高二数学下学期期中试卷理(含解析)(2021年整理)

2016—2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科)
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中,只有一个选型是符合题目要求的）
1．设复数z满足iz=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角,则∠A和∠B都是锐角”的过程中,应该假设（）
A．∠A和∠B都不是锐角 B．∠A和∠B不都是锐角
C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角
3．A﹣C等于（）
A．0 B．﹣10 C．10 D．﹣40
4．已知a,b,c∈R，c≠0，n∈N*，下列使用类比推理恰当的是( )
A．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0,则a=b”
B．“（ab）n=a n b n”类比推出“(a+b）n=a n+b n”
C．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“（a•b）•c=ac•bc"
D．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“=+”
5．已知函数f（x)=6﹣x3，g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为( ）
A．f′(x）=6﹣3x2,g′（x)=e x B．f′(x）=﹣3x2，g′（x）=e x﹣1
C．f′（x）=﹣3x2,g′（x）=e x D．f′（x）=6﹣3x2,g′(x）=e x﹣1
6．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起,则不同的排法种数为( ）A．24 B．72 C．144 D．288
7．函数f(x）=lnx﹣4x+1的递增区间为( )
A．（0,) B．（0，4）C．（﹣∞，）D．（，+∞）
8．已知函数f（x)=cos（3x+），则f′（）等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是（）
A．（，］B．［，］C．[，π)D．[0，）∪［，π）10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如121，666,54345等,则在所有的六位数中，不同的“对称数”的个数是（）
A．100 B．900 C．999 D．1000
11．若函数f（x）=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣3
12．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2,n)可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n的取值范围是（）
A．(﹣5，﹣4）B．（﹣5,0）C．(﹣4，0）D．（﹣5，﹣3］
二、填空题（共4小题，每小题5分,满分20分，把答案填在答题卡中的横线上）
13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i,则｜z|= ．
14．已知函数f(x）=e x+x2﹣ex，则f′(1）= ．
15．若m为正整数，则x（x+sin2mx）dx= ．
16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品,需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度(单位:℃）为f(x）=x2﹣7x+15（0≤x≤8），则在第1h时，原油温度的瞬时变化率为℃/h．
三、解答题(共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算定积分：
（1）dx
（2)4cosxdx．
18．已知函数f（x)=（2x﹣1）2+5x
(1）求f′（x）
（2）求曲线y=f（x)在点（2，19）处的切线方程．
19．已知函数f(x）=xe x+5．
（1)求f（x）的单调区间;
（2)求f（x）在[0,1］上的值域．
20．设(2x﹣1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
(1）求a2的值
（2）求（a0+a2+a4）2﹣(a1+a3)2的值．
21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2)一所学校去4个人，另一所学校去2个人，剩下的一个学校去1个人,有多少种不同的分配方案？
22．设函数，其中a＞0．
（1)若直线y=m与函数f（x）的图象在(0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；
（2)若f（x)≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
2016—2017学年辽宁省葫芦岛市协作体高二（下）期中数学试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选型是符合题目要求的)
1．设复数z满足iz=1+2i,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于（)
