系统模型化原理

0 供应曲线变为竖直 2. 使β尽量小，如β=0 p 靠经济实力控制商品数量不变 S D
0
q0
q
拟合法
（一）趋势曲线
按照现有趋势去预测未来是系统分析中最常用的方式。
• • • •
x 准线性型 指数型 L x S型 1 be ct O 双指数型
x
x L L/2
logx
x
t O t （b） t
XY nXY b X 2 nX 2 a Y bX
有a和b，即可写出回归方程。
拟合法
例4-5 使用最小二乘法的线性回归
X 大学毕业后工作年数
3
Y 年薪（＄1000）
30
8
9 13
57
64 72
3
6 11 21 1 16
36
43 59 90 20 83
预测有10年工作经验的大学毕业生的年薪为多少？
m1 0 p1 0
m2 0 0 0
pn 2
mn 1 F0 t 0 F1 t 0 Fn 1 t 0
莱氏矩阵 M
F (t ) MF (t )
一般形式：
拟合法
ˆ a bX 表示工作年数和年薪之间的关系。 用方程 Y
以上数据

x 9.1 ， y 55.4 a=23.6, b=3.5
ˆ 23.6 3.5 X Y
预测有10年工作经验的大学毕业生的年薪为 ＄58.6K。
ˆ ab X b X Y 1 1 2 2
多元回归：
D 与v不是线性关系
机理法
经验模型
D = dr(反应距离 )+dB(刹车距离 ) dr = v(英尺) 经转换： logd B logv c logv logk
logdB
logd B 2logv log0.05
幂函数形式为 ：
2
· · ·
logv
1 2
d B kv 0.05v
X（期中考试成绩）
72
Y（期末考试成绩）
84
50
81 74 94 86 59 83 65 33 88 81
63
77 78 90 75 49 79 77 52 74 90
拟合法 对于非多项式趋势，如何拟合？
例4-6 城市人口和“生活节奏”的关系
城 市 1 2 人口数P 341 948 1 092 759 logP 5.53 6.04 平均时间T(s) 10.4 8.5 平均速度V(英尺/s) 4.81 5.88
随机矩阵：
1 2 P3 4 5 1/ 2 1/ 4 1/16 0 3/10 1/8 1/ 4 0 1/ 2 1/10 3/ 8 0 3/ 4 1/ 6 2 /10 0 1/ 4 1/16 1/ 3 4 /10 0 1/ 4 1/8 0 0
居民流动权重有向图
条件概率：pij=p(j|i)，在给定起始状态
i的条件下，下一步出现j状态的概率。
镇1 镇2 镇5 镇3 镇4
镇1 -2 -3 -镇1 -2 -4 -5 -镇1 -3 -4 -5 -镇2 -3 -4 -第 3年 第 4年 第 n年
第 1年
第 2年
马尔可夫链：传递概率矩阵（亦称随机矩阵）的每行各 元素之和为1。 该模型可用于计算事件的未来状态。

马尔可夫过程 一类时间、状态均为离散的动态随机系统，从一时期 到下时期的状态按一定概率转移；下时期状态只取决于本
时期状态和转移概率。
马尔可夫性质：马尔可夫链是随机变量X1, X2, X3, …的一个数列。如果Xn+1对于过去状态的条件概 率分布仅是Xn的一个函数，则 P(Xn+1=x∣X0,X1,X2,…，Xn)=P(Xn+1=x∣Xn)
反应距离: “司机决定刹车到制动器开始起作用”的距离 刹车距离: “制动器开始起作用到汽车完全停止”的距离
反应 距离
反应时间 车速 制动器作用力 车重、车速 道路、气候…
司机状况 制动系统灵活性
刹车 距离
最大制动力与车质量成正比, 使汽车作匀减速运动
机理法 实验数据：
车速v (英里/小时) 30 50 70 反应距离dr (英尺) 30 50 70 刹车距离dB (英尺) 45 125 245 停车距离D (英尺) 75 175 315
商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定。
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定。
图解法
价格p
D p2
p1 O C M B E
S
A
q2
q3 q1
商品量q
供给关系：S曲线，增函数 需求关系：D曲线，减函数 M：平衡点(q0, p0)
需求曲线D与供应曲线S （稳定情况）
q1->p1->q2->p2->…, qk->q0, pk->p0，A->B->C->…->M，稳定
四 个 假 设
生存率：设pi为生存率，则Fi+1(t+Δ) = piFi(t)。
生育率：令mi表示每个i年龄组的人在Δ年内的生育率，
则在t+Δ时刻新婴孩数为：F0 (t ) mi Fi (t )
i 0 n 1
m0 F0 t p0 F1 t 0 Fn 1 t 0
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术。 技术大致有章可循，艺术无法归纳成普遍适用的准则。
想象力
洞察力
判断力
图示模型
什么是马尔科夫链——例1 人口转移模型
1/2 1 1/16 3/8 1/16 2/10 3 3/4 1/16 1/6 3/10 1/8 1/4 1/4 1/10 5 4/10 4 1/3 1/2 1/4 1/4 2
晴天 晴天 阴天 下雨 0.50 0.375 0 阴天 0.25 0.25 0 下雨 0.25 0.375 1
例4-2 人的健康状态转变的马尔可夫模型
人的健康状态随着时间的推移会随机的发生转变。保险公司要对投
保人未来的健康状态作出估计，以制定保险金和理赔金的数额。
人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特定年龄段的人，
ˆ 0.86(logP) 0.04 V
ˆ 0.9(14.5)V P
机理法
例4-7 最短停车距离模型
问题：汽车行驶前方出现突发事件→紧急刹车； 车速越快，停车距离越长； 停车距离与车速之间是什么关系？(线性、…) 停车距离：从司机决定刹车到车完全停止这段 时间内汽车行驶的距离。
机理法 问题分析 停车距离: 反应距离 + 刹车距离
F (k) M k F (0)
k = 0,1,2,…
练习 预测生物种群数
设Δ年后，F2全部死亡，F0和F1分别有1/4死亡，生育率m0=0, m1=1, m2=2。设某一时刻年龄段F0、F1、F2的数量分别为80、40、20， 试求Δ年、2 Δ年后该生物种群按年龄分布的向量。 莱氏矩阵M=
F2 F1 F0
3
4 5
5 491
49 875 1 340 000
3.74
4.69 6.13
15.1
10.2 8.9
3.31
4.90 5.62
6
7 8 9 10
365
2 500 78 200 867 023 14 000
2.56
3.40 4.89 5.94 4.15
18.1
22.0 13.0 9.6 13.5
2.76
图解法
(1)收敛型蛛网：
需求曲线的斜率绝对值kD < 供给曲线的斜率绝对值kS
（2）发散型蛛网：
需求曲线斜率绝对值 >供给曲线的斜率绝对值
(3)封闭型蛛网：
需求曲线斜率绝对值 =供给曲线的斜率绝对值
D
P2 P3 P1
t3 t2 S
t1
S
P2
D t1 t 3
P1 P3
S
P2
t1 t2
Q2 Q1
D
S
t2
蛛网理论:考察价格波动对下一周期生产的影响，及由此产 生的供求均衡变动情况，反映了市场价格与产量周期性波动规 律。这种用需求曲线和供给曲线分析市场经济稳定性的图解法， 称为蛛网模型。
图解法 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α尽量小，如α=0 以行政手段控制商品价格不变 需求曲线变为水平 p S p0 D q

