高等代数第4章习题解

第四章习题解答
习题4.1
1、计算（1）1
20313012410152
(,,,)(,,,)(,,,)-+
（2）1
5012101112
(,,)(,
,)(,,)+- 解：（1）15517203130124101532222
(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)-+
=--- （2）19
5012101110922
(,,)(,
,)(,,)(,,)+-= 2、验证向量加法满足交换律、结合律。

证明：设121212(,,,),(,,,),(,,
,),n n n a a a b b b c c c αβγ=== 则 121
21122
(,,
,)(,,,)(,
,,)
n n
n
n a a a b b b a b a b a b αβ+=+=+++ 11221212(,,
,)(,,
,)(,,
,)n n n n b a b a b a b b b a a a βα=+++=+=+ 121212
()((,,,)(,,,))(,,,
)
n n n a
a a
b b b
c c c αβγ++=++ 112212((,,,))(,,
,)n n n a b a b a b c c c =++++
111222(,,,)n n n a b c a b c a b c =++++++
111222((),(),,())n n n a b c a b c a b c =++++++
121122(,,,)((,,,))n n n a a a b c b c b c =++++
121212(,,
,)((,,
,)(,,
,))n n n a a a b b b c c c =++
()αβγ=++
3、证明性质4.1.5。

性质4.1.5的内容是：对任意n 维向量,αβ及数k ，有
()()k k k ααα-=-=-，()k k k αβαβ-=-
证明：设1212(,,
,),(,,,)n n a a a b b b αβ==
那么
1212()()(,,
,)((),(),,())n n k k a a a k a k a k a α-=-=---
1212(,,,)((),(),,())n n ka ka ka k a k a k a =---=---
1212((),(),
,())((,,
,))()n n k a a a k a a a k α=---=-=-
其次1212()((,,,))(,,
,)n n k k a a a k a a a k αα-=-=-=-
最后：
12121122112212121212()((,,,)(,,,))
(,,,)(,,
,)
(,,,)(,,
,)(,,
,)(,,
,)
n n n n n n n n n n k k a a a b b b k a b a b a b ka kb ka kb ka kb ka ka ka kb kb kb k a a a k b b b k k αβαβ
-=-=---=---=-=-=-
4、设1231010
10001(,,),(,,),(,,)εεε===，求证：对任意的3F α∈，在F 中都有唯一的一组数123,,a a a 使
112233a a a αεεε=++ 解：设α的坐标为123(,,)a a a ，那么
123123123000000(,,)(,,)(,,)(,,)a a a a a a a a a α==+++=+
123123000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)a a a a a a =++++=++ 123112233100010001(,,)(,,)(,,)a a a a a a εεε=++=++
由于给定向量的坐标是唯一的，所以上面等式中的数123,,a a a 是唯一的。

5、设,,n
F k l F α∈∈，证明()k l k l ααα-=-。

证明：设12(,,
,)n a a a α=，那么
1212()()(,,,)((),(),
,())n n k l k l k l a a a k l a k l a k l a ααα-=-=-=---
121122((),(),
,())(,,,)n n n k l a k l a k l a ka la ka la ka la =---=---
12121212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)
n n n n ka ka ka la la la k a a a l a a a k l αβ
=-=-=-
6、设3
F α∈，称方程x αβ+=有解，如果存在n
F γ∈，使γαβ+=，证明对任
意,n
F αβ∈，方程x αβ+=有唯一解当且仅当关于加法算律中的3）、4）成立。

证明：()⇒如果方程x αβ+=有唯一解，则取βα=，那么满足方程x αα+=的唯一解是零向量，即加法算律3）成立；取0β=，那么满足方程0x α+=的唯一解是α的负向量，即加法算律4）成立。

