2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题汇总及详细答案

2020-2021全国中考数学圆的综合的综合中考模拟和真题汇总及详细答案
一、圆的综合
1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x
=上
时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x
=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设MBN
∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析
【解析】
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；
（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
∴OA在旋转过程中所扫过的面积为
2
452
3602ππ
⨯
=．
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．
又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=1
2（∠AOC-∠MON）=
1
2
（90°-45°）=22.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
∴△OAE≌△OCN．
∴OE=ON，AE=CN．
又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，
∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．
考点：旋转的性质.
2．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．
（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；
（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；
（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若
tan∠CAF=
1
2
，求1
2
S
S的值．
【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4
【解析】
【分析】
（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；
（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得
»»»
CD PB PD
==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；
（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则
OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=3
4
x，代入面积公式可得结
论．
【详解】
（1）连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠BCD=90°，
∵AD⊥CG，
∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠ACB=∠G=48°；
（2）∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，
∴∠BCG=∠DAC，
∴»»
CD PB
=，
∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，
∴»»
CD PD
=，
∴»»»
CD PB PD
==，
∴∠BAD=2∠DAC，
∵∠COF=2∠DAC，
∴∠BAD=∠COF；
（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，
∵tan∠CAF=1
2=
CF AF
，
∴AF=2x，
∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，
∴△COF≌△OAG，
∴OG=CF=x，AG=OF，
设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，
Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，
∴（2x﹣a）2=x2+a2，
a=3
4 x，
∴OF=AG=3
4 x，
∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=3
2
x，
∴1
2
13
··3
2
2
1·24
·
2
AB OG x x
S
S x x
CF AF
===．
【点睛】
圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：»»»
CD PB PD
==；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．
3．已知AB，CD都是O
e的直径，连接DB，过点C的切线交DB的延长线于点E．()1如图1，求证：AOD2E180
∠∠
+=o；
()2如图2，过点A作AF EC
⊥交EC的延长线于点F，过点D作DG AB
⊥，垂足为点G，求证：DG CF
=；
()3如图3，在()2的条件下，当DG3
CE4
=时，在O
e外取一点H，连接CH、DH分别交O
e于点M、N，且HDE HCE
∠∠
=，点P在HD的延长线上，连接PO并延长交CM于点Q，若PD11
=，DN14
=，MQ OB
=，求线段HM的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）37
【解析】
【分析】
（1）由∠D+∠E=90°，可得2∠D+2∠E=180°，只要证明∠AOD=2∠D即可；
（2）如图2中，作OR⊥AF于R．只要证明△AOR≌△ODG即可；
（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；
【详解】
()1证明：如图1中，
O Q e 与CE 相切于点C ，
OC CE ∴⊥，
OCE 90∠∴=o ，
D E 90∠∠∴+=o ，
2D 2E 180∠∠∴+=o ，
AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，
AOD 2E 180∠∠∴+=o ．
()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．
OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，
∴四边形OCFR 是矩形，
AF//CD ∴，CF OR =，
A AOD ∠∠∴=，
在AOR V 和ODG V 中，
A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，
AOR ∴V ≌ODG V ，
OR DG ∴=，
DG CF ∴=，
()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．
设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，
OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，
AF//OC//BT ∴，
OA OB =Q ，
CT CF 3m ∴==，
ET m ∴=，
CD Q 为直径，
CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，
E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，
tan E tan CBT ∠∠∴=，
BT CT ET BT
∴=， BT 3m m BT
∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，
3m tan E 3∠∴== E 60∠∴=o ，
CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，
H E 60∠∠∴==o ，
MON 2HCN 60∠∠∴==o ，
OM ON =Q ，
OMN ∴V 是等边三角形，
MN ON ∴=，
QM OB OM ==Q ，
MOQ MQO ∠∠∴=，
MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，
ON NP 141125∴==+=，
CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，
在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=，
在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN
∠===， HN 163∴=，
在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 24==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，
HM HK MK 837∴=+=+．
【点睛】
本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.
4．如图，AB 为O e 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O e 的切线吗？请说明理由；
()2求证：2AC CD BE =⋅．
【答案】（1）结论：DE 是O e 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；
（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE V V ∽即可解决问题.
【详解】
()1解：结论：DE 是O e 的切线．
理由：连接OD ．
CDB ADE ∠=∠Q ，
ADC EDB ∴∠=∠，
//CD AB Q ，
CDA DAB ∴∠=∠，
OA OD =Q ，
OAD ODA ∴∠=∠，
ADO EDB ∴∠=∠，
AB Q 是直径，
90ADB ∴∠=o ，
90ADB ODE ∴∠=∠=o ，
DE OD ∴⊥，
DE ∴是O e 的切线．
()2//CD AB Q ，
ADC DAB ∴∠=∠，CDB DBE ∠=∠，
AC BD ∴=n n
， AC BD ∴=，
DCB DAB ∠=∠Q ，EDB DAB ∠=∠，
EDB DCB ∴∠=∠，
CDB ∴V ∽DBE V ， CD DB BD BE
∴=， 2BD CD BE ∴=⋅，
2AC CD BE ∴=⋅．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.
