八年级上学期第二次月考数学试卷 (解析版)

八年级上学期第二次月考数学试卷 （解析版） 一、选择题 1．如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=3，若点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）
A ．362
B ．332
C ．6
D ．3
2．将直角三角形的三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形（ ）
A ．仍是直角三角形
B ．一定是锐角三角形
C ．可能是钝角三角形
D ．一定是钝角三角形 3．若a 满足3a a =
，则a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．0或1或1-
4．如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则1∠的度数为（ ）
A ．82°
B ．78°
C ．68°
D ．62°
5．下列四个图形中，不是轴对称图案的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，将△ABC 折叠，使点A 与BC 边中点D 重合，折痕为MN ，若AB=9，BC=6，则△DNB 的周长为（ ）
A．12B．13C．14D．15
7．一组不为零的数a，b，c，d，满足a c
b d
=，则以下等式不一定成立的是（）
A．a
c
＝
b
d
B．
a b
b
+
＝
c d
d
+
C．
9
a
b
-
＝
9
c
d
-
D．
9
9
a b
a b
-
+
＝
9
9
c d
c d
-
+
8．9的平方根是( )
A．3B．81C．3±D．81
±
9．直线y=ax+b(a＜0，b＞0)不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．将直线y＝1
2
x﹣1向右平移3个单位，所得直线是（）
A．y＝1
2
x+2 B．y＝
1
2
x﹣4 C．y＝
1
2
x﹣
5
2
D．y＝
1
2
x+
1
2
二、填空题
11．如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）．将△ABC沿y 轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是_____．
12．如图，点A的坐标为（-2，0），点B在直线y x
=上运动，当线段AB最短时，点B 的坐标是__________．
13．如图，一艘轮船由海平面上的A地出发向南偏西45º的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西15º的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距____海里.
14．公元前3世纪，我国数学家赵爽曾用“弦图”证明了勾股定理.如图，“弦图”是由四个全等的直角三角形（两直角边长分别为a 、b 且a <b ）拼成的边长为c 的大正方形，如果每个直角三角形的面积都是3，大正方形的边长是13，那么b -a =____.
15．若等腰三角形的一个角为70゜，则其顶角的度数为_____ ．
16．等边三角形有_____条对称轴．
17．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，且50A ∠=︒，则EBC ∠的度数是__________．
18．点A (2，－3)关于x 轴对称的点的坐标是______．
19．等腰三角形的两边长分别为5cm 和2cm ，则它的周长为_____． 20．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD ＝4，AB ＝16，则△ABD 的面积等于_____．
三、解答题
21．（131232)36+（2）因式分解：3312x x -
（3）计算：2(1)(2)(3)x x x x -+-+
（4）计算：2(21)2(1)(1)x x x +-+-
22．（1）求x 的值：225x =
（2）计算：23(2)816--+
23．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 是ABC ∆的一条角平分线.点O 、E 、F 分别在BD 、BC 、AC 上，且四边形OECF 是正方形.
（1）求证：点O 在BAC ∠的平分线上；
（2）若5AC =，12BC =，且正方形OECF 的面积为4，求ABO ∆的面积.
24．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点P 从点A 出发，以每秒一个单位的速度沿A B C →→的方向运动；同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿
B C D →→的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动.设两点运动的时间为t 秒.
