北师版数学9年级下考点22 反证法、命题与定理

①若－1＜x＜－1
2x
【解析】∵－1＜x＜－1
考点22反证法、命题与定理
一、选择题
1.（2015·长沙中考）下列命题中，为真命题的是（）
A．六边形的内角和为360度B．多边形的外角和与边数有关
C．矩形的对角线互相垂直D．三角形两边之和大于第三边
【答案】D
【解析】六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°；凸多边形的外角和恒等于360°，与边数无关；矩形的对角线相等，但不一定互相垂直；三角形两边之和大于第三边.∴A、B、C 三个选项的命题是假命题，D选项的命题是真命题，故答案为D．
2.（2015·东营中考）下列命题中是真命题的是（）
A．确定性事件发生的概率为1
B．平分弦的直径垂直于弦
C．正多边形都是轴对称图形
D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】确定性事件包括必然事件与不可能事件，它们发生的概率分别为1和0，故A选项错误；两条直径互相平分但不一定垂直，故B选项错误；正多边形是轴对称图形，故C选项正确；两边及其一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如下图，故D选项错误．
3.（2015·德州中考）下列命题中，真命题的个数是（）
1
，则－2＜＜－1；
②若－1≤x≤2，则1≤x2≤4；
③凸多边形的外角和为360°；
④三角形中，若∠A＋∠B＝90°，则sin A＝cos B．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
11
，而－1的倒数是－1，－的倒数是－2，∴x的倒数应在－2
22x
与－1之间，即－2＜＜－1，从而①真．∵－1≤x≤2，∴0≤x2≤4，故②假．易知凸多边
AB ，cos B＝
AB
．∴sin A＝cos B，从而④真．综上，选B．
25-1
x
形的外角和恒为360°，故③真．在三角形ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则∠C＝90°，从而sin A＝BC BC
4.（2015·聊城中考）下列命题中的真命题是（）
A．两边和一角分别相等的两个三角形全等B．相似三角形的面积比等于相似比C．正方形不是中心对称图形D．圆内接四边形的对角互补
【答案】D
【解析】
选项A
B C D
知识点
根据“两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等”，可知选项A缺少“夹
角”的条件．
根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，知选项B的结论错误．
根据“正方形是中心对称图形”，知选项C结论错误．
根据“圆内接四边形的对角互补”，知选项D正确．
结果
×
×
×
√
5.（2015·鄂尔多斯中考）下列说法中，正确的有（）
①等腰三角形两边长为2和5，则它的周长是9或12.
②无理数-3在-2和1之间.
③六边形的内角和是外角和的2倍.
④若a>b，则a-b>0．它的逆命题是假命题.
⑤北偏东30°与南偏东50°的两条射线组成的角为80°.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【答案】B
【解析】①中，三边长分别是2，，不能构成三角形，故①错误；②中，3约为-1.732，
在-2和1之间，故②正确；③中，六边形的内角和为180º×（n-2）=180º×(6-2)=720º，其外角和恒为360º，故③正确；④中，若a>b，则a-b>0的逆命题为若a-b>0，则a>b，为真命题，故④错误；⑤中，北偏东30°与南偏东50°的两条射线组成的角为100°，故⑤错误.故答案为B.