5．如图，CD 为⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，连接BC 、BD ，过点B 的切线AE 与CD 的延长线交于点A ，AEO C =∠∠，OE 交BC 于点F .
（1）求证：OE ∥BD ；
（2）当⊙O 的半径为5，2sin 5
DBA ∠=时，求EF 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）EF 的长为212 【解析】 试题分析：（1）连接OB ，利用已知条件和切线的性质证明；
（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.
试题解析：（1）连接OB ， ∵CD 为⊙O 的直径 ， ∴ 90CBD CBO OBD ∠=∠+∠=︒. ∵AE 是⊙O 的切线，∴ 90ABO ABD OBD ∠=∠+∠=︒. ∴ ABD CBO ∠=∠. ∵OB 、OC 是⊙O 的半径，∴OB=OC . ∴C CBO ∠=∠. ∴C ABD ∠=∠.
∵E C ∠=∠，∴E ABD ∠=∠. ∴ OE ∥BD .
（2）由（1）可得sin ∠C = ∠DBA= 25，在Rt △OBE 中, sin ∠C =25
BD CD =,OC =5， 4BD =∴90CBD EBO ∠=∠=︒
∵E C ∠=∠，∴△CBD ∽△EBO .
∴
BD CD BO EO
= ∴252EO =. ∵OE ∥BD ，CO =OD ，
∴CF =FB .
∴122
OF BD ==. ∴212EF OE OF =-=
6．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．
（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin ∠ABE=3，CD=2，求⊙O 的半径．
【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 3 【解析】 分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的
长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：
连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ．
∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ．
又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ，
∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，
∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；
（2）连接EF ，方法1：
∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．
∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=
∴23DC BD sin CBD
∠== 在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =．
∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴
2222DC AE AE AE BC AB ，，==∴=， 由勾股定理求得6BE =
在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2． 设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=（）（）
，∴r 3， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°．
∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2．
∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠=
． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．
∵CD =2，∴22BC =．
∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴
2222DC AE AE AE BC AB ，，==∴=， ∴E 为AD 中点．
∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==∴⊙O 3
点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．
7．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且
x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．
（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角
为；
（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；
（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．
【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1
【解析】
分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；
（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；
（3）分两种情况：
①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；
②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾
股定理得：AB=22
（）=4，∴∠ABO=30°．
223
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．
∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；
（2）如图2．
∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．
过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；
（3）分两种情况：
①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．
∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，
∴AB=3+2=5．
∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．
∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，
∴AB=3+2=5．
∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；
综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．
点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P ，Q 的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．
8．如图，Rt ABC ∆内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .
(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明;
(2)求证:AE BF =;
(3)若3(22)OG DE =-g ，求⊙O 的面积.
【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π
【解析】
试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可；
（2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明；
（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．
试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：
如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．
（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．
（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =12AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，
∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴BD DE AD DB
=，即BD 2=AD •DE ，∴22622BD AD DE OG DE =⋅=⋅=-（）
．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==-（）
①，设AC =x ，则BC =x ，AB =2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB =2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：
222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-（）（）②，由①、②，得
22222422x -=-（）（）
，∴x 2=12，解得：23x =或23-（舍去），∴222326AB x ==⋅=，∴⊙O 的半径长为6，∴S ⊙O =π•（6）2=6π．
点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．
9．如图1，延长⊙O 的直径AB 至点C ，使得BC=
12
AB ，点P 是⊙O 上半部分的一个动点（点P 不与A 、B 重合），连结OP ，CP ．
（1）∠C 的最大度数为 ；
（2）当⊙O 的半径为3时，△OPC 的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；
（3）如图2，延长PO 交⊙O 于点D ，连结DB ，当CP=DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．
【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；
（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到
CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．
试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：
∵sin∠OCP=OP
OC = 2
4
=
1
2
，∴∠OCP=30°
∴∠OCP的最大度数为30°，
故答案为：30°；
（2）有最大值，理由：
∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，
而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=
1
2
OC•OP=
1
2
×6×3=9；
（3）连结AP，BP，如图2，
在△OAP与△OBD中，
OA OD
AOP BOD
OP OB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，
∵PC=DB，∴AP=PC，
∵PA=PC，∴∠A=∠C，
∵BC=1
2
AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，
在△APB和△CPO中，
AP CP
A C
AB CO
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，
∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，
∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．
10．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）
【答案】（1）证明见解析 （2）233
π- 【解析】
【分析】 （1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题．
【详解】
（1）连接OD ．
∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．
∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．
（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．
∵¶¶AE DE
=，∴OE ⊥AD ． ∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE
是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 26023360π⋅⋅=-22233π=． 【点睛】
本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M 点开始（即M 点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB ＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB 与量角器所在圆的直径MN 重合，现有射线C 绕点C 从CA 开始沿顺时针方向以每
秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是，此时△BCE的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；
（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？
【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理即可解决问题；
（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；
（3）分两种情形分别讨论求解即可；
【详解】
解：（1）如图2﹣1中，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴点E处的读数是60°，
∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，
∴∠OBE＝∠E＝30°，
∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，
∴△EBC是直角三角形；
故答案为60°，直角三角形；
（2）如图2﹣2中，
∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，
∵∠AOE＝2∠ACE，
∴y＝4x（0≤x≤45）．
（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，
∵AC⊥BC，
∵EO∥AC，
∴∠AOE＝∠BAC＝30°，
∠AOE＝15°，
∴∠ECA＝1
2
∴x＝7.5．
②若2﹣4中，当BE＝BC时，
易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，
∴∠OBE＝∠OBC＝60°，
∵OE＝OB，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOE＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACE＝1
∠ACB＝60°，
2
∴x＝30，
综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；
【点睛】
本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
12．如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC
②求OH＋HC的最大值
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5.
