西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学(解析版)

西安市2019届高三年级第一次质量检测
文科数学
注意事项：
1. 本卷共150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则集合（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可得：，
则集合.
本题选择A选项.
2.在复平面内，为虚数单位，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
,选D.
3.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）
（A）直线AA1 （B）直线A1B1
（C）直线A1D1（D）直线B1C1
【答案】D
【解析】
试题分析：
只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中直线与都是异面直线，故选D．
考点：异面直线
4.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
甲、乙两人各射击一次,目标没被命中的概率为,
甲、乙两人各射击一次,目标被命中的概率为.
所以A选项是正确的.
5.函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
因为有两个零点，所以排除B；当时，，排除C；当时，，排除D,故选A．
6.设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值是（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】C
【解析】
作出约束条件的可行域如图所示：
由可得，则为直线在轴上的截距，截距越大，越小
结合图象可知，当直线平移到时，最大
由得，
故选C
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：①准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
7.若直线：与圆：无交点，则点与圆的位置关系是（）
A. 点在圆上
B. 点在圆外
C. 点在圆内
D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式判断，可得出结论．
【详解】直线：与圆：无交点，则，即，
∴点在圆内部.
故应选C.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.
8.若，，则下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的单调性对选项逐一判断即可．
【详解】∵，，
对A选项，变形为log a x3＜log a y2，而函数y=是单调递减函数，x3＜y2，
∴log a x3>log a y2，故A不正确；
对B选项，,函数y=cosx是单调递减函数，∴，故B不正确；
对C选项，y=是单调递减函数，∴, 故C不正确；
而D选项，幂函数y=是单调递增函数，∴，
故应选D.
【点睛】本题考查了基本初等函数的性质的应用，熟练掌握函数的单调性是解本题的关键．
9.中，，，，则外接圆的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件利用余弦定理可求c，再利用正弦定理求得外接圆半径，即可求得面积．
【详解】中，，，且，
由余弦定理可知，∴；
又，
∴由正弦定理可知外接圆半径为.
所以外接圆面积为.
故应选C.
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，及三角形外接圆面积的计算，属于基础题．
10.已知，，在球的球面上，，，，直线与截面所成的角为，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件，分析得到BC即为A，B，C所在平面截球得到的圆的直径，根据直线AO与平面ABC成30°角，求出球半径后，代入球的表面积公式，即可得到答案．
【详解】在中，由余弦定理得到求得，
由勾股定理得为直角，∴中点即所在小圆的圆心，
∴平面，且小圆半径为1，
又直线与截面所成的角为，
∴在直角三角形中，球的半径为,
∴球的表面积为.
故应选D.
【点睛】本题考查了球的截面问题，考查了球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键，属于中档题．
11.设为双曲线：的右焦点，，若直线的斜率与的一条渐近线的斜率的乘积为3，则的离心率为（）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
设出焦点坐标，根据已知列出关于a、b、c的方程，然后求解离心率．
【详解】设为，，若直线与的一条渐近线的斜率乘积为3，可得：，
可得，即，
可得，，解得.
故应选B.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础题．
12.设函数，若实数满足，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：对函数求导得，函数单调递增，，由
知，同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知，所
以.
考点：利用导数求函数的单调性.
【方法点睛】根据函数单调性和导数的关系，对函数求导得，函数单调递增，
，进一步求得函数的零点；同理对函数求导，知在定义域内单调递增，，由知的零点，所以.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量与的夹角为，，，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意，设||＝t，（t＞0），由数量积的计算公式可得•，进而由||，平方可得9+3t+t2＝13，解得t的值，即可得答案．
【详解】根据题意，设||＝t，（t＞0），
向量与的夹角为60°，||＝3，则•，
又由||，则（）22+2•2＝9+3t+t2＝13，
变形可得：t2+3t﹣4＝0，
解可得t＝﹣4或1，
又由t＞0，则t＝1；
故答案为1．
【点睛】本题考查向量数量积的计算公式，考查了向量的模的转化，属于基础题．
14.用系统抽样法（按等距离的规则）从160部智能手机中抽取容量为20的样本，现将这160部智能手机随机地从001~160编号，按编号顺序平分成20组：001~008号，009~016号，017~024号，…，153~160号，若第9组与第10组抽出的号码之和为140，则第1组中用抽签的方法确定的号码是__________．
【答案】002
【解析】
由系统抽样法知抽取的20的样本的编号可视为公差为8的等差数列，
设首项为，又
∴，∴
∴第1组中用抽签的方法确定的号码是002
故答案为：002
15.设，，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数对的对数为
______．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同求得a、b即可．
【详解】∵对于任意实数都有，
则函数的周期相同，若，
此时，
此时，
若，则方程等价为，
则，则，
综上满足条件的有序实数组为，，共有2组.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．
16.已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为
______．
【答案】
【解析】
试题分析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，
，故线段AB的中点到y轴的距离为
考点：本题考查了抛物线的性质
点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）.