（1）当t =______时，两点停止运动；
（2）当t 为何值时，BPQ ∆是等腰三角形？
25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数y ＝
34x 与一次函数y ＝﹣x+7的图象交于点A ，x 轴上有一点P(a ，0)．
（1）求点A 的坐标；
（2）若△OAP 为等腰三角形，则a ＝ ；
（3）过点P 作x 轴的垂线（垂线位于点A 的右侧）、分别交y ＝
34
x 和y ＝﹣x+7的图象于点B 、C ，连接OC ．若BC ＝7
5OA ，求△OBC 的面积．
四、压轴题
26．（1）在等边三角形ABC 中，
①如图①，D ，E 分别是边AC ，AB 上的点且AE=CD ，BD 与EC 交于点F ，则∠BFE 的度数是 度；
②如图②，D ，E 分别是边AC ，BA 延长线上的点且AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，此时∠BFE 的度数是 度；
（2）如图③，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB 是锐角，点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，点D ，E 分别在AC ，OA 的延长线上，AE=CD ，BD 与EC 的延长线交于点F ，若∠ACB=α，求∠BFE 的大小．（用含α的代数式表示）．
27．如图，已知四边形ABCO 是矩形，点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，4AB =，3BC =．
（1）求直线AC 的解析式；
（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐
标．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝2x ＋4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的另一条直线交x 轴正半轴于点C ，且OC ＝3．
图1 图2
（1）求直线BC 的解析式；
（2）如图1，若M 为线段BC 上一点，且满足S △AMB ＝S △AOB ，请求出点M 的坐标；
（3）如图2，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，连接FG ，以FG 为边向FG 右侧作正方形FGQP ，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线BC 上时，求点G 的坐标；
29．如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm/s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm/s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s)．
(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ；
(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，
①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；
②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；
(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
30．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接
EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．
（1）求证：FHA ADC ≌△△；
（2）求证：点G 是EF 的中点．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
分析：作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，如图，利用轴对称的性质得
MP=MC ，NP=ND ，3∠BOP=∠BOD ，∠AOP=∠AOC ，所以
∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN 周长最小，作OH ⊥CD 于H ，则CH=DH ，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD 即可．
详解：作P 点分别关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连接CD 分别交OA 、OB 于M 、N ，如图，
则MP=MC ，NP=ND ，3∠BOP=∠BOD ，∠AOP=∠AOC ，
∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC ，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°， ∴此时△PMN 周长最小， 作OH ⊥CD 于H ，则CH=DH ， ∵∠OCH=30°，
∴OH=123 3OH=32
,
∴CD=2CH=3．
故选D．
点睛：本题考查了轴对称﹣最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于三角形是直角三角形，所以三边满足勾股定理，当各边扩大或者缩小k倍时，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】
设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．
则满足a2＋b2＝c2．
若各边都扩大k倍（k＞0），则三边分别为ak、bk、ck
（ak）2＋（bk）2＝k2（a2＋b2）＝（ck）2
∴三角形仍为直角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形．
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
只有0和1的算术平方根与立方根相等．
【详解】
3
a a
∴a为0或1．
【点睛】
本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．也考查了算术平方根．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接利用全等三角形的性质得出∠1＝∠2进而得出答案．
【详解】
∵如图是两个全等三角形，
∴∠1＝∠2＝180°−40°−62°＝78°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.
【详解】
A不是轴对称图形，B、C、D都是轴对称图形.
故选A.
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据中点的定义可得BD=3，由折叠的性质可知DN=AN，即DN+BN=AB=9，可得△DNB的周长.
解：∵D 是BC 的中点，BC=6，
∴BD=3，
由折叠的性质可知DN=AN ，
∴△DNB 的周长=DN+BN+BD=AN+BN+BD=AB+BD=9+3=12.
故选A.
【点睛】
本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定正确的选项即可．
【详解】 解：一组不为零的数a ，b ，c ，d ，满足a c b d
=， ∴
a b c d =，11a c b d +=+，即a b c d b d ++=，故A 、B 一定成立； 设a c k b d
==， ∴a bk =，c dk =， ∴
999999a b kb b k a b kb b k ---==+++，999999c d kd d k c d kd d k ---==+++， ∴
9999a b c d a b c d --=++，故D 一定成立； 若99a c b d --=则99a c b b d d -=-，则需99b d
=， ∵b 、d 不一定相等，故不能得出
99a c b d --=，故D 不一定成立． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了比例性质；根据比例的性质灵活变形是解题关键．
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据平方根的定义进行求解即可.
【详解】
解：9的平方根是3
.
故选C.
【点睛】
本题考查平方根，一个正数有两个实平方根，它们互为相反数.
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
先根据一次函数的图象与系数的关系得出直线y＝ax＋b（a＜0，b＞0）所经过的象限，故可得出结论．
【详解】
∵直线y＝ax＋b中，a＜0，b＞0，
∴直线y＝ax＋b经过一、二、四象限，
∴不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象经过一、二、四象限．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
由“左加右减”的原则可知，将直线y=1
2
x﹣1向右平移3个单位，所得直线的表达式是
y=1
2
（x﹣3）﹣1，
即y=1
2
x﹣
5
2
．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律，即可解题.
