Bezier曲线和BSpline曲线的拟合问题
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Bzeier曲线和BS pline曲线
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一、 重述 .................................................. 错误！未定义书签。
二、r曲线 和 ........................ 错误！未定义书签。
r曲线 定义 ............................... 错误！未定义书签。
r曲线 性质 ............................... 错误！未定义书签。
2.3 三次Bezier曲线 .................... 错误！未定义书签。
2.3.1 三次r 算法错误！未
定义书签。
2.3.2 三次r 算法.错误！未定义书签。
2.3.3 两种Bezier算法 ..... 错误！未定义书签。
r曲线 ............................... 错误！未定义书签。
三、n e曲线 和 ...................... 错误！未定义书签。
n e曲线 定义 ............................. 错误！未定义书签。
3.2 B样条性质........................................ 错误！未定义书签。
3.3 均匀B样条......................................... 错误！未定义书签。
3.4 三次B样条 算法.......................... 错误！未定义书签。
3.4 三次样条 算法错误！未定义书签。
3.5 两种BSpline .................... 错误！未定义书签。
四、r曲线与e曲线 区别和联系错误！未定义书签。
1
、 述算法 ........ 错误！未定义书签。
一、 重述
两 两 一 两 两 。
OnGe () 两条 样 样 两条 曲线。
（ ）曲线 4 ：
1、 曲线 两 ；
2、 曲线 性
3、 和 速
4、 曲线
述 。
样、 法 一 （ 曲线） 与 。
。
曲线 。
法 、 、 、样条 。
其 样条 样条 误 样 样条 行。
三次B 样条 不仅运 行速 而且因 其 性 效 平 锯齿状 大大减少 。
B ezie r 曲线和B 样条 。
二、Bezie r 曲线 和
2.1 Bezie r 曲线 定义
【定义1】n 次Bez ier 曲线 由n+1 和 Ber nstei n
曲线 其 ：0()(),[0,1]n
n i i i B t d b
t t ==∈∑ 其 (0,...,)i d i n =
()(1),0,...,n n i i i n b t t t i n i -⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭ Bern
s tein 。
Fig.1 一条三次 Bez ier 曲线 四 。
二次 三次Be zier 曲线 样 计。
Fig.1 三次Bez i er 曲线
2.2 Bezie r 曲线 性质
1、 两 即Beri z e 曲线 0d n d 。
2、Bezie r 曲线 （ ） 形（ 形 形） 第一节（最后一节） 即''011(0)//,(1)//n n B d d B d d -。
3、Bezie r 曲线 线 条 线。
2.3 三次Bez i er 曲线
曲线 样 四 决定一条B e zier 曲线 M (M>4) 计 曲线 性 线 。
2.3.1 三次B ezie r 算法
三次Bez ier 曲线 ：
03133202313313630()()1,[0,1](1)33001000i i i d d B t d b t t t t t d d =--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤==∈⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑
Fig.2 三次Bez i er 曲线 构
【算法一】
Step 1： 样 012,,,...,n P P P P 两 一 11,n P P -+ 别 10011,,...,n n P P P P P P -+ 011,,...,n M M M +。
Step 2： 别 01121,,...,n n M M M M M M + 01,,...,n D D D 。
Step 3： i D i i D P 向移 i P 移 1,i i M M +''1,i i M M +。
Step 4： 不 i P 线 ''1i i M M +''''1i i M M + 且''
'
'110.6i i i i M M M M ++=。
记
''i M 1i P ''1i M + 2i P 。
Step 5： 别 42111,0,1
,...,1i i i i PP P P i n ++=- 照（1） 一条三次 Be z ier 曲线 Be z ier 曲线 一 样 012,,,...,n P P P P 且 一次 。
Fig.3 算法一
2.3.2 三次B ezie r 算法
由 样 误 和 因 一 样 Bez ier 曲线不一定 。
不 一 样 。
算法步骤 ：
【算法二】
Step 1： 样 012,,,...,n P P P P 别 01121,,...,n n P P PP P P - 12,,...,n M M M 。
Step 2： 次 别011222333445,,,...P M PM M P M P PM P M 一条三次
Bez ier 曲线。
次 不 四 1n n P P +=
1n n M P += 四
一条B e zie r 曲线 样 B e zie r 曲线 与两 且 一次 。
Fig.4 算法二
2.3.3 两种Bez i er 算法
1）两种算法 两 且 一次 。
2）算法一 一 样 算法二 一 样 样 。
样误 大 算法二 算法一 不 大。
3） 算法二 算法一 计算量 少 易理解 。
4） 大 由 算法二不 不 不 理 减少 种 。
2.4 Bezie r 曲线
不 曲线 一 样 曲线 样 行。
最 平法逼 。
一 步骤：
样 012,,,...,n P P P P Be z ier 曲线 (),[0,1]Bt t ∈
Step 1： 012,,,...,n P P P P [0,1]区
即 012,,,...,n t t t t [0,1]i t ∈。
法
