2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次线上测试数学(文)试题(解析版)

2020届黑龙江省大庆实验中学高三下学期第二次线上测试数
学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}
2
|30M x x x =-+<，{}1,0,1,2N =-，则集
合()U C M N =I （ ） A ．{}1- B ．{}1,0-
C ．{}1,2
D ．{}0,1,2
【答案】D
【解析】首先解出集合N ,再根据补集、交集的定义即可得出答案 【详解】
因为不等式230x x -+<解得3x >或0x <，故
{}{}2|30|03M x x x x x x =-+<=<>或，所以{}0,1,2,3U C M =，则
(){}0,1,2U C M N =I
.
故选:D 【点睛】
本题主要考查了集合的交集与补集，以及一元二次不等式的解法，属于基础题。

2．设复数z 满足|1|z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）
A ．i
B i
C ．1
D ．12i --
【答案】A
【解析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出数复数z ，即可得到答案. 【详解】
复数z 满足|1|z i i =-+，则z i =，
所以复数z i =.
故选：A. 【点睛】
本题考查复数的模、共轭复数的概念，考查运算求解能力.
3．设向量a r ，b r 满足22a b ==r r ，且231a b +=r r ，则向量b r 在向量a r 方向上的投影
为（ ） A ．-2 B ．-1
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】首先把231a b +=r r 两边同时平方，再根据投影的定义即可求出向量b r 在向量a
r 方向上的投影。

【详解】
将231a b +=r r 平方得，2241291a a b b +⋅+=r r r r ，即441291a b ⨯+⋅+=r r
，则
2a b ⋅=-r r ，则向量b r 在向量a r
方向上的投影为212b a a
⋅-==-r r
r .
故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的模，以及投影，即向量b r 在向量a r
方向上的投影为：cos b θ⋅r 。

属于基础题。

4．人体的体质指数（BMI ）的计算公式:2
BMI =体重
身高（体重单位为kg ，身高单位为m ），其判断标准为下表:
某小学生的身高为1.5m ，在一次体检时，医生告诉他属于超标类，则他的体重可能是（ ） A ．72 B ．68
C ．62
D ．50
【答案】C
【解析】根据人体的体质指数的计算公式以及超标时BMI 的值即可排除答案。

【详解】
由题知，体重=身高2BMI ⨯，故小明的体重范围为()2.2524,2.2529.9⨯⨯，即
()54,67.5.
本题主要考查了推理与证明能力以及估算思想，属于基础题。

5．函数23sin ()1
x x
f x x -=
+在[]-，ππ的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】判断函数的奇偶性，取特殊值即可判断. 【详解】 因为2
3sin ()()1
x x
f x f x x --=-=-+，所以函数()f x 为奇函数，故排除A,B 由于2
()01
f π
ππ-=<+ ，排除D 故选C. 【点睛】
本题主要考查了函数图象的识别，一般要结合函数的奇偶性、定义域、单调性、特殊点等综合来判断，属于中档题.
6．在等差数列{}n a 中，若38137a a a ++=，2111414a a a ++=，则8a 和9a 的等比中项为（ ） A ．72
3
±
B ．
2
3
C ．27
3
±
D ．
27
3
【答案】A
【解析】根据等差数列的性质计算出89,a a ，再根据等比中项的定义即可求出答案 【详解】
由题意得：3813837a a a a ++==，所以87
3
a =
，211149314a a a a ++==，所以9143a =
.89989a a ⋅=，所以8a 和9a 的等比中项为723
±
本题主要考查了等差数列的性质（若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+），以及等比中项，属于基础题。

7．某校高二年级四个文科班要举行一轮单循环（每个班均与另外三个班比赛一场）篮球赛，则所有场次中甲､乙两班至少有一个班参加的概率是（ ） A ．
1
3
B ．
12
C ．
23
D ．
56
【答案】D
【解析】首先列出所有比赛的场次，再找出甲､乙两班至少有一个班参加比赛的次数。