二、填空题
11．（3，1）
【解析】
【分析】
关于y轴对称的点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
【详解】
由题意得点C（－3，1）的对应点C′的坐标是（3，1）．
考点：关于y轴对称的点的坐标
【点睛
解析：（3，1）
【解析】
【分析】
关于y轴对称的点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
【详解】
由题意得点C（－3，1）的对应点C′的坐标是（3，1）．
考点：关于y轴对称的点的坐标
【点睛】
本题属于基础题，只需学生熟练掌握关于y轴对称的点的坐标的特征，即可完成. 12．【解析】
【分析】
过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，推出AC=OC，求出AC、OC长，根据三角形面积公式求出CD，推出CD=OD，即可求出B的坐标．
--
解析：(1,1)
【解析】
【分析】
过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，推出AC=OC，求出AC、OC长，根据三角形面积公式求出CD，推出CD=OD，即可求出B的坐标．
【详解】
解：过A作AC⊥直线y=x于C，过C作CD⊥OA于D，当B和C重合时，线段AB最短，
∵直线y=x，
∴∠AOC=45°，
∴∠OAC=45°=∠AOC，
∴AC=OC，
由勾股定理得：2AC2=OA2=4，
∴2，
由三角形的面积公式得：AC×OC=OA×CD，
=2CD，
∴CD=1，
∴OD=CD=1，
∴B（-1，-1）．
故答案为：（-1，-1）．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，涉及到垂线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的应用，关键是得出当B和C重合时，线段AB最短，题目比较典型，主要培养了学生的理解能力和计算能力．
13．50
【解析】
【分析】
由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
【详解】
解：∵点B在点A的南偏西45°方向上，点C在点B的北偏西15°方向上，∴∠ABC=45°+15°=60
解析：50
【解析】
【分析】
由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．
【详解】
解：∵点B在点A的南偏西45°方向上，点C在点B的北偏西15°方向上，
∴∠ABC=45°+15°=60°
∵AB=BC=50，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=50；
故答案为：50.
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形中的方向角问题，能够证明△ABC是等边三角形是解题的关键．
14．1
【解析】
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，则大正方形的面积为13，每个直角三角形的面积都是3，可以得出小正方形的面积，进而求出答案．
解析：1
【解析】
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知
c =，则大正方形的面积为13，每个直角三角形的面积都是3，可以得出小正方形的面积，进而求出答案．
【详解】
解：根据题意，可知，
∵c =，
132ab =， ∴221()42b a ab c -+⨯
=，213c =， ∴2()13431b a -=-⨯=，
∴1b a -=±；
∵a b <，即0b a ->，
∴1b a -=；
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了勾股定理、完全平方公式、四边形和三角形面积的计算，利用数形结合的思想是解题的关键．
15．70°或40°
【解析】
【分析】
分顶角是70°和底角是70°两种情况求解即可.
【详解】
当70°角为顶角,顶角度数即为70°;
当70°为底角时,顶角=180°-2×70°=40°.
答案为:
解析：70°或40°
【解析】
【分析】
分顶角是70°和底角是70°两种情况求解即可.
【详解】
当70°角为顶角,顶角度数即为70°;
当70°为底角时,顶角=180°-2×70°=40°.
答案为: 70°或40°.
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理,属于基础题,若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键. 16．3
【解析】
试题解析：等边三角形有3条对称轴．
考点：轴对称图形．
解析：3
【解析】
试题解析：等边三角形有3条对称轴．
考点：轴对称图形．
17．15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC ，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA ，从而求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴∠ABC=∠ACB=（
解析：15°
【解析】
【分析】
根据等边对等角和三角形的内角和定理，即可求出∠ABC ，然后根据垂直平分线的性质和等边对等角即可求出∠EBA ，从而求出EBC ∠的度数．
【详解】
解：∵AB AC =，50A ∠=︒
∴∠ABC=∠ACB=
12
（180°－∠A ）=65° ∵ED 垂直平分线段AB
∴EA=EB ∴∠EBA=∠A=50°
∴EBC ∠=∠ABC －∠EBA=15°
故答案为：15°．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的性质、垂直平分线的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角、垂直平分线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
18．(2，3)
【分析】
根据“关于x轴对称的点,横坐标相同, 纵坐标互为相反数” 解答.
【详解】
解:点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标为(2,3).
故答案为:(2,3).
【点睛
解析：(2，3)
【解析】
【分析】
根据“关于x轴对称的点,横坐标相同, 纵坐标互为相反数”解答.
【详解】
解:点A（2，-3）关于x轴对称的点的坐标为(2,3).
故答案为:(2,3).
【点睛】
本题考查了关于x轴,y轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:
(1)关于x轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数:
(2)关于y轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;
(3) 关于原点对称的点, 横坐标与纵坐标都互为相反数.
19．12cm．
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：①5cm为腰，2
解析：12cm．
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和2cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
所以其周长是12cm．
故答案为12cm．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的周长，解题的关键熟知等腰三角形的性质及三角形的构成条件.