()⇐如果加法算律3）
、4）成立，那么向量α的负向量唯一存在：α-，于是方程x αβ+=的唯一解为βα-。

7、设,,n
F αβγ∈，证明：（1）如果αβαγ+=+，则βγ=；（2）如果αβγ+=，则αγβ=-。

证明设121212(,,
,),(,,,),(,,,),n n n a a a b b b c c c αβγ===
（1）则由αβαγ+=+， 即11221122(,,
,)(,,,),n n n n a b a b a b a c a c a c +++=+++
那么1212,,,,,,,
,i i i i i i a b a c i n b c i n βγ+=+=⇒==⇒=
（2）由αβγ+= 即 112212(,,
,)(,,
,),
n n n
a b a b a b c c c +++= 那么：1212,,,,,,,
,i i i i i i a b c i n a c b i n αγβ+==⇒=-=⇒=-
习题4.2
1、判断以下命题是否正确： （1）如果12,,,m ααα线性相关，则它们中的任何一个向量都可以由其余的向量线性
表出；
（2）由于120000m ααα+++=，所以12,,,m ααα线性无关；
（3）如果12,,,m ααα线性无关，则它的任何部分组也线性无关； （4）如果12,,
,m ααα线性相关，则它的任何部分组也线性相关。

解：（1）这个命题不正确，例如向量组123100010200(,,),(,,),(,,)εεε===线性相
关，但向量2ε却不能由13,εε线性表出。

（2）这个命题也不正确，因为当12,,
,m ααα线性相关时，照样有
120000m ααα+++=；
（3）这个命题正确，因为：若它的某个部分组线性相关，不妨设12,,,()
s s m ααα<线性相关，则有不全为零的数12,,
,s k k k 使11220s s k k k ααα++
+=，
从而 11221000s s s m k k k ααααα++++++
+=
即12,,
,m ααα线性相关，这与前提矛盾。

（4）这个命题不正确。

事实上：取100010110(,,),(,,),(,,)αβγ===，显然,,αβγ线性相关，但,αβ却线性无关。

2、设向量组123,,ααα线性无关，证明：122331,,αααααα+++也线性无关。

证明：设1122233310()()()k k k αααααα+++++=，
即1311222330()()()k k k k k k ααα+++++=，但123,,ααα线性无关，所以有
13122
3000
k k k k k k +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩ 它的系数行列式为
10111020011
D ==≠
所以这个齐次线性方程组只有零解，从而122331,,αααααα+++也线性无关。

3、如果n 维单位向量组12,,
,n εεε可以由n 维向量组12,,,n ααα线性表出，则
12,,,n ααα线性无关。

证明：由于单位向量组12,,,n εεε可以由n 维向量组12,,
,n ααα线性表出，所以
秩（12,,
,n εεε）≤秩（12,,
,n ααα），
但在n 维空间中，每个向量都可以由单位向量组12,,
,n εεε线性表出。

即12,,
,n
ααα
可以由12,,
,n εεε线性表出，所以 秩（12,,
,n εεε）≥秩（12,,
,n ααα），
于是秩（12,,,n εεε）= 秩（12,,
,n ααα），
由于12,,,n εεε线性无关,且12,,,n ααα的个数与12,,
,n εεε相同,
所以12,,,n ααα线性无关。

习题4.3
1、判断向量组123,,ααα是否线性相关： （1）123211423(,),(,),(,)ααα==-=； （2）123211121230(,,),(,,),(,,)ααα==-=- （3）1231124031230714(,,,),(,,,),(,,,)ααα=-==
解：（1）由于这组向量的个数大于它们的维数，所以，这组向量一定线性相关；
（2）作变换：
212032001123033011110110110--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以这组向量线性无关； （3）作变换
1031031
0313
00330
11217
011
00042140
22000⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以这组向量线性相关。