2
1
O
2
最短停车距离模型为：
D v 0.05v
刹车距离和车 速的转换关系曲线
§4-3 系统模型体系
多项式回归： 可以转换为线性多元回归。
ˆ ab X b X 2 b X3 Y 1 2 3
定义新变量：X 1 X
X2 X 2
X3 X 3
下表给出学生的期中和期末考试成绩。

拟合法
绘数据图。X和Y看上去具有线性联系吗？ 使用最小二乘法，求由学生的期中成绩预测学生的期末成绩的方程式。 预测期中成绩为86分的学生的期末成绩。
第四章 系统模型化原理
L/O/G/O
§4-1 系统模型化概述
一、模型的定义
模型是对实体的特征及其变化规律的一种表征或者抽象。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
二、模型的分类
物理模型：水箱中的舰艇、风洞中的飞机…
符号模型：地图、电路图、分子结构图…
数学模型: 对于一个现实对象，为了一个特定目的,作出 必要的简化假设，根据对象的内在规律，运用适当的数 学工具，得到的一个数学结构。
今年健康、明年保持健康状态的概率为0.8，而今年患病、明健康，问10年后他仍处于健康状态的概率。
例4-3 莱氏(Leslie)人口模型
年龄分组：假设女性人口按年龄分为 [0,Δ],[Δ,2Δ],…,[(n-1)Δ,nΔ]各组。 符号表示：令Fi(t)表示t时刻第i年龄组即 [iΔ,(i+1)Δ]区间的女性人口，则人口的年龄分 布向量F(t) = [F0(t), F1(t), …, Fn-1(t)]T。
20
F(Δ)=
30
F(2Δ)=
45
40 80
（a）
60 80
（b）
60 120
（ c）
动物种群直方图
§4-2 常用建模方法
图解法
• 主要用于变量不多（2～3个）而信息也不充分的条件 下分析变量之间的定性关系。
拟合法
• “理论”导向。 • 首先根据某种假设选择一种模型，若所收集到的数据 说明假设基本合理，则再进一步确定模型参数。
Q2 Q1 Q3
P1
D
Q2 Q Q 3 1
P
P0
t
图解法 结果解释
α——商品数量减少1单位,价格上涨增量，即kD
β——价格上涨1单位,(下时段)供应的增量，即1/kS α ~消费者对需求的敏感程度，α小, 有利于经济稳定 β ~生产者对价格的敏感程度，β小, 有利于经济稳定 kD < kS α β < 1 经济稳定
机理法
• 在研究系统运行机理的基础上提出假设，然后构建模 型。
图解法
例4-4 市场经济中的蛛网模型
现 象
在市场供求规律和市场竞争压力的作用下，商品价格背离 均衡点最终可能要向均衡点靠拢，达到所谓的市场均衡。
但是，有很多商品价格背离均衡点，却并不向均衡点靠拢。
图解法
问 题
建立一个简化的数学模型描述这种现象。
O
L/（1+b） O
（a）
双指数型曲线 t S型曲线
O
t
指数型曲线 准线性型曲线
拟合法
（二）最小二乘法
回归方程： 设 令 解得
ˆ a bX Y
ˆ 为因变量的拟合值。 其中X为自变量的观察值，Y
ˆ ) 2 (Y a bX ) 2 F (a, b) (Y Y
F 0, a F 0 b
2.27 3.85 5.21 3.70
拟合法 第五列：V=50/T 为了能够用直线拟合，进行转换：PlogP 线性转换函数常在“幂阶梯”中选择： 1 1 1 2 ...Z , Z , Z , log Z , , , 2 ,... Z Z Z 直线方程形式：V=b(logP)+a 用最小二乘法等方法确定参数。