20．【解析】
【分析】
作DH ⊥AB 于H ，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=4，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】 作DH ⊥AB 于H ，如图，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴DH=DC=4，
解析：【解析】
【分析】
作DH ⊥AB 于H ，如图，根据角平分线的性质得到DH =DC =4，然后利用三角形面积公式计算．
【详解】
作DH ⊥AB 于H ，如图，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴DH =DC =4，
∴△ABD 的面积=
12
×16×4=32． 故答案为：32．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”是解题的关键． 三、解答题
21．（1）6；（2）()()322x x x +-；（3）236x x --；（4）2243x x ++
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式乘法法则运算；（2）先提公因式，再套用公式；（3）根据整式乘法法则运算；（4）运用乘法公式运算.
【详解】
解：（13(1232)36+
=+
=6-=6
（2）()
()()3231234322x x x x x x x -=-=+- （3）2(1)(2)(3)x x x x -+-+
=22226x x x x -++-
=236x x --
（4）2(21)2(1)(1)x x x +-+-
=224412(1)x x x ++--
=2244122x x x ++-+
=2243x x ++
【点睛】
考核知识点：因式分解，整式乘法.掌握相应法则是关键.
22．（1）5x =±；（2）4
【解析】
【分析】
（1）直接开平方，即可得到答案；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，然后合并同类项即可.
【详解】
解：（1）225x =，
∴5x =±；
（22244=-+=；
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，立方根，以及直接开平方法解方程，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质进行解题.
23．（1）证明见解析；（2）13.
【解析】
【分析】
（1）过点O 作OM ⊥AB ，由正方形的性质可得OE=OF ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，根据角平分线上的点到角两边距离相等可得OM=OG ，所以OM=OF ，于是根据角平分线的判定定理可得点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）由勾股定理得AB 的长，根据正方形的面积可求OE 的长，于是可得OM 的长，根据三角形的面积计算公式可求.
【详解】
解：（1）证明：过点O 作OM ⊥AB ，
∵四边形OECF 是正方形，
∴OE=OF ，∠OEC=∠OFC =90°，
∴OE ⊥BC ，OF ⊥AC,
∵BD 是∠ABC 的一条角平分线，OM ⊥AB,
∴OE=OM ，
∴OF=OM ，
∴点O 在∠BAC 的平分线上；
（2）∵5AC =，12BC =，90C ∠=︒，
∴在Rt △ABC 中，根据勾股定理222251213AB AC BC +=+=, ∵正方形OECF 的面积为4，
∴OM=OE=2，
∴1113213.22ABO S AB OM ∆=
⋅⋅=⨯⨯= 【点睛】
本题考查角平分线的性质和判定，正方形的性质，勾股定理.熟记角平分线的性质定理和判定定理是解决此题的关键.
24．（1）7秒；（2）当t 为2秒或
225
秒时，BPQ ∆是等腰三角形. 【解析】
【分析】
（1）分别计算P 、Q 到达终点的时间，根据当其中一点到达终点后两点都停止运动，取时间较短的；
（2）分三种情况讨论，利用等腰三角形的定义可求解.
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，6AB =，8AD =，
∴6DC AB ==,8BC AD ==，
∴点P 运动到终点所需(6+8)÷1=14秒，Q 运动到终点所需(6+8)÷2=7秒，
∴当t =7时，两点停止运动；
（2）①当t ≤4时，P 点在线段AB 上，Q 点在线段BC 上时，
若Rt BPQ ∆是等腰三角形，则BP=BQ,
即6-t=2t ，解得t=2秒；
②当P 点在线段AB 上，Q 点在线段CD 上时，此时4＜t≤6,如下图,
若BPQ
∆是等腰三角形，则PQ=BQ,此时作PE⊥DC,
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=∠ABC=90°，
∴四边形BCEP为矩形，
∴EC=PB=6-t，EP=BC，
∵PQ=BQ，
∴Rt△EPQ≌Rt△CBQ（HL），
∴EQ=QC，
即6
28
2
t
t
-
=-，解得
22
5
t=，
③当P点在线段BC上，Q点在线段CD上时，此时6＜t≤7如下图，
BP=t-6，QC=2t-8,
∵当6＜t≤7时，QC-BP=2t-8-(t-6)=t-2>0,
∴BQ>QP>QC>BP，BPQ
∆不可能是等腰三角形，
综上所述，当t为2秒或22
5
秒时，BPQ
∆是等腰三角形.