【详解】
所有比赛的场次有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共六种可能，至少含有甲乙两班中的一个班的有5种情况，概率为56
故选D. 【点睛】
本题考查了概率中简单的组合问题，属于基础题。

8．已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F P 是抛物线C 的准线上一点，且P 的纵坐标为
正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =u u u v u u u v
，则直线PF 的方程为
（ ）
A ．0y -=
B ．10x y +-=
C ．10x y --=
D 0y +=
【答案】D
【解析】根据抛物线的定义求得直线PF 的倾斜角与斜率即可. 【详解】
作QM y ⊥轴于M ,则根据抛物线的定义有QM QF =.又2PQ QF =u u u r u u u r ,故
2PQ QM =,故1cos 2MQ PQM PQ ∠=
=.故3
PQM π∠=,故直线PF 的倾斜角为23π
.
故直线PF 的斜率为直线PF 的方程为)1y x =-,0y +-=.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义应用,需要作出辅助线求得直线的倾斜角与斜率,进而求得方程.属于基础题型.
9．已知如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -中棱1AA ，AB ，
BC ，11C D 的中点，则（ ）
A ．2GH EF =，且直线EF ，GH 是相交直线
B ．2GH EF =，且直线EF ，GH 是异面直线
C ．2GH EF ≠，且直线EF ，GH 是相交直线
D ．2GH EF ≠，且直线EF ，GH 是异面直线 【答案】C
【解析】利用特殊值法，设正方体的棱长为2即可计算出相应的长度，再根据正方体的性质即可得出答案。

【详解】
设正方体的棱长为2，则11
22
EF A B =
=，226GH GC CH =+=2GH EF ≠，
设M ，N 分别为1CC 和11A D 的中点，则六边形EFGMHN 是过EFGH 四点的平面截正方体的截面，所以EF 与GH 是共面直线，且EF 与GH 不平行，所以
EF 与GH 是相交直线.
故选C. 【点睛】
本题主要考查了正方体简单的几何性质，属于基础题。

10．已知cos 4x π⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭sin cos y y +=，且042y x ππ<<<<，则()cos x y +=（ ）
A B C D 【答案】C
【解析】利用辅助角公式化简sin cos 4y y y π⎛
⎫+=
+ ⎪⎝
⎭，即可得出
4sin 45y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而得出3cos 45y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据cos 410x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭计算出
sin 410x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，利用 ()cos cos 44x y x y ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可计算出答案。

【详解】
由题意得sin cos 45y y y π⎛
⎫+=
+=
⎪⎝
⎭，所以4sin 45y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为
042
y x π
π
<<
<<
，所以04
4
x π
π
<-
<
，所以sin 410
x π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭，442y πππ<+<，所以3
cos 45
y π⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭，所以
()cos cos 44x y x y ππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦3410510510=⋅-⋅=
故选C. 【点睛】
本题主要考查了辅助角公式以及以及两角和的余弦，属于常考题。

11．已知函数()g x 是R 上的奇函数．当0x <时，()()ln 1g x x =--，且
()()2
,0,0
x x f x g x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()2
2f x f x ->，则实数x 的取值范围为（ ）
A ．()1,2-
B ．()1,2
C ．()2,1--
D ．()2,1-
【答案】D
【解析】根据奇偶性可求得()g x 在0x >时的解析式，由此可确定()f x 的单调性，利用单调性可将所求不等式化为22x x ->，解一元二次不等式求得结果. 【详解】
当0x >时，0x -<，()()ln 1g x x ∴-=-+，
()g x Q 为R 上的奇函数，()()()()ln 10g x g x x x ∴=--=+>，
()()2,0
ln 1,0x x f x x x ⎧-≤⎪∴=⎨+>⎪⎩
，
2y x =-Q 在(],0-∞上单调递增，()ln 1y x =+在()0,∞+上单调递增，
且当0x =时，()2ln 1x x -=+，()f x ∴在R 上单调递增，
∴由()
()22f x f x ->得：22x x ->，即220x x +-<，解得：21x -<<， ∴实数x 的取值范围为()2,1-.
故选：D . 【点睛】
本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.
12．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
()
sin sin sin sin c B C b B a A -=-，点P 为BC 的中点，若ABC ∆的面积为则
AP 的最小值为（ ）
A B ．3
C ．
D ．9
【答案】B
【解析】利用正弦定理得222bc c b a -=-，再结合余弦定理即可得出角A,再根据面积公式结合平行四边形的性质即可得出答案。