事实上有3123ααα=+
2、把向量α表示成向量组1234,,,αααα的线性组合：
（1）
123412111111111111111111(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)ααααα===--=--=-- （2）123400011101213111000111(,,,),(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)ααααα=====-- 解：（1）设11223344x x x x ααααα=+++
则有 1234123412341
23412
11
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+--=⎪⎨-+-=⎪⎪--+=⎩
1111111
11111111111120022101
1
0111110202000110111110220000221⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪
----- ⎪ ⎪ ⎪
------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111114444444405010
1
0040
4
0040
01001100
04400
0401000410004100041⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→
→
⎪ ⎪ ⎪
--- ⎪
⎪
⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4400640005040
010*********
004010
004100041⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
→→ ⎪ ⎪-- ⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭ 所以 123451114444
ααααα=
+-- （2）设11223344x x x x ααααα=+++
则有 1234123412341
23400230
00001
x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
+++=⎪⎨+++=⎪⎪+--=⎩
1
101011010110102131
00131001310110000001000
0100
11110111100221⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
---- ⎪ ⎪ ⎪
→→
⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪
⎪
-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
220002
20002
0003026000
20030
200300201
00201
00201000100
001000010-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
- ⎪ ⎪ ⎪
→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以 1234331
02
22
ααααα=-+
++ 3、求向量组1234,,,αααα的一个极大无关组：
（1）12341001230149053211(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)αααα=-=== （2）1234112403123071421510(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)αααα=-===
解（1）12431
2431
24303920
3920
39200010
0010
001115103940000⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪
→
→
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这组向量的秩为3，124,,ααα；134,,ααα；234,,ααα分别都是一个极大无关组。

（2）103210321
032130
103330
11121750
1110
0004214100
2220000⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
- ⎪ ⎪ ⎪
→
→
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
这组向量的秩为2，其中任何两个向量分别都是一个极大无关组。

4、设A 是n 阶方阵，，E 是n 阶单位矩阵，证明： （1）设A 、B 是n 阶方阵，如果0AB =，则()()r A r B n +≤。

（2）如果2
A A =，则()()r A r A E n +-= （3）如果2
A E =，则()()r A E r A E n ++-= 证明：（1）设
B 的列向量为12,,
,n B B B ，则
12120(,,
,)(,,
,)n n AB A B B B AB AB AB ===
所以120n AB AB AB ==
==，即12,,
,n B B B 是齐次线性方程组0AX =的解向
量。

设A 的秩为r ，那么0AX =经过行的初等变换后，含有n －r 个自由未知量，不妨设
这n －r 个自由未知量为后面的未知量，则0AX =可以变形为：
1111111,,r r n n
r
r r r rn n
x c x c x x c x c x ++++=++⎧⎪⎨
⎪=+
+⎩
取n －r 个向量：
111211212100010001,,,,,,,,
,,r r n r r r r r n r r n c c c c c c ηηη++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
那么0AX =的每个解都可以由这n －r 个线性无关的向量线性表出，从而矩阵B 的秩不超过n －r ，所以()()r A r B r n r n +≤+-=；
（2）因为2
0()A A E A A -=-=，所以由（1）知()()r A r A E n +-≤； 但由本节例4知：()()()()()()r A r A E r A r E A r A E A r E n +-=+-≥+-== 从而得()()r A r A E n +-=
（3）()()()()r A E r A E r A E A E r A ++-≥++-= 由于2
A E =，所以()r A n =，即()()r A E r A E n ++-≥
其次20()()A E A E A E +-=-=，再由（1）知：()()r A E r A E n ++-≤ 所以 ()()r A E r A E n ++-= 5、设12,,
,m ααα与12,,,m βββ是n 维列向量组，并且12,,,m ααα可以由
12,,,m βββ线性表出，证明这两个向量组等价当且仅当它们有相等的秩。