【解析】
分析：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明
△CBH∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知：BC HB
OC BC
＝，所以HB=
2
4
BC
，由于BC=HC，所以
OH+HC=4−
2
4
BC
+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
详解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：BC HB OC BC
＝
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB=
2
4 BC
，
∴OH=OB-HB=4-
2 4 BC
∵CB=CH，
∴OH+HC=4−
2
4
BC
+BC，
当∠BOC=90°，
此时
∵∠BOC＜90°，∴0＜BC＜
，
令BC=x 则CH=x ，BH=24x ()221142544
OH HC x x x ∴+=-++=--+ 当x=2时，
∴OH+HC 可取得最大值，最大值为5
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
13．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ． （1）d （点O ，AB ）= ；
（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；
（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．
【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8．
【解析】
【分析】
（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；
（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2，2，即可求解；
（3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．
【详解】
（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，
根据“非常距离”的定义可知，
d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442
+=22; （2）如图，
当d （⊙O ，AB ）=0时，
过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，
∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0，
∴224r ≤≤；
（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，
如图，
当⊙T 与BC 相切时，d=0,
2236+35,
过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,
∴
TF TH BE BC
=, 即2635,
∴TH=5, ∵HO ∥CE,
∴△BHO ∽△BEC,
∴HO=2，
此时T(-5-2，0);
当d=2时，如图，
同理可得，此时T （252--）；
∵0<d <2，
∴25252t --<<--；
当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，
当p=0时，t=6，
当p=2时，t=8.
∵0<d <2，
∴6<r <8；
综上，25252t -<<或6<r <8．
【点睛】
本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位
置关系和分类讨论思想的运用．
14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．
①求证：AG ＝GD ；
②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？
③若AB ＝10，sin ∠ABD ＝35
，求BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．理由见解析；（3）BC 的长为
145． 【解析】
【分析】
（1）首先连接AD ，由DE ⊥AB ，AB 是O e 的直径，根据垂径定理，即可得到¶¶AD AE =，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE ＝∠ABD ，又由弦BD 平分∠ABC ，可得∠DBC ＝∠ABD ，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD ；
（2）当∠ABC=60°时，△DFG 是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；
（3）利用三角函数先求出tan ∠ABD 34=
，cos ∠ABD ＝45
，再求出DF 、BF ，然后即可求出BC.
【详解】
（1）证明：连接AD ，
∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，
∴¶¶AD AE =，
∴∠ADE ＝∠ABD ，
∵弦BD 平分∠ABC ，
∴∠DBC ＝∠ABD ，
∵∠DBC ＝∠DAC ，
∴∠ADE ＝∠DAC ，
∴AG ＝GD ；
（2）解：当∠ABC ＝60°时，△DFG 是等边三角形．
理由：∵弦BD 平分∠ABC ，
∴∠DBC ＝∠ABD ＝30°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∴∠CAB ＝90°﹣∠ABC ＝30°，
∴∠DFG ＝∠FAB+∠DBA ＝60°，
∵DE ⊥AB ，
∴∠DGF ＝∠AGH ＝90°﹣∠CAB ＝60°，
∴△DGF 是等边三角形；
（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，
∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，
∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，
∴BD ＝22AB BD -＝8，
∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5
BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×
34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72
， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝
72×45＝145． ∴BC 的长为：145
．
【点睛】
此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．
15．如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，过点C 作⊙O 的切线CP 交BA 的延长线于点P ，连接AE ．
（1）求证：PC=PD ；
（2）若AC=5cm ，BC=12cm ，求线段AE ，CE 的长．
【答案】(1)见解析 (2) EC=172
AE=
132
【解析】
试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出
AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出
x=7
2
，延长即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．
∵AB直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴¶AE=¶BE，
∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，
∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．
∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH=EF，∠EFA=∠EHB=90°．∵¶AE=¶BE，∴AE=BE，∴Rt△AEF≌Rt△BEH，∴AF=BH，设AF=BH=x．∵∠F=∠FCH=∠CHE=90°，∴四边形CFEH是矩形．∵EH=EF，∴四边形CFEH是正方形，∴CF=CH，∴5+x=12﹣x，
∴x =7
2，∴CF =FE =172，∴EC CF =2
，
AE 点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。