【详解】
因为()sin sin sin sin c B C b B a A -=-，由正弦定理得222bc c b a -=-，所以
2221
cos 22b c a
A bc +-==，所以3
A π=，又因为ABC ∆的面积为33，所以
12AB AC ⋅=，
延长AP 至D ，使AP PD =，则ABDC 是平行四边形，23
ACD π
∠=，所以
22112cos 22AP AD AC CD AC CD ACD =
=+-⋅∠2212
AC CD AC CD =++⋅，又因为22336AC CD AC CD AC CD ++⋅≥⋅=，所以3AP ≥，当23AB AC ==时等号成立. 故选B.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于常考题型。

二、填空题
13．直线y =x +1是曲线f （x ）=x +1
alnx x
-（a ∈R ）的切线，则a 的值是______． 【答案】1-
【解析】设切点的横坐标为0x ，求出导函数，利用直线1y x =+与曲线()y f x =相切，转化求解切点横坐标以及a 的值即可． 【详解】
解：设切点的横坐标为0x ，
()2022
1111
'11a x ax f x x a x x x a x --=--==⇒=-⇒-=， 则有：()0000000
1
110f x x alnx x lnx x x =+
-=+⇒-+=， 令()()1
1'101h x lnx x h x x x
=-+⇒=
-=⇒=， 则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减， 又因为()10h =，所以011x a =⇒=-；
故答案为1-． 【点睛】
本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法.考查转化思想以及计算能力． 14．设变量满足约束条件
，则
的最大值是________．
【答案】8
【解析】由约束条件作出可行域，将目标函数去绝对值后化为直线方程的斜
截式，结合可行域求出最大值． 【详解】
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，令
，可得
，平移直线
，由图象可得，当直线经过可行域内的点
时，直线在轴上的截距最小，
此时取得最大值，且
，当直线经过可行内的点
时，直线在
轴上的截距最大，此时取得最小值，且
，所以
，故
，因此的最大值为8.
故答案为8.
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．
15．已知函数()3)cos()f x x x ωϕωϕ=+-+，0>ω，0ϕπ<<为偶函数，
且其图像的两条对称轴的距离为
2π
，则8f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为_______． 2
【解析】由题意利用两角和差的正弦函数，诱导公式，求出ϕ的值，再利用正弦函数的图象和性质，求得w 的值，得出函数的解析式，从而求解()8
f π-的值.
【详解】
因为函数())cos()2sin()6
f x x x wx π
ωϕωϕϕ=+-+=+-为偶函数，
所以,62k k Z ππ
ϕπ-
=+
∈，令0k =，可得23
ϕπ=
，
根据其图象的两条相邻对对称轴间的距离为2
π，可得1222w ππ
⋅
=，所以2w =， 所以()2sin(2)2cos 22
f x x x π
=+=，所以
()2cos[2()]2cos 884
f πππ
-=⨯-==，
. 【点睛】
本题主要考查了两角和与差的正弦公式、诱导公式，正弦函数的图象与性质的综合应用，其中熟记三角函数的恒等变换和三角函数的图象与性质是解答的关键，着重靠考查了推理与运算能力.
16．已知双曲线()2
2
210y x b b
-=>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线
交于A ，B 两点.若1ABF ∆为等边三角形，则b 的值为______.
【解析】由于原题中未明确说明过2F 直线与哪支交于两点，因此分两种情况讨论，利用双曲线的定义结合余弦定理即可得出答案。

