福建省龙岩市新罗区龙岩莲东中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试卷(含解析)

2023-2024学年福建省龙岩市新罗区莲东中学九年级（下）第一次月考
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列各运算中，计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图是五个大小相同的正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则么一定是( )
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
5.如图，A、B、C三点在数轴上所表示的数分别为a，b，根据图中各点的位置，下列各式正确的为( )
A. B. C. D.
6.估计的值应在( )
A. 3和4之间
B. 4和5之间
C. 5和6之间
D. 6和7之间
7.若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为( )
A. B.
C. 且
D. 且
8.如图，在中，点E、F分别在边AB、AC上，并且满足，
的面积为2，则的面积为( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
9.如图，在矩形ABCD中，，，将矩形沿AC折叠，则重
叠部分的面积为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
10.若二次函数当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.5G信号的传播速度为，将数据300000000用科学记数法表示为__________.
12.在函数中，自变量x的取值范围是______.
13.分解因式：______.
14.若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是__________.
15.如图，AD是的外接圆的直径，若，则______
16.如图，正方形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，边BC的中点F在y轴上，若
反比例函数的图象恰好经过CD的中点E，则OA的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共88分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题8分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18.本小题8分
先化简，再求值：，其中
19.本小题8分
在▱ABCD中，，
在AD边上求作一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹在的条件下，连接BP，若，求的面积．
20.本小题8分
如图，为了测量某条河的对岸边C，D两点间的距离．在河的岸边与CD平行的直线EF上取两点A，B，测
得，，，量得AB长为70米．求C，D两点间的距离参考数据：
，，
21.本小题8分
某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，
乙种奖品每件20元．
如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？
若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？
22.本小题12分
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点
和点，过A点作x轴的垂线，垂足为点C，的面积为
分别求出a和b的值；
结合图象直接写出中x的取值范围；
在y轴上取点P，使取得最大值时，求出点P的坐标．
23.本小题10分
某生活小区鲜奶店每天以每瓶3元的价格从奶场购进优质鲜奶，然后以每瓶6元的价格出售，如果当天卖不完，剩余的只有倒掉．店主记录了30天的日需求量单位：瓶，整理得下表：
日需求量2627282930
频数58764
求这30天内日需求量的众数；
假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，求这30天的日利润单位：元的平均数；
以30记录的各需求量的频率作为各需求是发生的概率．若鲜奶店每天购进28瓶，求在这记录的30天内日利润不低于81元的概率．
24.本小题12分
如图，在中，，AD平分交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半
径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、
试判断直线BC与的位置关系，并说明理由；
若，，求阴影部分的面积结果保留
25.本小题14分
已知点是抛物线为常数，，与x轴的一个交点．
Ⅰ当，时，求该抛物线的顶点坐标；
Ⅱ若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上
的动点，F是y轴上的动点，
①当点E落在抛物线上不与点C重合，且时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：
直接利用单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则、完全平方公式以及积的乘方的运算法则分别化简
得出答案．
此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：从上面看得到的图形是.
故选：
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程，设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产台机器，根据题意可得，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可．
【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产台机器，
由题意得
故选
4.【答案】D
【解析】解：由，得
，
则一定是等腰直角三角形，
故选：
根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：由数轴知，，则，，，，
则D选项正确，
故选：
根据数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，得出a、b、c的大小关系和正负关系，再逐一判
断各选项．
本题主要考查了数轴上的点的大小关系，有理数的乘法与减法运算，关键是运用数形结合，正确判断a、b、c的正确与大小关系．
6.【答案】B
【解析】解：，
，
故选：
根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键，又利用
了不等式的性质．
7.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，由分式方程的解为正数且列式求出m的范围即可．【解答】
解：去分母得：，
解得：，
由方程的解为正数且，得到，且，
故选：D
8.【答案】B
【解析】解：的面积为2，
，
，
∽，
，
，
的面积，
故选：
根据的面积为2，求得，通过∽，根据相似三角形的性质得到，求得，即可得到结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：矩形ABCD，
，，，
由翻折变换的性质可得，，，
，
≌，
，，
设，则，
在中，，
即，
解得，
故选：
根据矩形的性质及翻折变换的性质求得AF，根据题意可得，，求解即可．
本题考查了翻折变换的性质及矩形的性质，解题的关键是掌握翻折变换的性质及矩形的性质．
10.【答案】C
【解析】解：二次函数的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
，
故选：
根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查科学记数法的表示方法，表示数据时关键要正确确定a的值以及n的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：
故答案为：
12.【答案】
【解析】解：由题意得，，
解得
故答案为：
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查提公因式法与公式法分解因式．
本题应先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【解答】
解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
不等式组有2个整数解，
不等式组的整数解为2、3，
则，
解得，
故答案为：
15.【答案】50
【解析】解：连接BD，如图，
为的外接圆的直径，
，
，
故答案为
连接BD，如图，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
16.【答案】
【解析】解：过E 作轴于H ，连接OE ，
设：
，
，
过点B 作y 轴的平行线交x 轴于点N ，作于点M ，
四边形ABCD 是正方形，
，
，
，
，
点F 与点E 分别是BC ，CD 的中点，
，
≌
，
点F 是BC 的中点，则，
，
同理≌
，
则
，，
，故
，点，则，而
，
解得：
，
，
，
故答案为：证明
≌，点F 是BC 的中点，则
，
，同理≌
，则
，，
，故
，点
，
则，而
，解得：
，
，
，
即可求解．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造相似三角形．
17.【答案】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得
所以原不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
.