Step 2： 一 三次 B ez ier 曲线
420(())i i i i P Bt =-∑最 一 B ezi e r 曲
线 。
照 种算法 顶 量 大 计算量 2n 且 解 不 。
三、BSpli n e 曲线 和
3.1 BSpli n e 曲线 定义
【定义2】 定 节 1m +i t 区 [0,1] ：012...m t t t t <<<<。
一 次B 样n 条定义 0
()(),[0,1]m n
i i i S t d b t t ==∈∑。
其 i d ()n i
b t B 样条 定义 ：10111111
1():0():()()j j j j j n n n n j j j j n j j n j t t t b t others t t t t b t b t b t t t t t +++--+++++<<⎧=⎨⎩--=+--
节 称B 样条 均匀节 样条。
Fig.5 B 样条 递推定义
3.2 B 样条性质
1、样条 次 与 顶 关。
2、【定义2】 BSp line 曲线 一 一条n 次 曲线 曲线1m n +- 且曲线 次 1n -。
3、 移 样条曲线 局 。
3.3 均匀B 样条
B 样条 均匀 定 n B 样条 其 样条 平移拷贝而 。
三次均匀B 样条 由 述定义 B 样条曲线 曲线 一 性质 B 样条 一 曲线 形 ：
13223133136301()1,[0,1](2)303061410i i i i i d d S t t t t for t d d +++--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=∈⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
Fig.6 均匀三次B 样条
3.4 三次B 样条 算法
三次B 样条 算法。
【算法三】
（ 样 ）012,,,...,n P P P P n+1 定B 样条
曲线 m +1 记 01,,...,m d d d B 样条 m -2条 记 ：013(),(),...,()m S t S t S t -。
Step 1： 012,,,...,n P P P P 区 [0,1]。
记110,n i i i i i P P S -+=∆=-=
∆∑ ：0010,,1,2,...,j i j j t t i n S
===∆=∑ 记 组01[...]T n
b P P P =。
Step 2： 一 三次B 样条曲线()i S t 记录 曲
线 组 b 末 置 ,i i first end P P 0,1,...,3i m =- 。
Step 3： 一 B 样条曲线 11,,...,,i i i i first first end end P P P P +- [0,1]区 记 11,,...,,(0,1,...,3)i i i i first first end end t t t t i m +-=-。
Step 4：记系 (1)(m+1)n A F +⨯∈ 由(),...,()i i i i
i first first i end end S t P S t P == （2） 系
A 。
记： 32321233
3411()(331),()(364),6611()(3331),()66
f t t t t f t t t f t t t t f t t =-+-+=-+=-+++=
0001234000012341111123411111234123()()()()
()()()()()()()()()()()()()()(first first first first end
end end end first first first first end end end end m m first first fi f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t f t A f t f t f t f t f t f t f t
=41234)()()()()()m m rst first m m m m end end end end f t f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 。
Step 5：记01[...]T m x d d d = 由A x b = 即 01,,...,m d d d 。
即1x A b -=。
（ 1A - 义 法）
Step 6： 一 顶 一条三次 B 样条曲线。
即：310()(),0,1,...,,[0,1]i i j j j S t d
f t i m t ++===∈∑
算法 ： 一
3.4 三次样条 算法
算法三 系 A 大 解 因 样 不 性 一 不 理 法 即 （ 样 ） 三次B 样条曲线 顶 大 计算量。
【算法四】
01,,...,n P P P n+1
B 样条曲线 两 两 别 一 记 11,n P P -+。
样 B
样条 n 条 记 ：011(),(),...,()n S t S t S t -
Step 1： 记101112,2n n n P P P P P P -+-=-=-
Step 2： 一 顶 一条三次 B 样条曲线。
即：3110()(),0,1,...,1,[0,1]i i j j j S t P
f t i n t -++===-∈∑
Fig.7 算法四
3.5 两种BSpl ine
1）两种算法 两 且 二次 。
2）算法四 算法三 计算量 少 算法三 一 样 而算法四 两 。
3） 样误 大算法四 算法三 样 算法三 算法四 。
四、Bezier曲线与BS pline曲线 区别和联系
B样条 法 留Be zier 法 其由 不 局 性质 解决 述 形状 。
样条曲线重节 BSplin e曲线 Bezier曲线。
区别4 ：
1、Bezier曲线 次 顶 减1。
B样条曲线 次 与 顶 关。
2、Bezier曲线 Beinstein 。
B样条曲线
样条。
3、Bezier曲线 一种形 曲线。
B样条曲线 一种 形 样条曲线。
4、Bezier曲线 局 性质 即 一 顶 曲线 。
B样条曲线 性质 即 一 顶 曲线。
、 述算法
四种算法 （ ）效 由 四 且 样 误 定 而算法四因其 计算 性
其 算法。
四种算法 （ ） 。
Fig.8 四种算法 样
Fig.8 看 ：四种算法 。
算法一、三 样 而算法二、四 样。
而 算法二和算法四两种 不。
算法四 算法二 <。
【 】 三次B e zie r曲线和三次B样条曲线 行 曲线
Bezier曲线 一次 而样条曲线 二次 性 。
Bezier曲线 一 4n4n而 BSp line曲线 nn+3即 。
一 B样条曲线 行 。