【详解】
原题中未明确说明过2F 直线与哪支交于两点，分两种情况讨论，如图:图1中，AB 为
通径，则22b AF a =，1230AF F ∠=︒，则2
12b AF a
=，则
222
1222b b b AF AF a a a a -=-==，则b =2中，11AF BF AB ==，则
2122AF AF BF a -==，则114BF AF AB a ===，160BAF ∠=︒，122F F c =，对
12AF F ∆使用余弦定理得，222
12121212
cos 2AF AF F F F AF AF AF +-=⨯，则2277c a ==，26b =，
b .
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义以及余弦定理，属于中等题。

三、解答题
17．如图,在五面体ABCDEF 中,四边形CDEF 为矩形, AD CD ⊥.
(1)证明: AB ⊥平面ADF ；
(2)连接BD ,BF ,若二面角F CD A --的大小为120,222AD AB DF ===,求三棱锥
F ABD -的体积.
【答案】（1）见解析（2）3
6
F ABD V -=
三棱锥【解析】（1）由题意，先证明CD ⊥平面ADF ，再证明//,EF CD 且//EF AB ，最后得到AB ⊥平面ADF ； （2）先求出1
sin 2
ADF S DA DF ADF ∆=
⋅⋅∠， 再利用等积法求出：1
3
ADF F ABD B ADF V V S AB ∆--==⋅三棱锥三棱锥，最后代入求解即可 【详解】
解：（1）证明：因为CD AD ⊥，CD DF ⊥，AD DF D ⋂=， 所以CD ⊥平面ADF ,
因为四边形CDFE 为矩形，所以//EF CD . 又EF ⊄平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD , 所以//EF 平面ABCD .
因为//EF 平面ABCD ,EF ⊂平面ABEF ,平面ABEF I 平面ABCD AB =,
所以//EF AB ,
又//,EF CD 所以//,CD AB
又CD ⊥平面ADF ,所以AB ⊥平面ADF ,
（2）因为CD AD ⊥，CD DF ⊥，所以ADF ∠即为二面角A CD F --的平面角， 所以120ADF ∠=o .
1133
sin 212222
ADF S DA DF ADF ∆=
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=
. 于是1133
13326
ADF F ABD B ADF V V S AB ∆--==⋅=⨯⨯=
三棱锥三棱锥. 【点睛】
本题考查线面垂直，线线平行，以及利用等积法求体积. 18．（本小题满分12分）
“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高）．现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组，第一组： [)20,25，第二组： [)25,30，第三组： [)30,35，第四组： [)35,40，第五组： [)40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．
（1）求x ；
（2）求抽取的人的年龄的中位数（结果保留整数）；
（3）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户 五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1～5组的成绩分别为93，98，94，95，90．
（Ⅰ）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
（Ⅱ）以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度． 【答案】（1）120；（2）32；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图求出第一组频率，由此能求出x ；（2）设中位数为a ，则()0.0150.075300.060.5a ⨯+⨯+-⨯=，由此能求出中位数；（3）①利用平均数公式和方差公式能分别求出5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好. 试题解析：（1）根据频率分布直方图得第一组频率为
， 6
0.05x
∴
=，120x ∴=．
（2）设中位数为a ，则()0.0150.075300.060.5a ⨯+⨯+-⨯=， 95
323
a ∴=≈，中位数为32．
（3）（i ）5个年龄组的平均数为()11
9396979490945
x =
++++=，方差为()()22
2222111230465s ⎡⎤=-++++-=⎣
⎦．5个职业组的平均数为
，方差为()()222222
2114014 6.85
s ⎡⎤=-++++-=⎣⎦．
（ii ）评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11
2
a =
，1n n S a +=，*n N ∈，数列{}n b 满足11b =，对于*,m n N ∀∈，都有m n m n b b b +=+.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）n a =12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，n b =n （2）()1222n
n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
【解析】（1）根据1n n n a S S -=-即可求出n a ，令1m =，有111n n b b b +-==，则{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，从而即可求出n b 。

