概率论与数理统计公式集锦

概率论与数理统计公式集锦
一、随机事件与概率
二、随机变量及其分布
1、分布函数
2、离散型随机变量及其分布
3、续型随机变量及其分布
4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,
j i
i j g x y P Y y p i ===
=∑
，
连续型：①分布函数法，②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调
三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2,
i j ij P X
x Y y p i j ====分布函数(,)i i ij x x y y
F X Y p ≤≤=∑∑
边缘分布律：(
)i i ij j
p P X x p ⋅===∑ ()j j ij i
p P Y y p ⋅===∑
条件分布律：(),1,2,
ij i j j
p P X x Y y i p ⋅===
=，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ⋅
===
=
2、连续型二维随机变量及其分布
①联合分布函数及性质
分布函数：⎰
⎰
∞-∞
-=x
y
dudv
v u f y x F ),(),(=P （X<=x,Y<=y ）
性质：2(,)
(,)1,(,),F x y F f x y x y
∂+∞+∞==∂∂((,))(,)G
P x y G f x y dxdy ∈=
⎰⎰
②边缘分布函数与边缘密度函数
分布函数：⎰⎰
∞-+∞
∞
-=x
X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰
+∞
∞
-=
dv v x f x f X ),()(
③条件概率密度
+∞<<-∞=
y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)
()
,()( 3、随机变量的独立性
随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=，
离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y =
4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j k
k i j x y z P Z z P X x Y y +===
==∑
连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞+∞
-∞-∞=-=-⎰⎰
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型∑+∞
==1
)(k k k p x X E ，连续型⎰+∞
∞
-=dx x xf X E )()(
②性质：(),E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，)()()(Y E X E Y X E ±=±
b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =
2、方差
①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=-
②性质：0)(=C D ，)()(2X D a b aX D =±，),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=±
当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=±
3、协方差与相关系数
①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov ②相关系数：
XY ρ，当X 、Y 相互独立时：0=XY ρ(X,Y 不相关)
③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov =
),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ε有2
)
(})({εεX D X E X P ≤
≥-
2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若n X X 1相互独立，
2
)
(,)(i i i i X D X E σμ==且
C i ≤2
σ，则：
∑∑
==∞→−→
−n
i i
P
n
i i n X E n
X n
1
1
)(),(1
1
②伯努利大数定律：设n A 是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中
发生的概率，则0ε∀>，有：lim 1A n n P p n ε→∞
⎛⎫
-<= ⎪⎝⎭
③辛钦大数定律：若1,
,n X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，则μ∞
→=−→−∑n P n
i i
X
n
1
1
3、中心极限定理
①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量(1,2,)i X i =，均值为μ，方差为
02
>σ，当n
充分大时有：1
((0,1)~n
n k k Y X n N μ==-−−
→∑ ②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量),(~p n B X ，则对任意x 有：
③近似计算：1
()n
k k P a X b =≤≤≈Φ-Φ∑ 概率论与数理统计公式整理1、总体和样本的分布函数 设总体()X
F x ，则样本的联合分布函数)(),(121k n
k n x F x x x F =∏=
2、统计量
样本均值：∑
==
n
i i X n
X 1
1
，样本方差：∑
∑
==--=--=
n
i i n
i i X n X n X X n S 1
22122
)(11
)(11 样本标准差：∑
=--=
n
i i X X n S 12)(11 ，样本k 阶原点距： 2,1,1
1
==∑=k
X
n
A n
i k
i k
样本k 阶中心距：1
1(),1,2,3n k k i i B X X k n ==-=∑
3、三大抽样分布
(1)2χ分布：设随机变量(0,1)i X N (1,2,,)i n =且相互独立，则称统计量
2
22212n X X X ++=χ服从自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ
性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ
(2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则称统计量：n
Y X T =服从自由
度为n 的t 分布，记为)(~n t T
性质：①()0(1),()(2)
2n E T n D T n n =>=>-②2
2
lim ()()x n n f x x ϕ-→∞==
(3)F 分布：设随机变量22~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 独立，则称统计量(,)X m
F m n Y n
=
服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记为~(,)F F m n ，性质：设~(,)F F m n ，则
1~(,)F n m F
七、参数估计
1.参数估计
①定义：用12(,,,)n X X X θ∧
估计总体参数θ，称12(,,,)n X X X θ∧
为θ的估计量，相应的
12(,,
,)n x x x θ∧
为总体θ的估计值。

②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值
2.点估计中的矩估计法：
基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩
求法步骤：设总体X 的分布中包含有未知参数12,,,k θθθ，它的前k 阶原点
矩()(1,2,,)i i E X i k μ==中包含了未知参数12,,,k θθθ，
即12(,,,)(1,2,,)i i k g i k μθθθ==；又设12,,,n x x x 为总体X 的n 个样本值，用样本矩代替
i μ，在所建立的方程组中解出的k 个未知参数即为参数12,,,k θθθ的矩估计量12,,
,k θθθ∧
∧
∧。

注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶矩。

3.点估计中的极大似然估计
设12,,n X X X 取自X 的样本，设~(,)X f x θ或~(,)X P x θ， 求法步骤：
①似然函数：1
1
()(,)()()(,)()n n
i i i i i L f x L P x θθθθ====∏∏连续型或离散型
②取对数：1
ln ()ln (,)n i i L f x θθ==∑ 或1
ln ()ln (,)n
i i i L p x θθ==∑
③解方程：
1
ln ln 0,,0k
L
L θθ∂∂==∂∂，解得：111212(,,,)(,,,)
n k k n x x x x x x θθθθ∧∧
∧∧⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩ 4.估计量的评价标准
5. 单正态总体参数的置信区间
八、假设检验
1.假设检验的基本
概念
2.单正态总体均值和方差的假设检验。