证明：由前提知12(,,,)(m r r ααα≤12,,
,)m βββ
()⇒由于这两个向量组等价，所以12,,
,m βββ可以由12,,
,m ααα线性表出，那么
12(,,
,)(m r r ααα≥12,,,)m βββ 但 12(,,,)(m r r ααα≤12,,,)m βββ 所以 12(,,
,)(m r r ααα=12,,
,)m βββ
()⇐由于12(,,
,)(m r r ααα=12,,,)m βββ，
并且12,,
,m ααα可以由12,,,m βββ线性表出，设12,,
,s βββ是12,,
,m βββ的
极大无关组，12,,,s ααα是12,,,m ααα的极大无关组，于是12,,,s ααα可以由
12,,,s βββ线性表出，即
1212(,,
,)(,,
,)s s A αααβββ=
或 11112121212122221122s s s s s s s ss s
a a a a a a a a a αβββαβββαβββ=+++⎧⎪
=++
+⎪⎨
⎪⎪=++
+⎩
这里 1112
12122212
s s s s ss a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
是可逆矩阵， 从而有11212(,,,)(,,
,)s s A βββααα-=，
所以12,,
,s βββ可以由12,,,s ααα线性表出，进一步可得12,,,m βββ可由
12,,,s ααα线性表出，即12,,
,m βββ可由12,,
,m ααα线性表出，
于是12,,,m βββ与12,,
,m ααα等价。

6、设A 是m ×n 矩阵，P 是m 阶可逆阵，Q 是n 阶可逆阵，证明： ()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===
证明：PA 相当于对A 施行了一系列的行初等变换，由本节推论4.3.7知，A 的行秩等于PA 的行秩；同理A 的列秩等于AQ 的列秩；PA 的列秩等于PAQ 的列秩；AQ 的行秩等于PAQ 的行秩；但矩阵的行秩等于其列秩。

所以()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===
习题4.4
1、设：123111111111(,,),(,,),(,,)
ααα'''==-=-，证明123,,ααα是3F 的一个基，并求向量121(,,)β'=在基123,,ααα下的坐标。

证明：123111111111111002010111020001(,,)ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=-→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

所以方程组1122330x x x ααα++=只有零解，从而123,,ααα是3
F 的一个基。

设 112323121(,,)x x x ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
111111112222200311120021020002001111020000210021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以向量121(,,)β'=在基123,,ααα下的坐标为3
1022
(,,)'-
2、在3F 中，求由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵，并求向量α在指定基下的坐标：
（1）112312323100211010110001100,,;,,,x x x εεεαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
======= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
在基
123,,εεε下的坐标。

（2）123123111201121211101110220,,;,,;εεεαααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==-===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
在基
123,,ααα下的坐标。

解：（1）11232123
12αεεεαεεαε=++⎧⎪=+⎨⎪=⎩即123123*********(,,)(,,)αααεεε⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
于是由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为211110100⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
由于
1
211001110011100111-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
于是1
111122331232123233211110100(,,)(,,)x x x x x x x x x αεεεεεεααα-⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪==++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
112323*********(,,)x x x ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
所以，123(,,)x x x α'=在基123,,ααα下的坐标为
123001011111x x x ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
（2）显然取123,,ηηη为单位向量，则
123123*********(,,)(,,)εεεηηη-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭；123123*********(,,)(,,)αααηηη⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
所以 1
123123111201212111121022(,,)(,,)αααεεε--⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
这时：
111201111201444804212111034311034311121022030223004132---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-→---→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
444804440736030223030223004132004132-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12120219181200131601208812012088120041320012396⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→----→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
于是由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为
1
11120113161212111881212121022396--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
100(,,)α'=在基123,,εεε下的坐标为
131611311881208121239603⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪
= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3、证明：由基底到基底的过渡矩阵是可逆矩阵。

证明：设基12,,
,n εεε到基12,,,n ααα的过渡矩阵为T ，令12(,,
,)n B εεε=，
12(,,,)n A ααα=，那么A BT =，由于12,,,n εεε与12,,
,n ααα都是基，所以
它们构成的n 阶方阵都是可逆矩阵，从而T 也应该是可逆矩阵。