6.（2015·乌兰察布中考）已知下列命题：
①在△R t ABC中，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则sin A＞sin B；
②四条线段a，b，c，d中，若a c
＝，则ad＝bc；
b d
③若a＞b，则a(m2＋1)＞b(m2＋1)；
④若|－x|＝－x，则x≥0．
其中原命题与逆命题均为真命题的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【解析】①在△R t ABC中，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则sin A＞sin B，原命题为真命题；逆命题是：在△R t ABC中，∠C＝90°，若sin A＞sin B，则∠A＞∠B，逆命题为真命题.故①中的原命题和逆命题皆真．
②四条线段a，b，c，d中，若a c
＝，则ad＝bc，原命题为真命题；逆命题是：四条线b d
a c
段a，b，c，d中，若ad＝bc，则＝，逆命题为真命题，故②中的原命题和逆命题皆
b d
真．
③若a＞b，则a(m2＋1)＞b(m2＋1)，注意到m2+1>0，结合不等式的性质，可知原命题为真命题；逆命题是：若a(m2＋1)＞b(m2＋1)，则a＞b，逆命题为真命题，故③中的原命题和逆命题皆真．
④由|－x|＝－x，得x≤0，所以原命题为假命题；若x≥0，则|－x|＝x，因此原命题的逆命题是假命题．故④中的原命题和逆命题皆假．
综上，选A．
7.（2015·台州中考）某班有20位同学参加围棋、象棋比赛.甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题是（）
A.若甲对，则乙对
B.若乙对，则甲对
C.若乙错，则甲错
D.若甲错，则乙对
【答案】B
【解析】对于选项A：若甲对，设只参加一项的人数为15人，则两项都参加的人数为5人，
则乙错，所以选项A错误；对于选项C：若乙错，设两项都参加的是5人，可知只参加一
项的人数为15人，则甲对，所以选项C错误；对于选项D：若甲错，设只参加一项的人数为14人，则两项都参加的是6人，则乙错,所以选项D错误.故选择B.
8.（2015·雅安中考）下列命题是真命题的是（）
A.任何数的零次幂都等于1；
B.顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是正方形；
C.图形的旋转和平移会改变图形的形状和大小；
D.角平分线上的点到角的两边的距离相等.
【答案】D
【解析】任何非零数的零次幂都等于1，所以A错误；顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是矩形，所以B错误；图形的旋转和平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，所以C错误.故选择D.
9.（2015·莆田中考）命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0必有实数解”是假命题.
则在下列选项中，可以作为反例的是（）
A.b=－3
B.b=－2
C.b=－1
D.b=2
【答案】C
【解析】方法1：由Δ=b2-4≥0，求解得出b≥2或b≤－2,根据b的取值范围就能判断得出C为正确选项.
方法2：将四个选项直接代入Δ=b2-4≥0，只有C选项不等式不成立.故选择C.
10.（2015·武威中考）下列命题中，假命题是()
A.平行四边形是中心对称图形
B.三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
C.对于简单的随机抽样，可以用样本的方差去估计总体的方差
D.若x2＝y2，则x＝y
【答案】D
【解析】A、B、C都是正确的，D没有考虑到互为相反数的两数的平方值相等，所以错误，故选择D.
11.（2015·漳州中考）下列命题中，是假命题的是（）
A．对顶角相等B．同旁内角互补
C．两点确定一条直线D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
【答案】B
【解析】选项A、C、D都是真命题，选项B是假命题，因为在同一平面内，只有当两直线平行时，同旁内角互补才成立，故选择B.
12.（2015·佛山中考）下列给出5个命题：
①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于720°；③相等的圆心角所对的弧相等；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等．其中正确命题的个数是（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【解析】①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①错误；②六边形的内角和为（6－2）×180°=720°，所以②正确；③“相等的圆心角所对的弧相等”成立的前提：在同圆或等圆中，所以③错误；④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④正确；
⑤三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以⑤错误．故选择A．
13.（2015·百色中考）下列命题的逆命题一定成立的是()
①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；
③若a=b，则|a|=|b|；④若x=3，则x2-3x=0
A.①②③
B.③④
C.②④
D.②
【答案】D
【解析】①对顶角相等的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，是假命题；
②同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等，是真命题；
（ ⎧
③若 a =b ，则|a |=|b |的逆命题是：若|a |=|b |，则 a =b ，是假命题.
④若 x =3，则 x 2-3x=0 的逆命题是：若 x 2-3x=0，则 x =3，是假命题. 故选择 D .
14.（2015·北海中考）下列命题中，属于真命题的是（
）
A ．各边相等的多边形是正多边形
B ．矩形的对角线互相垂直
C ．三角形的中位线把三角形分成面积相等的两部分
D ．对顶角相等 【答案】D
【解析】A ．各边相等、各角相等的多边形是正多边形，故 A 选项错误；B ．矩形的对角线 互相平分且相等，故 B 选项错误；C ．三角形的中位线把三角形分成的两部分的面积比为 1:3，故 C 选项错误；D ．对顶角相等，故 D 选项正确. 故选择 D .
