3.2.3直线的一般式方程课件人教新课标

显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,
故m的值为2或-3.
(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
探究一
探究二

提示:当 A=0 时,方程变为 y=- ,当 C≠0 时表示的直线平行于 x 轴,


当 C=0 时与 x 轴重合;当 B=0 时,方程变为 x=-,当 C≠0 时表示的直
线平行于 y 轴,当 C=0 时与 y 轴重合.
一
二
3.做一做:直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为
为 .
2
1
答案:y=-3x-3
示成x-a=0,把它可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y
的系数为0.
3.填空:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫
做直线的一般式方程,简称一般式.
4.做一做:过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为
.
答案:2x-y+4=0
一
二
二、直线方程的一般式与其他情势的互化
答案:A
1
2
3
4
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的
哪一个(
)
1
解析:当 a<0,b>0 时,直线 ax-by=1 在 x 轴上的截距 <0,在 y 轴上的
1
1
1



截距- <0;bx-ay=1 在 x 轴上的截距 >0,在 y 轴上的截距- >0.只有 B


-
-
;化为截距式
1 + 1=1
2
3
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线. (
)
(2)直线的其他情势的方程都可化为一般式. (
)
(3)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)一定表示
直线. (
程y-y0=k(x-x0)或x=x0的情势.
1
2
3
4
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值
分别为(
)
A.-1,2 B.-2,2
C.2,-2 D.-2,-2



2
解析:令 x=0,则 y=- =2;令 y=0,则 x=- =-1,得 b=2,a=-1,故选 A.
表示一条直线吗?为什么?
提示:能表示一条直线.原因如下:当 B≠0 时,方程 Ax+By+C=0 可变




形为 y=-x-,它表示过点 0,- ,斜率为-的直线.当 B=0 时,方程

Ax+By+C=0 变成 Ax+C=0,即 x=-,它表示与 y 轴平行或重合的一条
直线.
一
二
2.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元
3
法二 (1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)代入上式得m=-9.
∴所求直线方程为3x+4y-9=0.
(2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.
∴所求直线方程为4x-3y+13=0.
探究一
探究二
思想方法
方法总结 一般地,已知直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),
含y项、常数项的顺序排列.
探究一
探究二
思想方法
变式训练根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
1
(1)斜率是- 2 ,经过点A(8,-2);
(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;
3
(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 ,-3;
2
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
1
解:(1)由点斜式方程,得 y-(-2)=-2(x-8),
一次方程表示吗?为什么?
提示:都可以.原因如下:(1)直线和 y 轴相交于点(0,b)时:此时倾斜
π
角 α≠2 ,直线的斜率 k 存在,直线可表示成 y=kx+b,即 kx+(-1)y+b=0,
这是关于 x,y 的二元一次方程.(2)直线和 y 轴平行(包括重合)时:此时
π
倾斜角 α=2 ,直线的斜率 k 不存在,不能用 y=kx+b 表示,而只能表
探究一
探究二
思想方法
3
解法一 由题设 l 的方程可化为 y=-4x+3,
3
∴l 的斜率为-4.
3
(1)∵直线 l'与 l 平行,∴l'的斜率为-4.
3
又∵直线 l'过(-1,3),由点斜式知方程为 y-3=-4(x+1),即 3x+4y-9=0.
4
(2)由 l'与 l 垂直,∴l'的斜率为3,
4
又过(-1,3),由点斜式可得方程为 y-3= (x+1),即 4x-3y+13=0.
则:
(1)与直线l平行的直线系方程都可以设为Ax+By+m=0(其中m为
参数)的情势,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;
(2)与直线l垂直的直线系方程都可以设为Bx-Ay+m=0(其中m为参
数)的情上恒过定点P(x0,y0)的直线方程都可以设为中心直线系方
答案:1
思想方法
反思感悟由直线的一般式方程解决平行与垂直问题
直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.
1.直线方程的一般式与其他几种情势的直线方程相比,它有什么
优点?
提示:直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线,而点斜式、
斜截式、两点式方程,都不能表示与x轴垂直的直线.
2.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表
示的直线(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.
思路分析:先选择合适的情势将直线方程写出来,再化为一般式.
探究一
探究二
思想方法
解:(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为 y-3=√3(x-5),
化为一般式方程为√3x-y+3-5√3=0.
(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,
化为一般式方程为4x-y-2=0.
(3)由两点式方程可知,
所以直线方程为4x-3y-2=0.
探究一
探究二
思想方法
常见的直线系及其应用
典例已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、
垂直直线系方程,利用待定系数法求解.
即x+2y-4=0.
(2)由点斜式方程,得y-2=0.


(3)由截距式方程,得 3 + =1,即 2x-y-3=0.
2
(4)由两点式方程,得
-3
-(-2)
-4-(-2)
即x+y-1=0.
=
-3
5-3
,
探究一
探究二
思想方法
由一般式方程判断两直线平行或垂直
【例2】 (1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,
满足.故选 B.
答案:B
1
2
3
4
3.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为
解析:由点斜式方程,得所求直线方程为y-3=2(x-1),整理,得2xy+1=0.
答案:2x-y+1=0
.
1
2
3
4
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数
m=
.
解析:∵两直线垂直,
∴1×2-2m=0,m=1.
)
答案:(1)√ (2)√ (3)√
探究一
探究二
思想方法
直线的一般式方程
例1 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是 √3 ,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
求实数m的值;
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0
垂直,求实数a的值.
思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.
解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
-5
-(-1)
所求直线方程为
=
,
-1-5
2-(-1)
化为一般式方程为2x+y-3=0.


(4)由截距式方程可得,所求直线方程为-3 + -1=1,
化为一般式方程为x+3y+3=0.
反思感悟直线的一般式方程的特征
求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其情势一般作如下
设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、
求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,
又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.
所求直线方程为3x+4y-14=0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,
又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,
3.2.3
直线的一般式方程
核心素养培养目标
1.了解直线的一般式方程的形式
特征,理解直线的一般式方程与二
元一次方程的关系.
2.能正确地进行直线的一般式方
程与特殊形式的方程的转化.
3.能运用直线的一般式方程解决
有关问题.
核心素养形成脉络
一
二
一、直线的一般式方程
1.每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都