第一章+空间向量与立体几何-2024-2025学年高二数学上学期期中总结

考点透视 考向5 利用空间向量证明平行、垂直
【例题 5】如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD⊥AB，AB∥DC， AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，E 为棱 PC 的中点．证明：
(1)BE⊥DC； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 PCD⊥平面 PAD.
考点透视 考向5 利用空间向量证明平行、垂直
2．二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两个 半平面 α，β 的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确 定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等，还是互补．
02 典例透析
考点透视 考点1.空间向量的线性运算
→
→
【例题 1】如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，设AA1＝a，AB＝b，
(2)∵N 是 BC 的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N＝－a＋b＋12B→C＝－a＋b＋12A→D＝－a＋b ＋12c.
(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， ∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋12c＋a＝32a＋12b＋32c.
→ |AP·n| 平面 α 的距离为 15 _______|n_|________． (3)线面距和面面距可以转化为点面距求解．
1．线面角 θ 的正弦值等于直线的方向向量 a 与平面的法向量 n 所成角的余弦值 的绝对值，即 sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为 cosθ＝|cos〈a，n〉|.
(2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 为平面α的法向 量．
(3)空间位置关系的向量表示
位置关系 直线 l1，l2 的方向向量
分别为 n1，n2 直线 l 的方向向量为 n，平面 α 的法向量为
m，l⊄α 平面 α，β 的法向量分
别为 n，m
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α
→ AD＝c，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：
(1)A→P；
→ (2)A1N；
→→ (3)MP＋NC1.
考点透视 考点1.空间向量的线性运算
→→ → → → → 解 (1)∵P 是 C1D1的中点，∴AP＝AA1＋A1P＝AA1＋A1D1＋D1P＝ A→A1＋A→D＋12D→C＝a＋c＋12A→B＝a＋c＋12b.
面角的大小 θ＝ 12 ____〈__A→_B__，__C→_D_〉_______．
(2)如图②③，n1，n2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面 角的大小θ满足|cosθ|＝ 13 ______|_c_o_s〈__n__1，__n_2_〉__|______，二面角的平面角的大小是向 量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)．
08 ___0_，__π2_ ____
|a·b| cosθ＝|cosβ|＝ 09 ____|a_||_b_| _____
3.设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，直线 l 与平面 α 所成的角为 θ， |a·n|
则 sinθ＝ 10 _____|c_o_s_〈__a_，__n_〉__|_____________． 11 ______|_a_||n__| _________． 4．(1)如图①，AB，CD 是二面角 α－l－β 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二
l⊥α α∥β α⊥β
向量表示 n1∥n2⇔ 02 _____n__1_＝___λ_n__2___________(λ∈R)
n1⊥n2⇔ 03 ______n__1_·_n_2_＝____0_________ n⊥m⇔ 04 _____n__·_m__＝___0____________
n∥m⇔ 05 ____n__＝___λ__m_________ (λ∈R)
解 ①由题知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M，所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C，所以M→A，M→B，M→C共面． ②解法一：由①知，M→A，M→B，M→C共面且所在直线过同一点 M，所以 M，A， B，C 四点共面，从而点 M 在平面 ABC 内． 解法二：因为O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C)＝13O→A＋13O→B＋13O→C，且13＋13＋13＝1， 所以 M，A，B，C 四点共面，从而点 M 在平面 ABC 内．
4．在利用M→N＝xA→B＋yA→C证明 MN∥平面 ABC 时，必须说明点 M 或点 N 不在平 面 ABC 内．
考点5．空间位置关系的向量表示
(1) 直 线 的 方 向 向 量 ： 如 果 表 示 非 零 向 量 a 的 有 向 线 段 所 在 直 线 与 直 线 l 01 ___平__行__或__重__合_________，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量．
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 07 __平__行____或 08 ___重__合_____的向量
平行于 09 ____同__一__个__平__面____的向量
考点2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实 数λ，使 10 _____a_＝__λb_________．
选择性必修第一册 人教B版(2019) 数学 期中考点大串讲
串讲01 空间向量与立体几何
目 01 录 02
03
考点透视
典例剖析
考场练兵
01 考点透视
考点1．空间向量的有关概念
名称 空间向量 相等向量 相反向量 共线向量(或 平行向量) 共面向量
定义
在空间中，具有 01 __大__小____和 02 __方__向____的量 方向 03 __相__同____且模 04 _相__等___的向量 方向 05 _相___反____且模 06 __相__等____的向量
考点透视 考向4 利用数量积求长度与夹角
【例题 4】在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，AB
＝AC＝AA1＝2，D 为 BC1 上一点，且B→D＝13B→C1，则|A→D|＝(
)
A．2
B．3
C．3 2
D．4 2
解析 由题意，得A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C1＝A→B＋13(B→B1＋B→C)＝A→B＋13(B→B1 ＋A→C－A→B)＝23A→B＋13A→A1＋13A→C，A→D2＝49A→B2＋19A→A12＋19A→C2＋49A→B·A→A1＋49A→B·A→C＋ 29A→A1·A→C＝49×4＋19×4＋19×4＋49×2＋0＋29×2＝4，则|A→D|＝2.故选 A.