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，再求出的坐标得答案．
【解答】解：由iz=1+2i，得z=，
∴,
则在复平面内对应的点的坐标为(2，1）,位于第一象限．
故选：A．
2．在用反证法证明“在△ABC中，若∠C是直角，则∠A和∠B都是锐角"的过程中，应该假设（）
A．∠A和∠B都不是锐角 B．∠A和∠B不都是锐角
C．∠A和∠B都是钝角D．∠A和∠B都是直角
【考点】R9：反证法与放缩法．
【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设命题的反面成立，求出要证明题的否定，即为所求．
【解答】解:用反证法证明数学命题时,应先假设命题的反面成立，
而命题：“∠A和∠B都是锐角”的否定是∠A和∠B不都是锐角，
故选：B．
3．A﹣C等于( ）
A．0 B．﹣10 C．10 D．﹣40
【考点】D4:排列及排列数公式；D5：组合及组合数公式．
【分析】利用排列组合数的计算公式即可得出．
【解答】解：原式=A﹣
==10．
故选：C．
4．已知a,b，c∈R,c≠0，n∈N＊,下列使用类比推理恰当的是（）
A．“若a•5=b•5，则a=b”类比推出“若a•0=b•0，则a=b"
B．“（ab）n=a n b n”类比推出“（a+b）n=a n+b n"
C．“（a+b）•c=ac+bc"类比推出“（a•b）•c=ac•bc”
D．“（a+b）•c=ac+bc”类比推出“=+”
【考点】F3：类比推理．
【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义,即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．【解答】解:对于A：“若a•5=b•5,则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，
对于B:“(ab）n=a n b n”类推出“（a+b）n=a n+b n”是错误的,如（1+1)2=12+12
对于C：“若（a+b）c=ac+bc"类推出“(a•b）c=ac•bc”,类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，
对于D：将乘法类推除法，即由“(a+b)c=ac+bc”类推出“=+"是正确的,
故选：D．
5．已知函数f（x）=6﹣x3,g（x）=e x﹣1，则这两个函数的导函数分别为（）
A．f′（x）=6﹣3x2，g′(x）=e x B．f′（x）=﹣3x2,g′（x)=e x﹣1
C．f′（x)=﹣3x2，g′（x）=e x D．f′（x)=6﹣3x2，g′（x）=e x﹣1
【考点】63：导数的运算．
【分析】根据导数的运算法则求导即可．
【解答】解:f′（x）=﹣3x2，g′(x)=e x，
故选:C
6．有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为（) A．24 B．72 C．144 D．288
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，分2步进行分析：①、用捆绑法将甲、乙、丙三人看成一个整体,并考虑三人之间的顺序，②、将这个整体与其他三人全排列，求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解:根据题意，分2步进行分析：
①、要求甲、乙、丙三人站在一起，将3人看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有A33=6种情况，
②、将这个整体与其他三人全排列，有A44=24种不同顺序，
则不同的排法种数为6×24=144种；
故选：C．
7．函数f（x）=lnx﹣4x+1的递增区间为（）
A．（0，）B．（0，4) C．（﹣∞,）D．(，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求函数的定义域，然后求函数f（x）的导数，令导函数大于0求出x的范围与定义域求交集即可．
【解答】解：∵f（x）=lnx﹣4x+1定义域是{x|x＞0}
∵f'(x)=﹣4=
当f’（x)＞0时，0＜x＜
故选：A
8．已知函数f(x）=cos(3x+），则f′(）等于( )
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】63：导数的运算．
【分析】利用复合函数的导数运算法则即可得出．
【解答】解：f′（x）=﹣3sin(3x+），
∴f′(）=﹣3sin（）=﹣,
故选：D．
9．设P是曲线y=x﹣x2﹣lnx上的一个动点，记此曲线在点P点处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是( ）
A．(，] B．[，］C．[，π)D．［0，）∪［，π）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，利用基本不等式求出导函数的值域，结合直线的斜率是直线倾斜角的正切值求解．
【解答】解：由y=x﹣x2﹣lnx，得y′=1﹣x﹣（x＞0），
∵1﹣x﹣=1﹣（x+），
当且仅当x=1时上式“=”成立．
∴y′≤﹣1，即曲线在点P点处的切线的斜率小于等于﹣1．
则tanθ≤﹣1，
又θ∈［0,π），
∴θ∈(]．
故选：A．
10．“对称数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如121，666,54345等,则在所有的六位数中，不同的“对称数"的个数是（)
