 1 3 ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为 ×3＝ ，∴△BCG的周长为 2 2 3 9 ＋3＝ . 2 2
• 【错解分析】考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角 形面积问题，在解题时易误将面积当成周长．
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【正解】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，∴阴影部分的 2 面积为 ×9＝6， 3 ∴空白部分的面积为9－6＝3. 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90° ，可得△BCE≌△CDF， 1 3 ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为 ×3＝ . 2 2 1 3 设BG＝a，CG＝b，则 ab＝ .又∵a2＋b2＝32， 2 2 ∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15， 即(a＋b)2＝15，∴a＋b＝ 15，即BG＋CG＝ 15，∴△BCG的周长为 15＋3.
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2 10 (3)如答图2，过点D作DN⊥AF于N，由(2)知，GD＝ ，AF＝ 5 2 5 5，AG＝DN＝ ， 5 3 5 ∴FG＝AF－AG＝ .过点G作GH∥AQ交FQ于H，∴GH∥DF. 5 ∵FQ∥DG， 2 10 ∴四边形DFHG是平行四边形，∴FH＝DG＝ .∵GH∥AQ，∴△FGH∽△ 5 FAQ， 3 5 2 10 5 5 FG FH 2 10 ∴AF ＝FQ ，∴ ＝ FQ ，∴FQ＝ . 3 5
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易错点 混淆图形的面积问题与周长问题
• 例3 (2018·台州)如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点 E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G.若 图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3， 则△BCG的周长为_________.
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错解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3，∴阴影部分的面 积为 2 3 ×9＝6，∴空白部分的面积为9－6＝3.由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝
• ☞ 思路点拨 • 根据轴对称图形的性质和正方形的性质，可以得到四边形EFHG的面积 与四边形EFJI的面积相等，即可得解．
【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴. ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，∴根据对称性可知，四边形EFHG的面 1 1 积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴影＝ S正方形ABCD＝ . 2 2
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• 1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝CO ＝BO＝DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是 (D ) • A．平行四边形 • B．矩形 • C．菱形 • D．正方形
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• 2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点 F，则∠BFC为 (C )
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• 3．下列说法正确的是 ( A ) • A．对角线垂直的矩形是正方形 • B．有一个角是直角的平行四边形是菱形 • C．对角线互相平分的四边形是菱形 • D．一组邻边相等的平行四边形是矩形
4 ．如图， D 是△ABC 内一点， BD⊥CD ， AD ＝ BD ＝ 8 ， CD ＝ 6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH 18 的周长为______.
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正方形
直角 ， 相等 的平行四边形 (1)有一个角是⑧________ 一组邻边⑨________
是正方形(定义)； 正方形 判定
相等 的矩形是正方形； (2)一组邻边⑩__________ 直角 的菱形是正方形； (3)一个角是⑪________ 相等且互相垂直 的平行四边形是正方形； (4)对角线⑫__________________ 相等且互相垂直平分 的四边形是正方形 (5)对角线⑬______________________
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第一部分
教材同步复习
第五章 四边形
课时20 正方形及特殊四边形的综合
知识要点 ·归纳
知识点一 正方形的性质及判定
(1)边：四条边都①_______ 相等 ，即AB＝BC＝CD＝AD；对边平行： AB∥CD，AD∥BC； 直角 ，即∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝∠ (2)角：四个角都是②________ BAD＝90° ； 相等 ，每一条对角线都 性 (3)对角线：对角线互相垂直平分且③________ 一组对角 质 平分④____________( 对角线与边的夹角为45° )，即AC⊥BD，AC 平分BD，BD平分AC，AC＝BD，∠DAC＝∠CAB＝∠DCA＝∠ ACB＝45° ，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠DBC＝45° ； 中心 对称图形又是⑥______ 轴 对称图形， (4)对称性：既是⑤________ 4 条对称轴． 有⑦_____
面积
12 l 2 2 计算 S ＝a (a 为正方形的边长)＝⑭________(l 为对角线的长)
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• 【注意】(1)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形具 有矩形和菱形的所有性质； • (2)正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形；每一条 对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形．解决问题时，通常归 结到这些等腰直角三角形中求解； • (3)正方形的对角线互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘 积的一半来计算．
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(2)如答图1，过点D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延长线于M. 在Rt△ADF中，根据勾股定理得，AF＝ 5. 1 1 ∵S△ADF＝ AD· FD＝ AF· DN. 2 2 2 5 ∴DN＝ .∵△BAE≌△ADF， 5 ∴S△BAE＝S△ADF.∵BE＝AF，∴AG＝DN ，易证，△AEG≌△DEM(AAS)， ∴AG＝DM，∴DN＝DM.∵DM⊥BE，DN⊥AF，∴GD平分∠MGN，∴∠ 1 DGN＝ ∠MGN＝45° ， 2 2 10 ∴△DGN是等腰直角三角形，∴GD＝ 2DN＝ . 5
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【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C，AB＝BC． ∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90° . ∵∠ABM＋∠CBF＝90° ，∴∠BAM＝∠CBF. ∠BAE＝∠CBF， 在△ABE和△BCF中，AB＝BC， ∠ABE＝∠BCF， ∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴AE＝BF.
• A．45° • C．60°
B．55° D．75°
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知识点二
平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系
• 1．如图所示：
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2．中点四边形：借助三角形中位线性质即可判定任意四边形的中点四边形为 平行四边形；再由两条对角线的位置、长短关系判断中点四边形为何种特殊平行四 边形，依据如下： 相等→矩形 对角线互相垂直→菱形 相等、互相垂直平分→正方形 中点四边形 矩形 ――→ 菱形 补充菱形中点四边形 ――→ 矩形 正方形中点四边形 ――→ 正方形
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2 (2)AE＝ BF，理由如下： 3 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C． ∵AE⊥BF，∴∠AMB＝∠BAM＋∠ABM＝90° . ∵∠ABM＋∠CBF＝90° ，∴∠BAM＝∠CBF， AE AB 2 2 ∴△ABE∽△BCF，∴BF＝BC＝ ，∴AE＝ BF. 3 3
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• 练习2 如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两点，BE 交AF于点G，且DE＝CF. • (1)写出BE与AF之间的关系，并证明你的结论； • (2)如图2，若AB＝2，点E为AD的中点，连接GD，试证明GD是∠EGF 的角平分线，并求出GD的长； • (3)如图3，在(2)的条件下，作FQ∥DG交AB于点Q，请直接写出FQ的 长．
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• 解：(1)BE＝AF, BE⊥AF. • 理由：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝ 90°.∵DE＝CF， • ∴AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF.∵∠ABE ＋∠AEB＝90°， • ∴∠DAF＋∠AEB＝90°，∴∠BGA＝90°，∴BE⊥AF.