4、证明1211211112(,,,),(,,,)αα''==线性无关，试问12,αα能扩充为4F 的多少个基底，请写出扩充后的一个基底。

解：由于矩阵11211112'
⎛⎫ ⎪⎝⎭
有一个二阶子式
213012=≠，所以这个向量组的秩为2，即它们线性无关。

由它们可以扩充为4
F 的无穷多个个基底。

取
3410000100(,,,),(,,,)αα'==，那么1234,,,αααα就是4F 的一个基底。

5、设12,,,n ααα是n F 的一个基，证明对任意n 个全不为零的数12,,,n x x x ，向量组121,,,,n n αααα+中任意n 个都是n F 的基，其中11122n n n x x x αααα+=+++，
求1α在21,
,,n n ααα+下的坐标。

证明，令A 表示以12,,,n ααα为列的n 阶矩阵，则A 是可逆矩阵，如果用
11122n n n x x x αααα+=+++取代12,,
,n ααα中的某个向量（不妨设为第i 个）后得到
的向量组对应的矩阵为B ，这相当于对A 作如下的变换：先用数i x 乘A 的第i 列，然后将第j 列的j x 倍都加到第i 列上（j=1，1，……，i －1，i+1，……，n ），由于矩阵的初等变换不改变其秩，所以B 仍然是可逆矩阵，即用11122n n n x x x αααα+=++
+取代
12,,
,n ααα中的某个向量（不妨设为第i 个）后得到的向量组仍然线性无关，所以它仍然
是n
F 的基底。

习题4.5
1、在4
F 中，求由向量1234,,,αααα生成的子空间的基底与维数：
（1）12342131120111301111(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)αααα===--= （2）12341212242411212242(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)αααα==== （3）12341101121112011131(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)αααα==--==-- 解：（1）
2111011100
0100001211011001
1
00
110303103320002
00011101110111011111----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111011000010
000⎛⎫
⎪
⎪
→ ⎪
⎪
⎝⎭
所以向量组的秩为3，从而124,,ααα是1234(,,,)L αααα的基，该子空间的维数为3。

（2）12121
2121
21224120
0120
01212240
0120
000241200120000⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪
→
→
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪
⎪
--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以向量组的秩为2，从而13,αα是1234(,,,)L αααα的基，该子空间的维数为2。

（3）
111111
111
1111
111122103
120
0120
1000103
0103
0001
00121111020001000001----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以向量组的秩为4，从而1234(,,,)L αααα的基就是本身，该子空间的维数为4。

2、求子空间12(,)L αα与12(,)L ββ的交与和的基底与维数
（1）12121210111121011137(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)ααββ==-=-=- （2）12121100101100110110(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)ααββ==== 解（1）设11221122x x y y ααββ+=+，即112211220x x y y ααββ+--=
1121112111211121211103530111011111030222035300130117011701170000---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11051
00101040
10400130
01300
000
000-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪
→
→
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以12221243,,x y x y y y =-==-
所以1212435234(,,,)ααββγ-=-==--- 即1212(,)
(,)()L L L ααββγ=，且()L γ的维数是1。

其次由于向量组1212,,,ααββ的秩是3，而121,,ααβ线性无关，所以
1212(,)(,)L L ααββ+的基底为121,,ααβ，维数为3。

（2）设11221122x x y y ααββ+=+，即112211220x x y y ααββ+--= 则
12121100101100110110(,,,),(,,,),(,,,),(,,,)
ααββ====110011001100110010
101010
1
10
101011101110
0120
0120
11001100
0110
001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
→→
→
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
------ ⎪ ⎪
⎪
⎪
----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以向量组1212,,,ααββ的秩为4，即1212(,)(,)L L ααββ是零空间，维数为0；从
而4
12121212(,)(,)(,)(,)L L L L R ααββααββ+=⊕=，维数为4。