二、填空题
1.（2015·无锡中考）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是
命题．填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】全等三角形的形状、大小都相同，所以全等三角形的面积相等，它是真命题，但面 积相等的三角形不一定是全等三角形，所以命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是假命题， 故答案为假.
2. （2015·呼和浩特中考）以下四个命题：①若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂
直，则这两个角互补.②边数相等的两个正多边形一定相似.③等腰三角形 ABC 中， D 是 底边 BC 上一点，E 是一腰 AC 上的一点，若∠BAD =60°且 AD =AE ，则∠EDC =30°.④任意 三角形的外接圆的圆心一定是三角形三条边的垂直平分线的交点 .其中正确命题的序号为 __________. 【答案】②③④
【解析】若一个角的两边和另一个角的两边分别互相垂直，则这两个角不一定互补，也可能 相等，因此命题①错误；由于正多边形的每条边相等、每个内角相等，因此边数相等的两个 正多边形的每条边对应成比例，每个角对应相等，根据多边形相似的定义可知这两个正多边 形一定相似，因此命题②正确；如图，设∠B=x ，∠ADE=y ，根据等边对等角，得∠C=
∠B=x ，∠AED=∠ADE=y.由于∠ADC 、∠AED 分别是△ABD 、△DEC 的外角，结合三角
形外角的性质，得 ⎨ y + ∠EDC = x + 60︒, ⎩ y = ∠EDC + x,
两式相减，得∠ E DC =30°，因此命题③正确；三角
形外接圆的圆心到三角形各顶点的距离相等（即圆的半径相等），由线段垂直平分线的逆定 理可知三角形外接圆的圆心必定是三角形各边的垂直平分线的交点 . 因此命题④正确.故答 案为②③④.
3.（2015·宁波中考）命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题.(填“真”或“假”)【答案】假
【解析】如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但四边形ABCD不是矩形，所以命题为假命题，故答案为假.
A
B D
C
4.（2015·遂宁中考）下列命题：
①对角线互相垂直的四边形是菱形；
②点G是△ABC的重心，若中线AD＝6，则AG＝3；
③若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0；
④定义新运算：a※b＝2a－b2，若(2x)※(x－3)＝0，则x＝1或9；
⑤抛物线y＝－2x2＋4x＋3的顶点坐标是（1，1）.
其中是真命题的有____________（只填序号）．
【答案】③④
【解析】①错误，可以举反例来否定：随便画两条互相垂直的线段，顺次连接两条线段的四个端点，得四边形，此四边形的对角线互相垂直，但不一定是菱形.②错误．根据重心的定义与性质，知AG＝4．③正确，由一次函数的图象与性质可判定．④正确．由运算规则，知(2x)※(x－3)＝0可变为2×2x＝(x－3)2，解得x＝1或x＝9．⑤错误，由顶点坐标公式可求得顶点坐标为（1，5）．故答案为③④．
5.（2015·庆阳中考）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．
其中为真命题的是．（填写所有真命题的序号）
【答案】①②④
【解析】①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题，故①正确；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，是真命题，故②正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，是假命题，故③错误；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，是真命题，故④正确．
故答案为①②④．
三、解答题
1.（2015·绍兴中考）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A
按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG＝α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图．
(1)若α＝0°，则DF＝BF，请加以证明；
(2)试画一个图形(即反例)，说明(1)中命题的逆命题是假命题；
(3)对于(1)中命题的逆命题，如果补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你
认为需要补充的一个条件，不必说明理由．
证明：(1)如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，
∵GF＝EF，AG＝AE，而AD＝AB，
∴DG＝BE．
又∵∠DGF＝∠BEF＝90°，
∴△DGF≌△BEF，∴DF＝BF.
解：（2）图形(即反例)如图.
解：(3)答案不唯一，如点F在正方形ABCD内．
2.（2015·河北中考）嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规做出了如图所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
（1）在方框中填空，以补全已知和求证；
（2）按嘉淇的想法写出证明；
证明：
（3）用文字叙述所证命题的逆命题为．解：（1）CD平行
证明：（2）如图所示，连接BD，
在△ABD和△CDB中，
∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
解：（3）平行四边形的对边相等。