【点睛】
本题考查矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，等腰三角形的定义.掌握方程思想和分类讨论思想是解决此题的关键.
25．（1）A(4，3)；（2）±5或8或27
8
；（3）28
【解析】
【分析】
（1）点A是两直线的交点,其坐标即方程组
3
4
7
y x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
的解；
（2）分OA＝PO
、OA＝AP、AP＝OP适中情况，分别求解即可；
（3）P（a，0），则分别用含a的式子表示出B、C的坐标，从而表示出BC的长度，用勾股定理求得OA，然后根据BC＝
7
5
OA求出a的值，从而利用三角形面积公式求解．
【详解】
解：（1）由题意：
3
4
7
y x
y x
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
解得：
4
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故点A（4，3）；
（2）点A（4，3），则OA＝22
435，
①当OA＝PO=P1O时，
此时OA＝5＝PO=P1O，即a＝±5
②当OA＝AP时，如图，过点A做AM⊥x轴于点M
此时OM=MP=4
∴OP=8
则点P（8，0），即a＝8；
③当AP＝OP时，如图所示，连接AP，过点A作AH⊥x轴于点H，
AP＝PO＝a，则PH＝4﹣a，则（4﹣a）2+9＝a2，
解得：a＝27
8
；
综上，a＝±5或8或27
8
；
故答案为：±5或8或27
8
；
（3）∵P（a，0），则点B、C的坐标分别为：（a，3
4
a）、（a，﹣a+7），
∴BC=3
4
a-（-a+7）=
3
4
a+a﹣7=
7
7
4
a-
又∵BC＝7
5
OA且OA22
435
∴7
7
4
a-＝7
5
×5＝7，
解得：a＝8，
故点P（8，0），即OP＝8；
△OBC的面积＝1
2
×BC×OP＝
1
2
×7×8＝28．
【点睛】
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
四、压轴题
26．（1）①60°；②60°；（2）∠BFE =α．
【解析】
【分析】
（1）①先证明△ACE≌△CBD得到∠ACE=∠CBD，再由三角形外角和定理可得
∠BFE=∠CBD+∠BCF；②先证明△ACE≌△CBD得∠ACE=∠CBD=∠DCF，再由三角形外角和定理可得∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA；
（2）证明△AEC≌△CDB得到∠E=∠D，则∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【详解】
（1）如图①中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD，
∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=∠ACE+∠BCF=∠BCA=60°．故答案为60．
（2）如图②中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=CB，∠A=∠BCD=60°，
∴∠CAE=∠BCD=′120°
∵AE=CD，
∴△ACE≌△CBD，
∴∠ACE=∠CBD=∠DCF，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠D+∠CBD=∠BCA=60°．
故答案为60．
（3）如图③中，
∵点O 是AC 边的垂直平分线与BC 的交点，
∴OC=OA ，
∴∠EAC=∠DCB=α，
∵AC=BC ，AE=CD ，
∴△AEC ≌△CDB ，
∴∠E=∠D ，
∴∠BFE=∠D+∠DCF=∠E+∠ECA=∠OAC=α．
【点睛】
本题综合考查了三角形全等以及三角形外角和定理.