3、设31231230{(,,)|}W a a a F a a a =∈++=，证明：W 是3
F 的一个子空间。

证明：123123,,,,(,,),(,,)W m n F a a a b b b αβαβ∀∈∀∈==，
1231230a a a b b b ++=++=
那么 112233(,,)m n ma nb ma nb ma nb αβ+=+++
且 11
2233
12312()()()()()m a n b m a n b m a n b m a a a n b b b
+++++
=
+++
++ 000m n =⋅+⋅=
所以 m n W αβ+∈，即W 是3
F 的子空间。

4、设12,,,s ααα与12,,,t βββ是n F 中的向量组，证明：12,,,s ααα与
12,,,t βββ等价当且仅当12(,,
,)s L ααα=12(,,
,)t L βββ
证明：()⇒由于12,,,s ααα与12,,,t βββ等价，所以12,,,s ααα的任意线性组
合都可以由12,,
,t βββ线性表出；反之亦然，所以12(,,
,)s L ααα=12(,,
,)t L βββ
()⇐由于12(,,
,)s L ααα=12(,,
,)t L βββ，那么12,,,s ααα的任意线性组合都
可以由12,,
,t βββ线性表出，当然其中的每个向量也都可以由12,,,t βββ线性表出，
即12,,
,s ααα可以由12,,
,t βββ线性表出。

同理12,,,t βββ可以由12,,
,s
ααα线性表出。

即12,,
,s ααα与12,,
,t βββ等价。

5、设12,,
,r W W W 是n
F 的r 个子空间，证明12
1
r
r i i W W W W ==
及
121
r
r i i W W W W =++
+=∑都是n F 的子空间。

证明：（1）1
,,,r
i i W m n F αβ=∀∈
∀∈，对于每个i ，有,i W αβ∈，但i W 是n F 的子
空间，所以i m n W αβ+∈，从而1
r
i i m n W αβ=+∈
，所以
1
r
i i W =是n F 的子空间；
（2）1
,,,r
i
i W m n F αβ=∀∈
∀∈∑，有,i
i
i W αβ
∈，使1
1
,r
r
i i i i ααββ====∑∑
所以1
11
()r
r r
i
i i i i i i m n m
n m n αβα
βαβ===+=+=+∑∑∑，i W 是n F 的子空间，
所以i i i m n W αβ+∈，从而
1
1
()r
r i
i i i i m n W α
β==+∈∑∑，即1
r
i i m n W αβ=+∈∑
所以
1
r
i
i W
=∑是n
F 的子空间。

6、设,,n
F αβγ∈，如果1231300,k k k k k αβγ++=≠，证明(,)(,)L L αββγ=。

证明：(,)L ηαβ∀∈，则a b ηαβ=+，但1231300,k k k k k αβγ++=≠，
所以 32
11
k k k k αβγ=-
-， 于是 33221111
()()(,)k k a k k a
a b b L k k k k ηβγββγβγ=-
-+=--∈ 即 (,)(,)
L L αββγ⊂ 反过来，(,)L ηβγ∀∈，则a b ηβγ=+，但1231300,k k k k k αβγ++=≠， 所以 2133
k k
k k γβα=-
-， 于是 21123333
()()(,)k k k b k b
a b a L k k k k ηββααβαβ=+-
-=-+-∈ 即 (,)(,)L L βγαβ⊂ 所以 (,)(,)L L αββγ=
7、设,,n
F αβγ∈，,αβ与,αγ都线性无关，如果(,)(,)L L αβαγ≠，则,,αβγ线性无关。

证明，设0a b c αβγ++=，
①如果0a ≠，则b 、c 不能同时为零（否则0α=，那么将有,αβ与,αγ都线性相关）。

不妨设0b ≠，此时若0c =，则,αβ线性相关导致矛盾，所以0c ≠
(,),()()a c an cn
L m n m n m b b b b
θαβθαβααγαγ∀∈=+=+--=---
(,)(,)(,)L L L θαγαβαγ⇒∈⇒⊂；
反过来(,),()()a b an bn
L m n m n m c c b c
θαγθαγααβαβ∀∈=+=+-
-=--- (,)(,)(,)L L L θαβαγαβ⇒∈⇒⊂，所以(,)(,)L L αβαγ=矛盾；
所以0a =
②如果0b ≠，则a 、c 不能同时为零（否则0β=，那么将有,αβ线性相关）。