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：
，
当时，原式
【解析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．19.【答案】解：点P即为所求；如图，
过点P作BA延长线的垂线，垂足为E，
在▱ABCD中，，，
，，
平分，
，
，
在中，
，
答：的面积为
【解析】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质准确画图．
根据角平分线的性质即可在AD边上求作一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；
根据，即可求的面积．
20.【答案】解：过点C、D分别作，，垂足为M、N，
在中，，
，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
，
答：C，D两点间的距离为米，
【解析】本题考查直角三角形的边角关系的应用，掌握直角三角形的边角关系以及几个直角三角形之间的关系是正确解答的关键．
通过作辅助线，在三个直角三角形中，根据边角关系，分别求出CM、BM、DN、BN，进而求出答案．21.【答案】解：设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了件，
根据题意得，
解得，
则，
答：甲种奖品购买了20件，乙种奖品购买了10件；
设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了件，设购买两种奖品的总费用为w元，
根据题意得，解得，
，
，
随x的增大而增大，
又x是整数，
时，w有最小值为：
答：当购买甲种奖品8件、乙种奖品22件时，总花费最小，最小费用为680元．
【解析】本题考查了一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的应用，属于中等题.
设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程
，然后解方程求出x，再计算即可；
设甲种奖品购买了x件，乙种奖品购买了件，设购买两种奖品的总费用为w元，由购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再由总价=单价数量，可得出w关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
22.【答案】解：的面积为4，
，
解得，，或不符合题意舍去，
反比例函数的关系式为，
把点和点代入得，
，；
答：，；
根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集为或；
点关于y轴的对称点，
又，则直线与y轴的交点即为所求的点P，
设直线的关系式为，
则有，
解得，，
直线的关系式为，
直线与y轴的交点坐标为，
即点P的坐标为
【解析】根据的面积为4和反比例函数图象的位置，可以确定k的值，进而确定反比例函数的关系式，代入可求出点A、B的坐标，求出a、b的值；
根据图象直接写出的解集；
求出点关于y轴的对称点，根据题意直线与y轴的交点即为所求的点P，求出直线的关系式，进而求出与y轴的交点坐标即可．
本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质，轴对称的性质和应用，把点的坐标代入是求函数关系式常用方法，作对称点是求线段和或差最小值的常用方法．
23.【答案】解：出现了8次，出现的次数最多，
这30天内日需求量的众数是27，
假设鲜奶店在这30天内每天购进28瓶，
则这30天的日利润的平均数是：
元，
；
设每天的需求量为x瓶时，日利润不低于81元，根据题意得：
，
解得：，
则在这记录的30天内日利润不低于81元的概率为：
【解析】根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案；
根据平均数的计算公式列式计算即可；
设每天的需求量为x瓶时，日利润不低于81元，根据图表所给出的数据列出算式，求出x的取值范围，再根据概率公式进行计算即可．
此题考查了众数、加权平均数和利用频率估计概率，掌握这些基本概念才能熟练解题．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】直线BC是的切线
证明：连接OD，如图：
，
，
平分，
，
，
，
，
即，
又为的半径，
直线BC是的切线；
解：设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积
【解析】连接OD，求出，求出，根据切线的判定得出即可；
根据勾股定理求出，求出，得出，再分别求出和扇形DOF的面积即可．
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．
25.【答案】解：Ⅰ当，时，抛物线的解析式为
抛物线经过点，
，
解得，
抛物线的解析式为
，
抛物线的顶点坐标为
Ⅱ①抛物线经过点和，，
，，即
，
抛物线的解析式为
根据题意得，点，点，
过点A作于点H，由点，得点
在中，，，
，
，
，
解得
此时，点，点，有
点F在y轴上，
在中，
点F的坐标为或
②由N是EF的中点，连接CN，CM，得
根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上，
由点，点，得，，
在中，
当，即时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为，解得；
当，即时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为
，
解得
当m的值为或时，MN的最小值是
【解析】Ⅰ将代入抛物线的解析式求出，由配方法可求出顶点坐标；
Ⅱ①根据题意得出，求出抛物线的解析式为则点，点
，过点A作于点H，由点，得点根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出求出，当，即时，当，即
时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。