（2）利用错位相减即可得出答案 【详解】 （1）由112a =
，1n n S a +=，*n N ∈，则当1n =时，11121S a a +==，∴112
a =，当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---，
∴112
n n a a -=，
∴{}n a 是以1
2为首项，
12为公比的等比数列，
∴1
111222n n
n a -⎛⎫
⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，
由*,m n N ∀∈，
都有m n m n b b b +=+，令1m =，有111n n b b b +-==，∴{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，∴()111n b n n =+-⨯=.
（2）由（1）得12n
n n n c a b n ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭
，所以 ()123111111
123122222n n n
T n n -=⋅
+⋅+⋅-⋅+⋅L ()23411111111231222222
n n n T n n +=⋅+⋅+⋅-⋅+⋅L 有-得2111111
11122222n n n T n +=⋅+⋅+⋅-⋅L
所以()1222n
n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查了数列通项的求法，以及错位相减法求数列的前n 项和，属于常考题。

20．已知函数2
1()ln ()2
f x x ax x a R =
-+∈. （1）若()f x 在定义域上不单调，求a 的取值范围；
（2）设1,,a e m n e
<+分别是()f x 的极大值和极小值，且S m n =-，求S 的取值范围.
【答案】(1)()2,+∞；(2)422
410,2e e e ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
. 【解析】分析：（1）利用导数法求出函数 ()f x 单调递增或单调递减时，参数 a 的取值范围为2a ≤，则可知函数()f x 在定义域上不单调时，a 的取值范围为2a > ；（2）易知2a > ，设()0f x '= 的两个根为1212,()x x x x < ，并表示出,m n ，则
1212121()ln 2x x
x S x x x =--+，令12x t x =，则11()ln 2S t t t
=--+，再利用导数法求S 的
取值范围. 详解：
由已知()()1
0,f x x a x a R x
=+
->∈'， （1）①若()f x 在定义域上单调递增，则()0f x '≥，即1
a x x
≤+
在()0,+∞上恒成立，
而[)1
2,x x
+
∈+∞，所以2a ≤； ②若()f x 在定义域上单调递减，则()0f x '≤，即1
a x x
≥+在()0,+∞上恒成立， 而[)1
2,x x
+
∈+∞，所以a ∈∅. 因为()f x 在定义域上不单调，所以2a >，即()2,a ∈+∞.
（2）由（1）知，欲使()f x 在()0,+∞有极大值和极小值，必须2a >. 又1a e e <+
，所以12a e e
<<+. 令()211
0x ax f x x a x x
-+=+-=='的两根分别为1x ，2x ，
即210x ax -+=的两根分别为1x ，2x ，于是12121
x x a
x x +=⎧⎨=⎩.
不妨设1201x x <<<，
则()f x 在()10,x 上单调递增，在[]
12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增， 所以()1m f x =，()2n f x =， 所以()()221211122211ln ln 22S m n f x f x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫=-=-=-+--+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()
()()22
1212121ln ln 2
x x a x x x x =
---+- ()22
22
1121121122122212
111ln ln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-⨯+=--+ ⎪⎝⎭.
令()120,1x t x =
∈，于是11ln 2S t t t ⎛⎫
=--+ ⎪⎝⎭
， ()2
22
121222122121221122,x x x x x x t a e t x x x x e +-+⎛
⎫+===-∈+ ⎪⎝
⎭， 由2
211t e t
e +<+
，得22
1
t e e
<<， 又01t <<，所以21
1t e
<<.
因为2
21111111022S t t t ⎛⎫⎛⎫
=-++=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
'，
所以111ln 2S t t ⎛⎫=-
-+ ⎪⎝⎭在21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，
所以422
410,2e e S e ⎛⎫
--∈ ⎪⎝⎭
. 点睛：导数问题一直是高考数学的重点内容也是难点内容，要注意研究函数的单调性，有时需要构造相关函数，将问题转化为求函数的值域问题，本题中的第一问，采用了“正难则反”的策略，简化了解题，在解决第二问换元时，要注意表明新元t 的取值范围. 21．已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x
C 上的点到两个焦点的距离之和为4. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过原点且与l 平行的直线与椭圆交于点P .求
PAN PAM
AOP
S S S ∆∆∆⋅的值.
【答案】（1）2214
x y +=（2）
2PAN PAM AOP S S S ∆∆∆⋅= 【解析】（1）由离心率，结合,,a b c 之间关系，可得椭圆的方程.
（2）分别假设直线AM ，直线OP 的方程，并与椭圆方程联立，可得,,AM AN OP 长度，并找到三者之间的关系，结合三角形面积公式可得结果. 【详解】
（1）设椭圆C 的标准方程为22
221x y a b
+=()0a b >>，
由题意知222
224a b c c
a a ⎧=+⎪
⎪=⎨⎪