若0a ≠，此时证明同①；
若0c ≠，则由第6题知(,)(,)L L αβαγ=导致矛盾；所以0b =
③如果0c ≠由于b 、c 地位相同，故一样将得0c = 这说明,,a b c 都只能为零，所以,,αβγ线性无关。

8、设W 是n F 的非空子集，则W 是n F 的子空间当且仅当对任意的,W αβ∈，任意
,k l F ∈，有k l W αβ+∈
证明：必要性是显然的，下面证明充分性：
取1k l ==，则任意的,W αβ∈有W αβ+∈；取10,k l ==，则k W α∈，即W 对n F 的两种运算封闭，所以W 是n F 的子空间。

习题4.6
1、按照矩阵的加法和数量乘法，证明集合 （1）121123434,,,x x V x x x x R x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
=∈⎨⎬
⎪
⎪⎪⎝⎭⎩⎭ （2）1
221232
3,,x x V x x x R x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
=∈⎨⎬
⎪
⎪⎪⎝⎭⎩⎭
（3）12212
10,x x V x x R x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
=∈⎨⎬
⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭
是R 上的线性空间，并求它们的基底和维数。

证明：（1）按照矩阵运算的定义，矩阵加法的交换律1）、结合律2）、数乘结合律6）、数的加法对矩阵相乘的分配律7）、矩阵加法对数乘的分配律8）都成立；
零元素（零矩阵）存在3）；负元素（矩阵的负矩阵）存在4）；数1乘任何矩阵等于这个矩阵本身5）。

即1）——8）条都成立，所以1V 是R 上的线性空间，并且它的一个基底为：
1000010000100001,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，维数是4； （2）由矩阵运算的定义，我们只需证明运算封闭即可：
121
211
2223232233x x y y x y x y x x y y x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪
⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
仍然为二阶对称矩阵；
121
22
323x x kx kx k x x kx kx ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
也仍然为二阶对称矩阵，所以对矩阵加法和数乘封闭。

100100001001,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
是它的一个基底，而维数为3； （3）由矩阵运算的定义，我们也只需证明运算封闭即可：
121
211
221111000x x y y x y x y x y x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭和1
2121100x x kx kx k x kx ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
仍然原来的结构，以对矩阵加法和数乘封闭。

10010100,⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
是它的一个基底，而维数为2。

2、有没有仅含一个向量的线性空间？有没有含有有限个（多于一个）向量的线性空间？ 解：零空间就是仅含一个向量的线性空间；
不存在含有有限个（多于一个）向量的线性空间。

事实上：设V 是含有有限个（多于一个）向量的线性空间，则V 一定有非零元α，那么23,,,
,,
n αααα都是V 的元素，这与V 是含有有限个（多于一个）向量的线性空间
的假设矛盾。

3、举例说明下列命题是错误的：
（1）若有向量组12,,
,m ααα线性相关，则1α可以由2,
,m αα线性表出；
（2）若有不全为零的数12,,
,m r r r 使
112211220m m m m r r r r r r αααβββ++
++++
+=
成立，则12,,,m ααα线性相关，12,,,m βββ亦线性相关。

（3）若12,,
,m ααα线性相关，12,,
,m βββ也线性相关，则有不全为零的数
12,,,m r r r 使
1122112200,m m m m r r r r r r αααβββ++
+=++
+=
同时成立。