27．（1）y =34-
x +3；（2）y =34x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】
【分析】
（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；
（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；
（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标．
【详解】
解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3，
故A (0，3)，C (4，0)，
设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，
点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：
340b k b =⎧⎨+=⎩解得：343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
所以直线AC 的解析式为：y =34
-x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)，
设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)，
点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：
-340n m n =⎧⎨+=⎩解得：343
m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 所以直线CD 的解析式为：y =34
x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．
（3） 点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值，
由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，
此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边），
此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，
点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：
34
x -3=3， x =8，
故P 点坐标为(8，3)，
||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．
【点睛】
本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．
28．（1）443y x =-
+；（2）612(,)55M ；（3）23(0,)7G 或(0,-1)G 【解析】
【分析】
（1）求出点B ，C 坐标，再利用待定系数法即可解决问题；
（2）结合图形，由S △AMB ＝S △AOB 分析出直线OM 平行于直线AB ，再利用两直线相交建立
方程组求得交点
M 的坐标；
（3）分两种情形：①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．求出Q （n-2，n-1）．②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），代入直线BC 的解析式解方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵直线y=2x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，
∴A （-2，0），B （0，4），，
又∵OC=3，
∴C （3，0），
设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B 、C 的坐标代入得：
304k b b +=⎧⎨=⎩
， 解得：434
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的解析式为443
y x =-
+； （2）连接OM ，
∵S △AMB ＝S △AOB ，
∴直线OM 平行于直线AB ，故设直线OM 解析式为：2y x =,
将直线OM 的解析式与直线BC 的解析式联立得方程组
2443y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩
， 解得：65125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故点612(,)55
M ；
（3）∵FA=FB ，A （-2，0），B （0，4），
∴F （-1，2），设G （0，n ），
①当n ＞2时，如图2-1中，点Q 落在BC 上时，过G 作直线平行于x 轴，过点F ，Q 作该直线的垂线，垂足分别为M ，N ．
∵四边形FGQP 是正方形，易证△FMG ≌△GNQ ，
∴MG=NQ=1，FM=GN=n-2，
∴Q （n-2，n-1），
∵点Q 在直线443y x =-
+上， ∴41(2)43n n -=-
-+， ∴23=7
n , ∴23(0,)7
G ． ②当n ＜2时，如图2-2中，同法可得Q （2-n ，n+1），
∵点Q 在直线443y x =-
+上， ∴4+1(2)43
n n =-
-+， ∴n=-1，
∴(0,-1)G ．
综上所述，满足条件的点G坐标为
23
(0,)
7
G或(0,-1)
G
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
29．（1）20
3
；（2）①t＝
8
3
；②a＝
18
5
；（3）t＝6.4或t＝
10
3
【解析】
【分析】
（1）根据时间＝路程÷速度即可求得答案；
（2）①由题意得：BM＝CN＝3t，则只可以是△CMN≌△BAM，AB＝CM，由此列出方程求解即可；
②由题意得：CN≠BM，则只可以是△CMN≌△BMA，AB＝CN＝12，CM＝BM，进而可得3t＝10，求解即可；
（3）分情况讨论，当△CMN≌△BPM时，BP＝CM，若此时P由A向B运动，则12－2t＝20－3t，但t＝8不符合实际，舍去，若此时P由B向A运动，则2t－12＝20－3t，求得t
＝6.4；当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，可得3t＝10，t＝10
3
，再将t＝
10
3
代入分别求得AP，BP的长及a的值验证即可．【详解】
解：（1）20÷3＝20
3
，
故答案为：20
3
；
（2）∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵△CNM与△ABM全等，
∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，①由题意得：BM＝CN＝3t，
∴△CMN≌△BAM
∴AB＝CM，
∴12＝20－3t，
解得：t＝8
3
；
②由题意得：CN≠BM，
∴△CMN≌△BMA，
∴AB＝CN＝12，CM＝BM，
∴CM＝BM＝1
2 BC，
∴3t＝10，
解得：t＝10 3
∵CN＝at，
∴10
3
a＝12
解得：a＝18
5
；
（3）存在
∵CD∥AB，
∴∠B＝∠DCB，
∵△CNM与△PBM全等，
∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，
当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，
若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，
∴12－2t＝20－3t，
解得：t＝8 (舍去)
若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，
∴2t－12＝20－3t，
解得：t＝6.4，
当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，
∴CM＝BM＝1
2 BC
∴3t＝10，
解得：t＝10 3
当t ＝103时，点P 的路程为AP ＝2t ＝203
， 此时BP ＝AB －AP ＝12－
203＝163， 则CN ＝BP ＝
163 即at ＝
163， ∵t ＝103
， ∴a ＝1.6符合题意
综上所述，满足条件的t 的值有：t ＝6.4或t ＝103
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质的综合运用，解决本题的关键就是用方程思想及分类讨论思想解决问题，把实际问题转化为方程是常用的手段．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；
（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【详解】
证明：（1） ∵FH AG ⊥，
90AEH EAH ∴∠+∠=︒，
90FAC ∠=︒，
90FAH CAD ∴∠+∠=︒，
AFH CAD ∴∠=∠，
在AFH ∆和CAD ∆中，
90AHF ADC AFH CAD
AF AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AFH CAD AAS ∴∆≅∆，
（2）由（1）得AFH CAD ∆≅∆，
FH AD ∴=，
作FK AG
⊥，交AG延长线于点K，如图；
同理得到AEK ABD
∆≅∆，
EK AD
∴=，
FH EK
∴=，
在EKG
∆和FHG
∆中，
90
EKG FHG
EGK FGH
EK FH
∠=∠=︒
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
()
EKG FHG AAS
∴∆≅∆，
EG FG
∴=．即点G是EF的中点．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K字形全等进行证明是解本题的关键．。