=⎪⎩
解得21a b =⎧⎨=⎩， 所以椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=
（2）设过原点且与l 平行的直线和l 距离为d ，
则
22
11
2212PAN PAM AOP
AN d AM d AN AM S S S OP OP d ∆∆∆⋅⋅⋅⋅⋅==⎛⎫
⋅ ⎪⎝⎭
设直线AM 的方程为()2y k x =+，
直线OP 的方程为y kx =，则()0,2N k ，
由()22
2,
44
y k x x y ⎧=+⎨
+=⎩得(
)2
2
2214161640k
x
k x k +++-=
易知()2,0A -，设()11,M x y ， 则2-，1x 是方程（1）的两个根，
所以2
12
2814k x k -=+，所以222284,1414k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，
AM =则
2
14AM k =
=+
又AN =
=
所以()222811414k AM AN k k
+⋅==++ 由22
,44
y kx x y =⎧⎨
+=⎩得()22
1440k x +-=. 设()00,P x y ，
则20
2414x k =+，22
02414k y k =+，所以222
4414k OP k
+=+， 所以2
2AM AN OP ⋅=，
2PAN PAM
AOP
S S S ∆∆∆⋅= 【点睛】
本题考查椭圆的方程以及直线与直线间的距离，还考查了直线于椭圆的几何关系，对这种题型重在于联立方程，更多会使用到韦达定理，并考验计算能力，属难题.
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x t
y t =-⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ． （1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程；
（2）若射线π
(0)2
θαα=<<
与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （与原点不重合），求
||
||
ON OM 的最大值. 【答案】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=.2C 的极坐标方程为
8cos ρθ=
（21
【解析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程； （2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果． 【详解】
（1）消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，
由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=， 故4
cos sin ρθθ
=
+．
由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =， 设(),Q ρθ，则,4P ρθ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由点P 是曲线1C 上的动点，可得
2cos 4
ρ
θ=，即8cos ρθ=，
所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．
（2）因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4
cos sin ρθθ
=+，8cos ρθ=，
所以4
cos sin OM αα
=
+，||8cos ON α=，
所以
()||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα⎛
⎫=+=++=+ ⎪⎝
⎭，
所以当π
8
α=时，||||ON OM 1．
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．
23．已知函数()211f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≥；
（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求
222a b c ++的最小值.
【答案】（Ⅰ）{}
11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）
9
14
. 【解析】（Ⅰ）先将函数()211f x x x =-++写成分段函数的形式，再由分类讨论的方法，即可得出结果；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到m ，再由柯西不等式得到
2222222()(123)(23)a b c a b c ++++≥++，进而可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意， 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧
⎪-≤-⎪
⎪
=--<<⎨
⎪
⎪≥⎪⎩
， 所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧
-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233
x x ⎧≥⎪
⎨⎪≥⎩.
解得：1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}
11x x x ≤-≥或； （Ⅱ）由(1)可知,当12
x =时, ()f x 取得最小值32,
所以3
2
m =
，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2
2
2
2
2
2
2
()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得2
2
2
914
a b c ++≥， 当且仅当
123
a b c ==时, 即369
,,141414a b c ===时等号成立.
所以222a b c ++的最小值为9
14
.
【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及柯西不等式的应用，熟记不等式解法以及柯西不等式即可，属于常考题型.。