解：（1）在2
R 中，100111(,),(,),(,)αβγ===线性相关，但α不能由,βγ线性表出；
（2）这时只要取线性无关向量组12,,,m ααα和1122,,,m m βαβαβα=-=-=-，
那么有121m r r r ==
==使112211220m m m m r r r r r r αααβββ++++++
+=；
（3）在3
R 中，123100010110(,,),(,,),(,,)ααα===线性相关，
123010001011(,,),(,,),(,,)βββ===-线性相关，则
当1230a b c ααα++=时，有,a c b c =-=-；
但1231230020(,,)a b c c c c c ββββββ++=--+=-≠
4、设[]n
F x 表示数域F 上所有次数小于n 的多项式及零多项式构成的集合，证明： （1）[]n
F x 是F 上的线性空间，写出它的一个基底和维数； （2）F 同构于[]n
F x 的一个子空间； （3）建立[]n
F x 到n F 的一个同构映射。

解：（1）根据多项式的加法和数乘多项式的运算定义，[]n
F x 是F 上的线性空间是显然的。

2
11,,,
,n x x x -就是[]n F x 的一个基底，这个空间的维数是n 。

（2）由于零次多项式的和还是零次多项式，数乘以零次多项式要么是零，要么还是零
次多项式，所以1
[]F x 是[]n
F x 的子空间，令c c →前者是数，后者是零（当C=0时）或者是零次多项式（当0c ≠时），于是F 同构于[]n
F x 的一个子空间1
[]F x ；
（3）1011()[]n n n f x a a x a x F x --∀=++
+∈，作映射：
1011011(,,
,)n n n n a a x a x a a a F σ
---++
+−−→∈
显然σ是[]n
F x 到n
F 的一个双射，并且(),()[],n
f x
g x F x k F ∀∈∀∈
11011011(),()n n n n f x a a x a x g x b b x b x ----=++
+=+++ 有1001111(()())(()()())n n n f x g x a b a b x a b x σσ---+=++++
++
001111011011(,,,)(,,,)(,,,)n n n n a b a b a b a a a b b b ----=+++=+
11011011()()
(())(())
n n n n a a x a x b b x b x f x g x σσσσ----=++++++=+
11011011(())(())()n n n n kf x k a a x a x ka ka x ka x σσσ----=++
+=+++
1011011011(,,
)(,,
)()n n n n ka ka ka k a a a k a a x a x σ----===++
+
(())k f x σ=
则σ是[]n
F x 到n
F 的一个同构映射。

5、设f 是线性空间1V 到2V 的一个同构映射，证明存在2V 到1V 的映射g 使1
V fg I =是1
V 的恒等映射，且g 亦是同构映射。

证明：取f 的逆映射1
f
-，显然1
ff
-是恒等映射。

其次222,V αβ∀∈，令11
12121(),()f f V ααββ--==∈， 则11
1122()()f f αβαβ--+=+，于是
111111222222()(()())()()f f f f ff ff αβαβαβαβ----+=+=+=+
所以1
1122()f αβαβ-+=+，即1112222()()()f f f αβαβ---+=+ 其次112()k kf αα-=，则1
12()(())f k f kf αα-=， 而11
11222()()(())()f k kf kf f kff k ααααα--==== 所以1
12()k f k αα-=，即1122()()f k kf αα--=，所以1
f
-是同构映射。

6、设f 是线性空间1V 到2V 的同构映射，g 是线性空间2V 到3V 的同构映射，证明：gf 是线性空间1V 到3V 的同构映射。

证明：1,,V k F αβ∀∈∈，则22()()(),(),()f f f V f f V αβαβαβ+=+∈∈
2()kf V α∈
于是()(()())(())(())()()gf g f f g f g f gf gf αβαβαβαβ+=+=+=+
()(())(())()gf k g kf kg f kgf αααα===
所以gf 是线性空间1V 到3V 的同构映射。

7、证明：任何一个线性空间V 与自身都是同构的。

证明：因为恒等映射是同构映射。

8、证明：线性空间的同构关系是一个等价关系，即线性空间的同构具有反身性、对称性和传递性。

证明：习题7已经证明了反身性；习题5证明了对称性，而习题6则证明了传递性，所以线性空间的同构关系是一个等价关系。