A．100 B．900 C．999 D．1000
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】根据题意，对6位对称数，由于个位和十万位相同,十位和万位相同，百位和千位相同,个位有9种，十位和百位均有10种,由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意,对6位对称数,由于个位和十万位相同，十位和万位相同，百位和千位相同,
个位有9种，十位和百位均有10种，故根据分步计数原理可得共有9×10×10=900
故选:B．
11．若函数f（x)=x2+2x﹣3lnx+4a的极小值为﹣，则a的值为（）
A．﹣2 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣3
【考点】6D:利用导数研究函数的极值．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值，求出a的值即可．
【解答】解：函数的定义域为：x＞0；f′(x）=x+2﹣,
令f′（x）＞0，解得:1＜x，
令f′(x）＜0，解得：0＜x＜1，
故f(x）在（0,1)递减,在（1，+∞）递增，
∴f（x)极小值=f(1）==，解得:a=﹣1，
故选:B．
12．设函数f（x）=x3﹣3x2，若过点（2，n)可作三条直线与曲线y=f（x）相切，则实数n的取值范围是（)
A．（﹣5,﹣4）B．（﹣5，0) C．（﹣4，0）D．（﹣5，﹣3]
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设出切点坐标(），求出原函数的导函数，写出切线方程,把点（2，n）代入切线方程，整理得到．令g(x)=2x3﹣9x2
+12x，利用导数求其极大值为g（1）=5；极小值为g（2）=4．再由4＜﹣n＜5求得n的范围．
【解答】解：f（x）=x3﹣3x2，则f′（x）=3x2﹣6x，
设切点为（），则．
∴过切点处的切线方程为，
把点(2，n)代入得：．
整理得:．
若过点（2,n）可作三条直线与曲线y=f（x）相切,则方程有三个不同根．
令g（x)=2x3﹣9x2+12x，
则g′(x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1)（x﹣2)，
∴当x∈(﹣∞，1）∪(2，+∞)时，g′(x)＞0；当x∈（1，2）时，g′(x）＜0，
∴g(x）的单调增区间为(﹣∞，1)，(2,+∞）；单调减区间为（1，2）．
∴当x=1时，g（x）有极大值为g（1)=5；当x=2时,g（x）有极小值为g(2）=4．
由4＜﹣n＜5，得﹣5＜n＜﹣4．
∴实数n的取值范围是（﹣5，﹣4)．
故选：A．
二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分,把答案填在答题卡中的横线上)
13．若复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i,则｜z｜= 5 ．
【考点】A8：复数求模．
【分析】先求出z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，由此能求出｜z｜．
【解答】解：∵复数z满足﹣7﹣6i+z=﹣4﹣2i,
∴z=﹣4﹣2i+7+6i=3+4i，
∴｜z｜==5．
故答案为：5．
14．已知函数f（x）=e x+x2﹣ex，则f′（1）= 2 ．
【考点】63:导数的运算．
【分析】根据函数的导数公式直接求导即可．
【解答】解:函数的导数为f′（x）=e x+2x﹣e，
则f′(1）=e+2﹣e=2，
故答案为：2
15．若m为正整数,则x（x+sin2mx)dx= ．
【考点】67：定积分．
【分析】将被积函数变形，两条定积分的可加性以及微积分基本定理求值．
【解答】解：m为正整数，则x（x+sin2mx)dx=(x2+xsin2mx）dx=2+=2×+0=；
故答案为：．
16．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品,需要对原油进行冷却和加热，若在第xh时，原油的温度（单位：℃）为f（x)=x2﹣7x+15(0≤x≤8)，则在第1h时,原油温度的瞬时变化率为﹣5 ℃/h．
【考点】61:变化的快慢与变化率．
【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用导数法可求变化的快慢与变化率．
【解答】解：由题意，f′（x）=2x﹣7,
当x=1时,f′（1）=2×1﹣7=﹣5，即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h．
故答案为：﹣5
三、解答题(共6小题,满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．计算定积分：
（1)dx
（2)4cosxdx．
【考点】67：定积分．
【分析】利用微积分基本定理，分别求出被积函数的原函数，代入积分上限和下限求值．【解答】解：(1）dx=lnx|=ln2﹣ln1=ln2；
（2)4cosxdx=4sinx｜=4sin=2．
18．已知函数f（x）=（2x﹣1)2+5x
(1）求f′（x）
（2）求曲线y=f(x）在点（2,19）处的切线方程．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）根据求导公式求出f（x）的导数即可;
(2）求出切线的斜率f′（2）,从而求出切线方程即可．
