2017届高考数学一轮复习备课手册：第26课三角函数的恒等变形与求值

第26课 三角函数的恒等变形与求值（2）
一、教学目标
1．掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式及倍角公式；
2．能用公式进行化简、求值及证明．
二、基础知识回顾与梳理
1、化简：0000
sin 21cos81sin69cos9-．
【教学建议】本题主要是为了帮助学生熟悉公式，掌握公式的特征。

教学时，教师可以引导学生通过变角运用不同的和差角公式． 2、x x y sin cos 3+=
是否为周期函数？y 有最大值吗？
【教学建议】本题选自课本，主要是复习和差角公式的逆向运用，让学生体会到三角变换是研究三角函数的主要工具，教学时，教师可以引导学生将题与和差角公式进行比较，对有关形如ααcos sin b a +的三角函数式的化简进行归纳，帮助学生理解一些常见的结论． 3、已知5
2sin =
α，且α是第二象限角，()βα+tan =1，求=βtan ．
【教学建议】本题改编自课本习题．教学时，可引导学生“拆角”，体会化归思想，在本题中就是用已知角ββα,+表示所求的角α．也可以通过解方程的方法解出βtan 并将两种方法进行比较让学生体会哪种更简捷、更合理．
4、=-+0
50tan 70tan 350tan 70tan ．
【教学建议】本题主要是复习和差角正切公式的逆向运用，由βαβα-+,的正切表示
βαβαβαtan tan ,tan tan ,tan tan -+．
5、化简：0
2
10
sin 20cos 2-+＝ ．
【教学建议】本题选自课本习题,指数有一次和二次,提问本题升幂还是降幂?为什么? 三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力．点评时要简洁，要点击要害．
2、诊断练习点评 题1、已知
2
π
απ<<，53sin =
α，2
1
tan =β，则 ()=-βαtan . 【分析与点评】由αsin 得αtan ，直接用公式．
题2．函数()()sin 2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值是 ．答案为：1. 【分析与点评】容易看出只需将将()()sin 2sin cos f x x x ϕϕ=+-变形为
()()sin f x x ϕ=--即可求解．
题3．已知2tan =θ，则θ2cos = ． 【分析与点评】
（1）已知θtan ，求θ2cos ，角不同，函数名也不同，应该先把θ2化成θ； （2）函数名不一样应该化弦为切或者化切为弦，两个途径都应提倡学生尝试； （3）化切为弦求θθsin ,cos 时，根据目标θθθ22
sin cos
2cos -=（或其它余弦的二倍角
公式），提醒学生目标是正余弦的平方，不需要对角的范围进行讨论；
（4）化弦为切时，注意让学生体会式子除以1的作用：运用平方关系θθ2
2
cos sin 1+=将
分母变形后分子分母同除以θ2
cos ．
题4．已知cos()6π
θ+
=
135，(0,)2
π
θ∈，则=θcos ．
【分析与点评】把θ表示为6
πθ+与6π
的差，然后直接用公式．
3、要点归纳
（1）本节的特点是公式多，应用灵活多变，要求理清公式的来龙去脉，把握公式的结构特征，这样才能准确地运用公式，同时要注意公式的逆用和变形用．
（2）转化的思想是实施三角变换的主导思想，变换技巧主要包括变名、变角，1的变换和升幂降幂等变换． 四、范例导析
例1、求值：（1
）0
sin40(tan10-，（2）-+00
1tan151tan15.
【教学处理】通过提问，引导学生交流、讨论，再让学生板演，老师点评．要使学生清楚转化的方向和目标.
【引导分析与精讲建议】三角函数化简的目标是函数名和角要尽可能地少，引导学生讨论：变名——切化弦，变角——和差角公式，重点关注角的特殊性及相互关系，名称的差异与“化同”的办法，式子的结构特征等． 【变式】求值：
2cos10sin 20sin 70︒-︒
︒
．
解：原式︒
︒
-︒=
20cos 20sin 10cos 2
3
20cos 20sin 20sin 20cos 320cos 20sin )2030cos(2=︒︒-︒+︒=︒
︒
-︒-︒=
例2、
已知πα10<α<
<β<π,tan =,cos(β-α)=22210
． （1）求sin α的值；(2)求β的值．
【教学处理】要求学生独立思考并解（1）问，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评．点评后利用解（1）的体会与心得解（2）． 【引导分析与精讲建议】
1、注意体会二倍角公式中角的“相对二倍”（即2
a
a 是的二倍）关系，注意弦化切、“1”的代换等技巧的应用．
2、引导学生学会观察角之间、函数名称的关系，并能加以转化．
3、（2）问求角β的值，先求三角函数值、再求角的意识要养成，另外还要根据角所在的象
限选择正弦或余弦．
例3．如图，在平面直角坐标系xoy 中，点,,A B C 均在单位圆上，已知点A 在第一象限，
其横坐标为3
5
，点B 在第二象限，点(1,0)C . （1）设COA θ∠=，求sin 2θ；
（2）若AOB ∆为正三角形，求点B 的坐标.
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合
板演情况进行点评． 【引导分析与精讲建议】
问题1：如图，单位圆上点A 的横坐标为
3
5，COA θ∠=，则你能得到什么？ 交流：依据三角函数定义，可以得到3cos 5θ=，从而4
sin 5
θ=，
不难求得24
sin 22sin cos 25
θθθ==。

