人教版九上数学22.y=a(x-h)2k的图象和性质课件

(1) y=(x-3)2+2 (2)y=(x+4)2－5
2.与抛物线y=－4x 2形状相同， 顶点为（2，-3）的抛物线 解析式为_y_=__-_4_(_x_-2_)_2_-3_或__y_=__4_(_x_-2_)_2_-3
函数y= (x+1)2-9的图象
y 1
是 称轴是
，开口 ，对 ，顶点坐标是
10.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-2_时，y=0； 当x<－2或x>0时， y__<___0； 当x在－_2_<__x_<0范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
3
各种情势的二次函数的关系
左 y = a( x - h )2 + k 上
左
右
下
加
平 移
平 移
练习3
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=__________
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），
求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位
得到的抛物线是
。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是
。
练习4:
一条抛物线的形状与抛物线 y 3x2
右 减
y = ax2 + k
y = a(x - h )2 上
加
下Hale Waihona Puke 上下平移 y = ax2 左右平移
减
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状 相同，位置不同。∣a∣越大开口越小。
小练习:
抛物线
y 1 x2 2
y 5x2 2
开口方 向
开口向上
开口向上
对称轴 顶点坐标
直线x=0 直线x=0
2) y=4(x-3)2+7
3) y=-3(x-1)2-2
4) y=-5(x+2)2-6
练习2:对称轴是直线x= -2的抛物线是(C )
A y= -2x2-2
B y=2x2-2
C y= -2(x+2)2-2 D y= -5(x-2)2-6
1、试分别说明将抛物线的图象通过怎 样的平移得到y=x2的图象：
向上 直线x=－3 (－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向下 直线x=1 ( 1 , －2 ) 向上 直线x=3 ( 3 , 7) 向下 直线x=2 ( 2 , －6 )
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛 物线y=4x2怎样平移得到?
向下平移 1个单位
y
1 (x 1)2 2
1
y
y=2x2
4.
3.
2.
1.
(0，0)
(1，1)
-3. -2 -1 0.
1.(1，2.0) 3.
x
-1
在同一坐标系内,画出四个抛物线的草图。
y 1 x2 2
y 1 (x 1)2 1 2
y 1 (x 1)2 2
y 1 x2 2
y 1 x2 1 2
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交 点坐标 （0，36）。
3、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2） （-1，0）求该抛物线线的解析式。 （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同，但开口方向不同，顶点坐标是（1， 0）的抛物线解析式。
开口方向 对称轴
开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=h
顶点坐标
(0,k) (h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
1、若将抛物线y=-2（x+2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2
的开口方向、对称轴、顶点?
-1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
y 1
y 1 (x 1)2 1 2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2
-3 -4
-5 -6 -7 -8 -9
-10
(2)抛物线 y 1 (和x 1)2 1有什么y关 系 ?1 x2
2
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 -2
x
___，当 时，函数y有最
-3 -4
__值，是 ，当 x __ 时，
-5
y随x 的增大而减小，当 x
-6 -7
时， y随x 的增大而增大，
-8 -9
它可由函数__平移得到。
-10
1.完成下列表格:
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
y 1 (x 1)2 2
y 1 (x 1)2 1 2
y 1 (x 1)2 1 图像的性质:开口向下,对称轴是
2
x=-1,顶点坐标是(-1,-1)
归纳总结: y a(x h)2 k
y a(x h)2 k 的图像性质:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h (3)顶点坐标是(h,k)
解: 先列表
x
… -4
y 1 (x 1)2 1 … -5.5
2
再描点
-3 -2
-3 -1.5
-1 0
-1 -1.5
1 2…
-3 -5.5 …
后连线.
解: 先列表
再描点、连线
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 … -5.5 -3 -1.5
2
(1)抛物线 y 1 (x 1)2 1
由抛物线y=2x²平移而来.
式
形
+ 向上
－ 向下
（2）二次函数y=2(x-3)²与抛物线y=2(x+3)²如
何由抛物线y=2x²平移而来。 式
形
+ 向左
－ 向右
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移 y=ax2
k<0 下移
y=ax2+k
y=ax2
左加 右减
y=a(x-h)2
例3.画出函数 y 1 (x 1)2 1 的图像.指出它的开口方向、 顶点与对称轴、 2
y 1
平移、方法1:
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
y 1 (x 1)2 1
-2
2
-3
y
1 2
x
2向下平移 1个单位
y
1 2
x2
1
-4 -5 -6
向左平移 y 1 (x 1)2 1
1个单位
2
-7
-8 -9
平移方法2:
-1x0=－1
y
1 2
x2向1个左单平位移y
1 (x 1)2 2
的对称轴是直线x=3.