【解答】解：(1）f′（x)=4（2x﹣1）+5=8x+1；
（2）f′（2）=17，
故切线方程是：y﹣19=17(x﹣2），
即17x﹣y﹣15=0．
19．已知函数f（x)=xe x+5．
（1）求f（x)的单调区间；
（2）求f（x）在[0，1］上的值域．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x)的最大值和最小值，从而求出f（x）在［0,1］上的值域即可．
【解答】解：（1）f′（x）=(x+1）e x，
令f′（x）=0得x=﹣1，
令f′（x）＞0得x＞﹣1，
∴f（x）的增区间为(﹣1，+∞）．
令f′（x)＜0得x＜﹣1，
∴f（x）的减区间为（﹣∞，﹣1)．
(2）当时x∈［0,1]，f′（x)＞0，
∴f（x）在[0，1]上递增，
∴f(x）min=f（0）=5，f（x)max=f(0）=e+5，
∴f（x）在［0，1］上的值域为［5,e+5]．
20．设(2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4
(1）求a2的值
(2）求（a0+a2+a4)2﹣(a1+a3）2的值．
【考点】DB：二项式系数的性质．
【分析】(1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得:48（2x﹣1)2=2a2+6a3x+12，令x=0,可得a2．
（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，分别令x=1，x=﹣1，可得:a0+a1+a2+a3+a4=1，a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，代入（a0+a2+a4)2﹣（a1+a3）2=(a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）即可得出．
【解答】解：(1）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，两次求导可得：
48（2x﹣1）2=2a2+6a3x+12，令x=0，可得a2=24．
（2）对（2x﹣1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，
分别令x=1，x=﹣1,可得：a0+a1+a2+a3+a4=1,a0﹣a1+a2﹣a3+a4=34，
∴（a0+a2+a4)2﹣（a1+a3）2=（a0+a1+a2+a3+a4）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4）=34=81．
21．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教
（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校去4个人，另一所学校去2个人,剩下的一个学校去1个人，有多少种不同的分配方案？
【考点】D8：排列、组合的实际应用．
【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①、在7人中选出4人，将其分到甲学校,②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，③、将剩下的1人分到丙学校,分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；
（2）分2步进行分析:①、将7人分成3组，人数依次为4、2、1，②、将分好的三组全排列,对应3个学校，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：
①、在7人中选出4人，将其分到甲学校，有C74=35种选法；
②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙学校，有C32=3种选法；
③、将剩下的1人分到丙学校,有1种情况，
则一共有35×3=105种分配方案;
（2)根据题意，分2步进行分析:
①、将7人分成3组,人数依次为4、2、1,有C74×C32×C11=105种分组方法,
②、将分好的三组全排列，对应3个学校，有A33=6种情况,
则一共有105×6=630种分配方案．
22．设函数，其中a＞0．
（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点,求m的取值范围；
（2）若f(x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）利用分段函数，当x＞0时,f'(x）=3x2﹣2x,判断函数的单调性以及函数的极值，推出m的范围．
(2）当x≤0时，求出函数的导函数f’（x)=a（x+1）e x，通过a＜0，求解函数的单调性以及极值，推出a＞0,利用函数的极值推出a的范围．
【解答】解：（1）当x＞0时，f’（x）=3x2﹣2x，
令f'（x)=0时得；令f'(x)＞0得递增；
令f'（x)＜0得0，f（x)递减，
∴f（x)在处取得极小值，且极小值为，
∵f（0）=0，f（2）=4，
所以由数形结合可得0≤m≤4或．
（2）当x≤0时，f’（x）=a（x+1）e x，a＜0,令f'（x)=0得x=﹣1;令f'（x）＞0得﹣1＜x≤0，f（x）递增；
令f’（x）＜0得x＜﹣1，f（x）递减．∴f（x）在x=﹣1处取得极小值，且极小值为．
∴a＞0,∴，因为当即时，,∴,∴．
当即时,,∴，即a≥0，∴．
综上，．。