问题2：要求点B 的坐标，应该先探求什么？
交流：可以考虑6060BOC AOC θ∠=∠+︒=+︒，由（1）知道，我们可以求得
()343
cos cos 60cos cos 60sin sin 60BOC θθθ-∠=+︒=︒-︒=
()433
sin sin 60sin cos 60cos sin 60BOC θθθ+∠=+︒=︒-︒=
从而得到点B 的坐标.
【备选题】已知锐角、 、 满足sin α+sin γ=sin β，cos α-cos γ=cos β，求的值．
【分析与点评】注意题目目标求
的值，结合条件sin α+sin γ=sin β，cos α-cos γ=cos β，故
先将条件变形为sin α -sin β = -sin γ①，cos α-cos β=cos γ②，然后再联想两角差的余弦公式可
知①2+②2
即可，另外要注意自身的范围． 解：∵sin α+sin γ=sin β ∴sin α -sin β = -sin γ <0 ①
∴sin α <sin β ∴<
同理cos α-cos γ=cos β ∴ cos α-cos β=cos γ ②
x
y
O
C
A
B
①2+②2
: 1+1-2cos （α-β）=1 ∴cos （α-β）=2
1 ∵2
0πα<< 2
0πβ<
< ∴02
<-<-
βαπ
∴αβ=3
π-
． 【拓展】如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B
两点，已知A 、B 的横坐标分别为5
52,102． （1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值．
【分析与点评】先用三角函数的基本概念求出βα,的值，三角函数再用同角三角函数的基本关系式、两角和的正切、 二倍角的正切公式求值．
解 由条件得225cos αβ=
= αβQ 、为锐角 725sin αβ∴== 1
tan 7,tan 2
αβ∴==
（1）17tan tan 2tan()31
1tan tan 172
αβαβαβ+
++==
=--⋅-⨯ （2）22122tan 42tan 211tan 3
1()2
βββ⨯
==
=-- 47tan tan 23tan(2)14
1tan tan 2173αβαβαβ+
+∴+==
=--⋅-⨯ αβQ 、为锐角 3022
παβ∴<+< 324
παβ∴+=． 【引导分析与精讲建议】翻开课本，会发现本题很面熟，但又找不到原题，这很好地体现了高考重视课本、重视基础同时源于课本、高于课本的特点．在复习中务必将课本作为重中之重，以课本为本、以课标为标、以考试说明为准绳，这样才能真正做到针对性强从而达到优质高效．
【提醒】牢记“角优先”的原则，时刻关注角的范围，这样可以有效避免不必要的分类讨论． 五、解题反思
1、在三角函数化简、求值中最好将目标函数化为“一角、一名、一次”的形式;
2、三角变换中，要注意三角公式的逆用和变形运用，特别要注意由余弦二倍角公式变形得
x
y
O
A
B
到的升幂、降幂公式的使用;
3、常用的化简方法：（1）角的变换 ：可用和差、倍角以及一些特殊角的关系；（2）名的变换：切化弦是最常用的；（3）次数变换：利用二倍角公式进行升降幂；
4、对于()sin cos 0,0a x b x a b ±>>要能熟练化成()ϕ++x b a sin 22（)tan a
b
=ϕ 的形式,并掌握确定角ϕ所在象限的方法．。