（1）证明：成等比数列；
（2）设，若数列为等比数列，求的通项公式.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）代入n＝1得a1＝t．当n≥2时，由（1﹣t）S n＝﹣ta n+t，得，（1﹣t）S n﹣1＝﹣ta n﹣1+t．作差得a n＝ta n﹣1，由此能证明{a n}是等比数列．
（2）由，分别求得，利用数列{b n}为等比数列，则有，能求出t的值．【详解】（1）由，
当时，，得，
当时，，即，，
∴，
故成等比数列.
（2）由（1）知是等比数列且公比是，∴，
故，即，
若数列是等比数列，则有，
而，，.
故，解得，
再将代入得：.
【点睛】本题考查了由递推关系证明等比数列，考查了等比数列的应用，考查了运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．
18.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.
（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；
（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
广告投入
销售收益
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.
附公式：，.
【答案】（1）2;（2）;（3）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；
（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．
【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知
，故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，
其中点分别为，对应的频率分别为，
故可估计平均值为；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．
由题意可知，，，
，
，
根据公式，可求得，，
即回归直线的方程为．
【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．
19.如图，多面体中，底面是菱形，，四边形是正方形且平面.
（1）求证：平面；
（2）若，求多面体的体积.
【答案】（1）证明详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由面面平行的判定定理先证明平面平面，进而可得平面；
（2）将多面体拆成两个四棱锥，由四棱锥的体积公式即可求出结果.
【详解】（1）证明：是菱形，.
又平面，平面，平面.又是正方形，.
平面，平面，平面.平面，平面
平面平面，平面.
（2）解：连接，记.
是菱形，，且.
由平面，平面，.
平面，平面，，
平面于，
即为四棱锥的高.
由是菱形，，则为等边三角形，由，则
，，，，
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定以及几何体的体积，证明线面垂直，有时需要先证面面垂直，熟记判定定理以及体积公式即可，属于常考题型.
20.已知椭圆：的短轴长为，离心率为，过右焦点的直线与椭圆交于不同两点，.线段的垂直平分线交轴于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知：2b＝2，，则a＝2c，代入a2＝b2+c2，求得a，即可求得椭圆C的标准方程；
（2）分类讨论，设直线MN的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x＝0，得，利用基本不等式，即可求的取值范围，再考虑斜率不存在的情况，取并集得到的取值范围．
【详解】（1）由题意可得：，，又，
联立解得，，.
∴椭圆的方程为.
（2）当斜率存在时，设直线的方程为，，，中点，
把代入椭圆方程，得到方程，
则，，，，
所以的中垂线的方程为，令，得，
当时，，则；
当时，，则，
当斜率不存在时，显然，
当时，的中垂线为轴.
综上，的取值范围是.
【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键，属于中档题．
21.已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，根据导数判断函数的单调区间，进而求出函数的最小值；
（2）要证，只需证明e x≥ln（x+m）+1成立即可，分情况讨论，采用分离参数法，构造新函数，利用导数求得符合条件的m的取值范围，进而问题得解.
【详解】（1）当时，，则．
令，得．
当时，；当时，．
∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
∴当时，函数取得最小值，其值为．
（2）由（1）得：恒成立．
①当恒成立时，即恒成立时，条件必然满足．
设，则，在区间上，，是减函数，在区间上，，是增函数，即最小值为．
于是当时，条件满足．
②当时，，，即，条件不满足．
综上所述，m的取值范围为．
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及分类讨论思想，考查了用导数求解不等式成立时，参数的取值范围；用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题，一般采用参数分离法，构造新函数，然后对构造函数求导解答.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的笫一题计分.
22.[选修4-4：坐标系及参数方程]
已知曲线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程及曲线上的动点到坐标原点的距离的最大值；
（2）若曲线与曲线相交于，两点，且与轴相交于点，求的值.
【答案】（1），（2）
【解析】
【试题分析】(I)将方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得的长度并求得其最大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得的值.
【试题解析】
（Ⅰ）由得，
即曲线的直角坐标方程为
根据题意得，
因此曲线上的动点到原点的距离的最大值为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线与轴交点的坐标为，曲线的参数方程为:，曲线
的直角坐标方程为
联立得……8分
又，
所以
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设函数.当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的定义，去掉绝对值号，转化为一般不等式，即可求解不等式的解集；
（Ⅱ）利用绝对值三角不等式，即可求解最小值，得，即可求解实数的取值范围. 试题解析：
（Ⅰ）当时，.由，解得.
所以，不等式的解集为.
（Ⅱ）
（当且仅当时取等号）
（当且仅当时取等号）.
综上，当时，有最小值.故由题意得，解得，或.
所以，实数的取值范围为.。