(2)因为A→B＝(1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量，而B→E·A→B
＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 BE⊥AB，又 BE⊄平面 PAD， 所以 BE∥平面 PAD.
(3)由(2)知平面 PAD 的一个法向量为A→B＝(1，0，0)，P→D＝ (0，2，－2)，D→C＝(2，0，0)，设平面 PCD 的法向量为 n＝(x， y，z)，则nn··PD→→DC＝＝00，，即22yx－＝20z，＝0，取 y＝1，得 n＝(0，1，1)．
考点透视 考点2 共线、共面向量定理的应用
【例题 2】已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足 O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C)．
→→ → ①判断MA，MB，MC三个向量是否共面；
②判断点 M 是否在平面 ABC 内．
考点透视 考点2 共线、共面向量定理的应用
考点透视
考点3 求空间向量的数量积
【例题 3】已知向量 a＝(2，1，3)，|a＋b|＝|3a－b|，则 a·b＝( )
A．49 2
C． 14
B．14 D．35
4
解析 因为|a＋b|＝|3a－b|，所以|a＋b|2＝|3a－b|2，即 a2＋2a·b＋b2＝9a2－6a·b ＋b2，则 a·b＝a2，因为 a＝(2，1，3)，所以 a2＝22＋12＋32＝14，故 a·b＝14.故选 B.
Hale Waihona Puke 考点4．投影向量(2)向量 a 在直线 l 上的投影 如图 2，向量 c 称为向量 a 在直线 l 上的投影向量．
考点4．投影向量
(3)向量 a 在平面 β 上的投影 如图 3，分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平
面 β 的垂线，垂足分别为 A′，B′，得到向量A→′B′，则向量A→′B′(a′)称为向量 a 在平 面 β 上的投影向量．
证明 依题意，以 A 为原点建立空间直角坐标系(如图)， 可得 B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．
由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1，1，1)． (1)因为B→E＝(0，1，1)，D→C＝(2，0，0)， B→E·D→C＝0，所以 BE⊥DC.
考点透视 考向5 利用空间向量证明平行、垂直
因为 n·A→B＝(0，1，1)·(1，0，0)＝0，所以 n⊥A→B.所以平面 PCD⊥平面 PAD.
考点透视
考向6 求异面直线所成的角
【例题 6】如图四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，
且各棱长均相等，E 是 PB 的中点，则异面直线 AE 与 PC 所成
角的余弦值为( )
A．
3 6
C．1 3
B．
6 3
D．1 2
考点透视 考向6 求异面直线所成的角
解析 连接 AC 与 BD 交于点 O，连接 PO，由题意，
得 AC⊥BD，且 PO⊥平面 ABCD，以 O 为原点，建立如图所
示的空间直角坐标系，设四棱锥 P－ABCD 各棱长均为 2，则
AO＝BO＝CO＝DO＝ 2，PO＝ 2，可得 A( 2，0，0)，B(0，
(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的 充要条件是存在 11 ____唯__一______的有序实数对(x，y)，使 p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理 如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在 12 __唯__一____ 的有序实数组(x，y，z)，使得 p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
考点6.用向量法求空间距离
(1)点到直线的距离 已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点．则
点 P 到直线 l 的距离为 14 _______A→_P_2_－__（__A→_P_·_u_）__2____．
(2)点到平面的距离 已知平面 α 的法向量为 n，A 是平面 α 内的定点，P 是平面 α 外一点．则点 P 到
考点3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积 |a||b|cos〈a，b〉
非零向量 a，b 的数量积 a·b＝ 13 _________________________． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
考点4．投影向量
(1)向量 a 在向量 b 上的投影 先将向量 a 与向量 b 平移到同一平面α内，如图 1，向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影向量．
1．在空间中，A，B，C 三点共线的充要条件是：O→A＝xO→B＋yO→C(其中 x＋y＝ 1)，O 为空间任意一点．
2．在空间中，P，A，B，C 四点共面的充要条件是：O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其 中 x＋y＋z＝1)，O 为空间任意一点．
3．空间向量的数量积满足交换律、分配律，即 a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c 成 立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
n∥m⇔n0＝6 λ__m________________ (λ∈R) n⊥m⇔n·0m7＝___0_____________________
2．设 a，b 分别是两异面直线 l1，l2 的方向向量，则
a 与 b 的夹角 β
l1 与 l2 所成的角 θ
范围 求法
(0，π) cosβ＝|aa|·|bb|