8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向 右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个
单位，得到y__=_-_3_x_2_-_1_的图像．
9．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x 轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平 移2个单位，得到图像的顶点坐标是
(_-_3_,-_2_)_．
4.抛物线
y
1 2
x
12 的顶点坐标是__(-_1_,0_)_；
5.抛物线 y 1 x 12 向上平移3个单位后，
2
顶点的坐标是_(-_1_,3_)____；
6.抛物线
y
1 2
x
12
3
的对称轴是__x_=_-1_.
7．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x
轴向 _右__ 平移__2__个单位，得到图像
向上 向下 向下
直线x=-3 直线x=1 直线x=3
顶点坐标 ( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
上下平移 如何由 y 1 x2 的图象得到
y
1
x2
3
3
、y
1
x2
3
的图象。
3
3
y
5
4（0,3） 3 2
y
1 3
x2
3
1 –5–4–3–2–1–O1 1 2 3 4 5
x
y 1 x2 3 3
–2（0,-3） –3 –4 –5
左右平移
如何由
y
1 3
x2
y
的图象得到
1 (x
y
1 3
(x
2)、2
2)2 的图象。
y
3
5
x= - 2 4 x= 2
3
2
(-2,0) 1 (2,0) –5 –4 –3 –2 –1–O1 1 2 3 4 5
x
–2
–3
–4
–5
说出（1）抛物线y=2x²+3和抛物线y=2x²-3如何
y
8
7
66 y 3x2
5
44
3 22
1
0
x --55 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 55 -1
10
-2-2
-4
y=a(x-h)2+k-6的图像和性质
填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2 开口向下 直线X=0 (0,0)
y 0.5x2 1 开口向下 直线X=0 (0,1)
B(1，3) 12
C(3,0)
3x
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质: (1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线 y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
相同,其对称轴与抛物线 y (x 2)2
相同,且顶点的纵坐标是4,写出这条抛物 线的解析式.
练习5 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖 直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷 水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的 水平距离为1m处到达最高,高度为3m,水柱 落地处离池中心3m,水管应多长?
解:如图建立直角坐标系,
不同
相同
h、k
抛物线y a(x h)2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向__上__；当a 0，开口向__下_； （2）对称轴是直线_x_=_h_； （3）顶点坐标是（__h_，__k_）。
练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标， 最值及增减性。
1) y=2(x+3)2+5
y 0.5x2 1 开口向下 直线X=0 (0,-1)
填表:
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐 标
y 2x2 开口向上 直线X=0 (0, 0)
y 2(x 1)2 开口向上 直线X=1 (1, 0)
y 2(x 1)2 开口向上 直线X=-1 (-1, 0)
抛物线 开口方向 对称轴
y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 得到___y_=_(x_+_4_)_2____的图像； （2）把二次函数___y_=_(x_+_2_)_2+_1___的图像， 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到_y_=_3_(_x_+_3_)2_-2____的图像； （2）把二次函数___y_=_-_3(_x_+_6_)2___的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物 线y=4x2平移得到吗?
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y 3 (x 1)2 2 4
y 3 (x 3)2 3 4
y 3 (x 5)2 2 4
考考你学的怎么样：
1．抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移３个单位， 得到__y_=_(x_+_1_)_2+_3____的图像； （2）把二次函数____y_=_x_2+_3_____的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
y
因此可设这段抛物线对应的函数是
3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
A
∵这段抛物线经过点(3,0)
2
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
a=－
3 4
1
因此抛物线的析式为:
y=－(43x－1)2＋3 (0≤x≤3)
O
当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上， 且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求 此函数解析式。
4.用配方法把下列函数化成y=a（x-h）2的 情势，并说出开口方向，顶点坐标和对称 轴。
(1) y x2 6x 9
(2) y 1 x2 2x 2 2
(0,0) (0,2)
y 2(x 1)2
开口向上 直线x=-1 (-1,0)
y (x 1)2 2
y (x 1)2 2
y 3(x 1)2 2
y a(x h)2 k(a 0)
开口向上 开口向上 开口向下 开口向下
直线x=1 直线x=-1 直线x=-1 直线x=h
(1,-2) (-1,-2) (-1,2) (h,k)